Formule d'Euler

Démonstration et dérivation étape par étape à l'aide des séries de Taylor

La démonstration de la formule d'Euler utilisant les séries de Taylor est présentée ci-dessous.

Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration le cas échéant.

Dérivation de la formule d'Euler

En se référant aux tables de formules mathématiques, le développement en série de Taylor de \( e^z \) est donné par :

\[ e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{z^5}{5!} + \frac{z^6}{6!} + \frac{z^7}{7!} + \dots + \frac{z^n}{n!} + \dots \]

Soit \( z = ix \), où \( x \) est un nombre réel et \( i = \sqrt{-1} \) est l'unité imaginaire :

\[ e^{ix} = 1 + (ix) + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \frac{(ix)^6}{6!} + \frac{(ix)^7}{7!} + \dots \]

En développant les puissances de \( ix \) :

\[ e^{ix} = 1 + ix + i^2 \frac{x^2}{2!} + i^3 \frac{x^3}{3!} + i^4 \frac{x^4}{4!} + i^5 \frac{x^5}{5!} + i^6 \frac{x^6}{6!} + i^7 \frac{x^7}{7!} + \dots + i^n \frac{x^n}{n!} + \dots \]

En utilisant les propriétés cycliques des puissances de \( i \) :

\( i^2 = -1 \)
\( i^3 = i^2 \cdot i = -i \)
\( i^4 = i^3 \cdot i = 1 \)
\( i^5 = i^4 \cdot i = i \)
\( i^6 = i^5 \cdot i = -1 \)
\( i^7 = i^6 \cdot i = -i \)

En substituant ces valeurs dans le développement :

\[ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - i\frac{x^7}{7!} + \dots \]

En regroupant les termes réels ensemble et en factorisant \( i \) à partir des termes imaginaires, on obtient l'équation \( (I) \) :

\[ e^{ix} = \left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots\right) + i\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots\right) \quad (I) \]

D'après les tables de formules mathématiques, les séries de Taylor de \( \sin x \) et \( \cos x \) sont :

\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots \] \[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots \]

En substituant ces séries dans l'équation \( (I) \), la partie réelle correspond à \( \cos x \) et la partie imaginaire correspond à \( \sin x \) :

\[ e^{ix} = \cos x + i \sin x \]

Références et liens supplémentaires

  1. Séries de Taylor et de Maclaurin avec exemples
  2. Tables de formules mathématiques
  3. University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
  4. Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
  5. Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
  6. Page d'accueil d'AnalyzeMath