Un calculateur interactif étape par étape de la méthode de Newton est présenté ci-dessous.
La méthode de Newton pour approcher la solution d'une équation \( f(x) = 0 \) est un processus itératif numérique s'écrivant
\( x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)} {f '(x_n) }\) pour \( n = 0,1,2,3,... \)
et par conséquent, en partant d'une valeur initiale \( x_0 \) , on calcule \( x_1 \) grâce au processus ci-dessus, puis on utilise \( x_1 \) pour calculer \( x_2 \), et ainsi de suite.
Le processus se poursuit jusqu'à l'obtention de la convergence de la solution.
Exemple
Soit \( \quad x^3 = \ln(x) + 2 \quad \) l'équation à résoudre.
Cette équation ne peut pas être résolue analytiquement, nous pouvons donc utiliser la méthode de Newton pour trouver une solution approchée.
La première étape consiste à réécrire l'équation de telle sorte que le membre de droite soit égal à zéro :
\( x^3 - \ln(x) - 2 = 0 \)
puis à poser \( f(x) = x^3 - \ln(x) - 2 \)
qu'il vous faut entrer dans le calculateur ci-dessous.
Vous avez également la possibilité de choisir une valeur initiale \( x_0 \) proche de la solution recherchée ainsi que le nombre d'itérations nécessaire.
Remarque :
1) Pour les équations possédant plusieurs solutions telles que \( \sin(x) + 1/x \), tout dépend de la valeur initiale \( x_0 \) que vous attribuez. Elle donnera généralement la solution approchée la plus proche de \( x_0 \).
2) La méthode peut échouer si, à un moment donné du processus d'itération, \( x_n \) se trouve en dehors du domaine de définition de \( f(x) \) ou de \( f'(x) \), ou si \( f'(x) = 0 \). Il est parfois possible de modifier simplement la valeur initiale \( x_0 \) pour obtenir une approximation de la solution.
3) Vous pouvez tracer la courbe de \( f(x) \) au préalable afin d'obtenir graphiquement une meilleure valeur initiale \( x_0 \) à utiliser dans le calculateur.
1 - Saisissez et modifiez la fonction \( f(x)\), cliquez sur "Entrer la fonction", puis vérifiez ce que vous avez entré. Saisissez la valeur initiale \( x_0 \) qui doit être aussi proche que possible de la solution recherchée.
2 - Cliquez sur "Calculer".
3 - Les résultats incluent la dérivée \( f'(x) \) ainsi que les valeurs numériques de \( x_n \), \( f(x_n) \) et \( f'(x_n) \).
Remarques :
1) Les cinq opérateurs utilisés sont : + (addition) , - (soustraction), / (division) , ^ (puissance) et * (multiplication). (Exemple : f(x) = x^3 - 1/x. D'autres notes sur l'édition des fonctions se trouvent plus bas).
2) Le logarithme népérien \( \ln(x) \) s'écrit log(x) , et l'exponentielle népérienne \( e^x \) s'écrit exp(x) .
3) Une fonction \( f(x) \) à une certaine puissance \(n\) s'écrit : \( (f(x))^n \). Exemple : \( \sin^2(2x-1) \) s'écrit (sin(2x-1))^2.
4) Les fractions s'entrent sous forme de nombres décimaux. Exemple : 1/2 s'entre sous la forme 0.5.
Remarques : lors de l'édition des fonctions, veuillez utiliser les conventions suivantes :
1 - Les cinq opérateurs utilisés sont : + (addition) , - (soustraction), / (division) , ^ (puissance) et * (multiplication). (Exemple : f(x) = x^2-1/(2x)-log(x) )
2 - La fonction racine carrée s'écrit (sqrt). (Exemple : sqrt(x^2-1) pour \( \sqrt {x^2 - 1} \) )
3 - La fonction exponentielle s'écrit exp(x). (Exemple : exp(x+2) pour \( e^{x+2} \) )
4 - Le logarithme de base e s'écrit log(x). (Exemple : log(x^2-2) pour \( \ln(x^2 - 2) \) )
Voici quelques exemples de fonctions que vous pouvez copier et coller pour vous entraîner :
sqrt(x^3+1) - log(x) - 2 exp(x^2+1) + 2 x - 4 x^2+log(2*x + 2) (x+2)^2(x^2+1)-1