La limite de \( \arctan(x) \) lorsque \( x \) tend vers l'infini est examinée en utilisant deux approches différentes. La première est basée sur le triangle rectangle, et la seconde est basée sur la définition de la fonction inverse \( \arctan(x) \).
Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration le cas échéant.
Approche de \( \arctan(x) \) dans un triangle rectangle
Soit \( \alpha = \arctan(x) \), ce qui donne \( \tan \alpha = x = \dfrac{x}{1} \), et utilisons la définition de la tangente dans un triangle rectangle pour visualiser \( x = \tan \alpha \).
Approche géométrique
Lorsque \( x \) augmente indéfiniment, géométriquement \( \alpha \) s'approche de \( \dfrac{\pi}{2} \) et par conséquent nous écrivons la limite :
\[ \lim_{x \to \infty} \alpha = \dfrac{\pi}{2} \]Approche algébrique
Nous pouvons également utiliser \( \sin(\alpha) \) donné par :
\[ \sin(\alpha) = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \]Calculons la limite :
\[ \lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} = 1 \]ce qui donne :
\[ \lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \]En utilisant la limite de fonctions composées :
\[ \lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \sin\left(\lim_{x \to \infty} \alpha\right) \]Puisque \( \dfrac{\pi}{2} \) est une constante, nous pouvons écrire :
\[ \dfrac{\pi}{2} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\pi}{2} \]de sorte que :
\[ \lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \sin\left(\lim_{x \to \infty} \alpha\right) = \sin\left(\lim_{x \to \infty} \dfrac{\pi}{2}\right) \]Enfin, en utilisant \( \alpha = \arctan(x) \) :
\[ \lim_{x \to \infty} \alpha = \lim_{x \to \infty} \arctan(x) = \dfrac{\pi}{2} \]Approche par les graphiques de Tan(x) et Arctan(x)
Le graphique de la fonction \( y = \tan x \) (en bleu) sur l'intervalle \( \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) \) est présenté ci-dessous, avec \( x = \dfrac{\pi}{2} \) et \( x = -\dfrac{\pi}{2} \) comme asymptotes verticales (lignes bleues en pointillés). C'est une fonction bijective (injective) et par conséquent elle possède une fonction inverse \( y = \arctan(x) \) telle que représentée ci-dessous (en rouge).
Les asymptotes verticales de \( y = \tan x \) deviennent des asymptotes horizontales (ligne rouge en pointillés) de la fonction inverse \( y = \arctan(x) \), ce qui par définition peut s'écrire à l'aide des limites comme suit :
\[ \lim_{x \to \infty} \arctan(x) = \dfrac{\pi}{2}, \quad \lim_{x \to -\infty} \arctan(x) = -\dfrac{\pi}{2} \]