Des problèmes de tangentes et leurs solutions, utilisant les premières dérivées, sont présentés.
Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration le cas échéant.
Exemples résolus
Problème 1
Trouvez tous les points sur le graphique de \( y = x^3 - 3x \) où la tangente est parallèle à l'axe des x (ou tangente horizontale).
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Les droites parallèles à l'axe des x ont une pente égale à \( 0 \). La pente d'une tangente au graphique de \( y = x^3 - 3x \) est donnée par la première dérivée \( y' \) :
\[ y' = 3x^2 - 3 \]Nous trouvons toutes les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( y' = 0 \) :
\[ 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = -1 \text{ et } x = 1 \]Nous substituons ces coordonnées \( x \) dans l'équation d'origine \( y = x^3 - 3x \) pour trouver les coordonnées \( y \) correspondantes :
- Pour \( x = -1 \) : \( y = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \implies (-1, 2) \)
- For \( x = 1 \) : \( y = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 \implies (1, -2) \)
Les points auxquels les tangentes sont parallèles à l'axe des x sont \( (-1, 2) \) et \( (1, -2) \).
Problème 2
Trouvez les constantes \( a \) et \( b \) de sorte que la droite \( y = -3x + 4 \) soit tangente au graphique de \( y = ax^3 + bx \) en \( x = 1 \).
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Pour trouver \( a \) et \( b \), nous avons besoin de deux équations. Premièrement, le point de tangence se trouve à la fois sur la courbe \( y = ax^3 + bx \) et sur la droite tangente \( y = -3x + 4 \) en \( x = 1 \). Par conséquent, leurs coordonnées \( y \) en \( x = 1 \) sont égales :
\[ a(1)^3 + b(1) = -3(1) + 4 \implies a + b = 1 \]Deuxièmement, la pente de la droite tangente est \( -3 \), qui doit être égale à la première dérivée \( y' \) de \( y = ax^3 + bx \) en \( x = 1 \) :
\[ y' = 3ax^2 + b \]En \( x = 1 \) :
\[ 3a(1)^2 + b = -3 \implies 3a + b = -3 \]Nous résolvons le système d'équations :
- \( a + b = 1 \)
- \( 3a + b = -3 \)
En soustrayant la première équation de la seconde, on obtient \( 2a = -4 \implies a = -2 \). En substituant \( a = -2 \) dans \( -2 + b = 1 \), on trouve \( b = 3 \).
Conclusion : \( a = -2 \) et \( b = 3 \).
Problème 3
Trouvez les conditions sur \( a \) et \( b \) pour que le graphique de \( y = a e^x + bx \) n'ait AUCUNE tangente parallèle à l'axe des x (tangente horizontale).
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La pente d'une tangente est donnée par la première dérivée \( y' \) de \( y = a e^x + bx \) :
\[ y' = a e^x + b \]Pour trouver les points avec une tangente horizontale, nous posons \( y' = 0 \) :
\[ a e^x + b = 0 \implies e^x = -\frac{b}{a} \]Puisque la fonction exponentielle \( e^x > 0 \) pour tous les nombres réels \( x \), cette équation n'a pas de solution réelle lorsque \( -\dfrac{b}{a} \le 0 \). Par conséquent, le graphique n'a pas de tangente horizontale si \( \dfrac{b}{a} \ge 0 \) (c'est-à-dire si \( a \) et \( b \) sont de même signe ou si \( b = 0 \)).
Exercices et solutions
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Trouvez tous les points sur le graphique de \( y = x^3 - 3x \) où la tangente est parallèle à la droite \( y = 9x + 4 \).
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Posez \( y' = 3x^2 - 3 = 9 \implies 3x^2 = 12 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \).
L'évaluation de \( y \) en \( x = 2 \) et \( x = -2 \) donne les points \( (2, 2) \) et \( (-2, -2) \).
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Trouvez \( a \) et \( b \) de sorte que la droite \( y = -2 \) soit tangente au graphique de \( y = ax^2 + bx \) en \( x = 1 \).
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En utilisant les conditions en \( x = 1 \) : \( a(1)^2 + b(1) = -2 \) et \( 2a(1) + b = 0 \).
En résolvant le système, on obtient \( a = 2 \) et \( b = -4 \).
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Trouvez les conditions sur \( a \), \( b \) et \( c \) pour que le graphique de \( y = ax^3 + bx^2 + cx \) n'ait QU'UNE SEULE tangente parallèle à l'axe des x (tangente horizontale).
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La dérivée est \( y' = 3ax^2 + 2bx + c = 0 \). Pour qu'il y ait exactement une tangente horizontale, le discriminant de cette équation quadratique doit être égal à zéro :
\[ \Delta = (2b)^2 - 4(3a)(c) = 0 \implies 4b^2 - 12ac = 0 \]