Les étapes pour trouver la dérivée d'une fonction logarithmique dans une base quelconque sont présentées ci-dessous avec des explications détaillées.
Utilisation de la formule de changement de base
Soit \( y = \log_a x \).
Utilisez la formule de changement de base pour exprimer \( y = \log_a x \) à l'aide du logarithme népérien \( \ln \) :
\[ y = \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} \]Évaluons maintenant la dérivée :
\[ \frac{d}{dx} \left(\log_a x\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{\ln x}{\ln a}\right) \]En remarquant que \( \ln a \) est une constante et que \( \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \), nous obtenons :
Exemples avec solutions
Exemple 1 : Dérivées de logarithmes simples et composés
Problème : Trouvez les dérivées de :
a) \( y = \log_3(x) \)
b) \( y = \log_5(x^2 + 2x - 1) \)
Solution :
a) En utilisant la formule de \( (I) \), nous obtenons :
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \ln 3} \]b) La fonction de la partie b) est une fonction composée de la forme \( y = \log_5 u(x) \) avec \( u(x) = x^2 + 2x - 1 \).
En utilisant la règle de chaîne pour la dérivation :
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \quad (II) \]En utilisant la formule \( (I) \) :
\[ \frac{dy}{du} = \frac{1}{u \ln 5} \]Évaluons \( \frac{du}{dx} \) :
\[ \frac{du}{dx} = 2x + 2 \]Substituons \( \frac{dy}{du} \) et \( \frac{du}{dx} \) dans \( (II) \) :
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u \ln 5} \cdot (2x + 2) = \frac{2x + 2}{(x^2 + 2x - 1) \ln 5} \]Exemple 2 : Démonstration qu'une fonction logarithmique est décroissante
Problème : Montrez que la fonction \( y = \log_{\frac{1}{2}}(x) \) est décroissante sur son domaine de définition.
Solution :
Trouvez la dérivée en utilisant la formule \( (I) \) :
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \ln\left(\frac{1}{2}\right)} \]Remarquez que :
\[ \ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln 1 - \ln 2 = 0 - \ln 2 = -\ln 2 \]Par conséquent :
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{-x \ln 2} \]Le domaine de définition de la fonction donnée \( y = \log_{\frac{1}{2}}(x) \) est l'ensemble de toutes les valeurs de \( x \) telles que \( x > 0 \). Par conséquent, la dérivée \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{-x \ln 2} \) est négative sur l'ensemble de son domaine. Puisque la dérivée est négative sur le domaine de la fonction, \( y = \log_{\frac{1}{2}}(x) \) est une fonction décroissante.