Ce tutoriel explique comment déterminer la concavité des fonctions quadratiques à l'aide de la dérivée seconde et du coefficient dominant.
Concavité des fonctions quadratiques
La concavité d'une fonction est déterminée par le signe de sa dérivée seconde. Pour une fonction quadratique de la forme :
\[ f(x) = a x^{2} + b x + c, \quad a \neq 0 \]Les première et deuxième dérivées sont :
\[ f'(x) = 2 a x + b \] \[ f''(x) = 2 a \]Puisque \( f''(x) \) est constante et dépend uniquement de \( a \), la concavité de la parabole est déterminée par le signe de \( a \) :
- Si \( a > 0 \), alors \( f''(x) > 0 \) et le graphique est concave vers le haut.
- Si \( a < 0 \), alors \( f''(x) < 0 \) et le graphique est concave vers le bas.
Exemples traités
Vous trouverez ci-dessous des exemples illustrant ces cas avec des solutions détaillées.
Exemple 1 : Concavité d'une fonction quadratique
Déterminer la concavité de la fonction quadratique :
\[ f(x) = (2 - x)(x - 3) + 3 \]Solution de l'exemple 1
Tout d'abord, développez et réécrivez \( f(x) \) :
\[ f(x) = -x^{2} + 5x - 3 \]Le coefficient dominant \( a = -1 \) est négatif, le graphique est donc concave vers le bas.
Exemple 2 : Concavité d'une fonction quadratique
Déterminer la concavité de la fonction quadratique :
\[ f(x) = -2(x - 1)(x - 2) + 3 x^{2} \]Solution de l'exemple 2
Développer et simplifier \( f(x) \) :
\[ f(x) = x^{2} + 6x - 4 \]Le coefficient dominant \( a = 1 \) est positif, le graphique est donc concave vers le haut.
Exercices et réponses
Déterminez la concavité de chaque fonction quadratique ci-dessous :
- \( f(x) = (2 - x)(4 - x) \)
- \( f(x) = -2(x - 3)^{2} - 5 \)
- \( f(x) = x(x + 3) - 2(x - 3)^{2} \)
Réponses
- Concave vers le haut (Le développement donne \( x^2 - 6x + 8 \), où \( a = 1 > 0 \))
- Concave vers le bas (Le développement donne \( -2x^2 + 12x - 23 \), où \( a = -2 < 0 \))
- Concave vers le bas (Le développement donne \( -x^2 + 15x - 18 \), où \( a = -1 < 0 \))