Séries de Taylor et de Maclaurin avec exemples

Tutoriel d'analyse : Approximations polynomiales et développements en séries entières

L'utilisation des séries de Taylor et de Maclaurin pour développer et approximer des fonctions sous forme de série entière pour des valeurs données de \( x \) est présentée. Ces séries fournissent des approximations polynomiales utiles de fonctions génératrices qui sont plus faciles à programmer sur les calculatrices. Des exemples, des questions et leurs solutions sont inclus.

Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration le cas échéant.

Définition des séries de Taylor et de Maclaurin

Pour une fonction \( f \) possédant des dérivées de tous les ordres définies dans un intervalle contenant \( a \), la série de Taylor de la fonction \( f \) en \( x = a \) est donnée par [1] :

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \dots \]

où \( f'(a), f''(a), \dots, f^{(n)}(a), \dots \) sont les dérivées de \( f \) évaluées en \( x = a \).

La série de Maclaurin de la fonction \( f \) est la série de Taylor centrée en \( x = 0 \) et est donnée par :

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \dots \]

Les séries de Taylor et de Maclaurin sont infinies, mais elles peuvent être tronquées à \( n \) termes pour donner un polynôme de Taylor donné par :

\[ P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \]

Un calculateur de séries de Taylor en ligne est disponible et peut être utilisé pour vérifier un grand nombre des exemples et exercices présentés ci-dessous ainsi que pour générer de nouveaux problèmes.

Exemples de développement en séries de Taylor et de Maclaurin

Exemple 1

a) Trouvez le polynôme de Taylor \( P_4(x) \) (d'ordre 4) généré par \( f(x) = \sin(x) \) en \( x = \pi/2 \).
b) Tracez les graphiques de \( \sin(x) \) et de \( P_4(x) \) dans un intervalle contenant \( \pi/2 \) et comparez les deux graphiques.

Afficher la solution de l'exemple 1

a) Le polynôme de Taylor d'ordre 4 est donné par :

\[ P_4(x) = f(\pi/2) + f'(\pi/2)(x-\pi/2) + \frac{f''(\pi/2)}{2!}(x-\pi/2)^2 + \frac{f^{(3)}(\pi/2)}{3!}(x-\pi/2)^3 + \frac{f^{(4)}(\pi/2)}{4!}(x-\pi/2)^4 \]

En calculant les 4 premières dérivées de \( f(x) = \sin(x) \) :

  • \( f(x) = \sin(x) \implies f(\pi/2) = 1 \)
  • \( f'(x) = \cos(x) \implies f'(\pi/2) = 0 \)
  • \( f''(x) = -\sin(x) \implies f''(\pi/2) = -1 \)
  • \( f^{(3)}(x) = -\cos(x) \implies f^{(3)}(\pi/2) = 0 \)
  • \( f^{(4)}(x) = \sin(x) \implies f^{(4)}(\pi/2) = 1 \)

En substituant dans \( P_4(x) \) :

\[ P_4(x) = 1 + 0 - \frac{1}{2}(x-\pi/2)^2 + 0 + \frac{1}{24}(x-\pi/2)^4 = 1 - \frac{1}{2}(x-\pi/2)^2 + \frac{1}{24}(x-\pi/2)^4 \]

b) En comparant les graphiques de \( \sin(x) \) et de son polynôme de Taylor d'ordre 4, les deux courbes se correspondent étroitement près de \( x = \pi/2 \), ce qui confirme que \( P_4(x) \) fournit une approximation locale précise.

Graphiques comparant sin(x) et son développement en série de Taylor - Exemple 1
Figure 1. Comparaison de \( \sin(x) \) et de \( P_4(x) \)

Exemple 2

a) Trouvez le polynôme de Taylor \( P_5(x) \) (d'ordre 5) généré par \( f(x) = \ln(x) \) en \( x = 1 \).
b) Tracez les graphiques de \( \ln(x) \) et de \( P_5(x) \) dans un intervalle contenant \( 1 \) et comparez les deux graphiques.
c) Évaluez \( P_5(x) \) et \( \ln(x) \) dans le tableau ci-dessous et comparez les valeurs correspondantes.

\( P_5(x) \)\( \ln(x) \)
\( P_5(1.01) \)\( \ln(1.01) \)
\( P_5(0.99) \)\( \ln(0.99) \)
\( P_5(1.1) \)\( \ln(1.1) \)
\( P_5(0.9) \)\( \ln(0.9) \)
\( P_5(1.5) \)\( \ln(1.5) \)
\( P_5(0.5) \)\( \ln(0.5) \)
\( P_5(1.8) \)\( \ln(1.8) \)
\( P_5(0.2) \)\( \ln(0.2) \)
Afficher la solution de l'exemple 2

a) Le polynôme de Taylor d'ordre 5 en \( x = 1 \) est :

\[ P_5(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 + \frac{f^{(3)}(1)}{3!}(x-1)^3 + \frac{f^{(4)}(1)}{4!}(x-1)^4 + \frac{f^{(5)}(1)}{5!}(x-1)^5 \]

En calculant les 5 premières dérivées de \( f(x) = \ln(x) \) :

  • \( f(x) = \ln(x) \implies f(1) = 0 \)
  • \( f'(x) = \frac{1}{x} \implies f'(1) = 1 \)
  • \( f''(x) = -\frac{1}{x^2} \implies f''(1) = -1 \)
  • \( f^{(3)}(x) = \frac{2}{x^3} \implies f^{(3)}(1) = 2 \)
  • \( f^{(4)}(x) = -\frac{6}{x^4} \implies f^{(4)}(1) = -6 \)
  • \( f^{(5)}(x) = \frac{24}{x^5} \implies f^{(5)}(1) = 24 \)

En substituant dans \( P_5(x) \) et en simplifiant :

\[ P_5(x) = (x-1) - \frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{3}(x-1)^3 - \frac{1}{4}(x-1)^4 + \frac{1}{5}(x-1)^5 = \frac{1}{5}x^5 - \frac{5}{4}x^4 + \frac{10}{3}x^3 - 5x^2 + 5x - \frac{137}{60} \]

b) Les graphiques montrent que \( P_5(x) \) approxime bien \( \ln(x) \) près de \( x = 1 \).

Graphiques comparant ln(x) et son développement en série de Taylor - Exemple 2
Figure 2. Comparaison de \( \ln(x) \) et de \( P_5(x) \)

c) Comparaison dans le tableau d'évaluation :

\( P_5(x) \) approché\( \ln(x) \) exact
\( P_5(1.01) = 0{,}00995 \)\( \ln(1.01) = 0{,}00995 \)
\( P_5(0.99) = -0{,}01005 \)\( \ln(0.99) = -0{,}01005 \)
\( P_5(1.1) = 0{,}09531 \)\( \ln(1.1) = 0{,}09531 \)
\( P_5(0.9) = -0{,}10536 \)\( \ln(0.9) = -0{,}10536 \)
\( P_5(1.5) = 0{,}40729 \)\( \ln(1.5) = 0{,}40546 \)
\( P_5(0.5) = -0{,}68854 \)\( \ln(0.5) = -0{,}69314 \)
\( P_5(1.8) = 0{,}61380 \)\( \ln(1.8) = 0{,}58778 \)
\( P_5(0.2) = -1{,}45860 \)\( \ln(0.2) = -1{,}60943 \)

Le polynôme \( P_5(x) \) fournit une excellente approximation pour les valeurs proches de \( x = 1 \).

Exemple 3

a) Trouvez la série de Maclaurin générée par \( f(x) = e^x \).
b) Tracez les graphiques de la série de Maclaurin dans un intervalle contenant \( 0 \) avec 2, 3, 4, 5 et 6 termes.

Afficher la solution de l'exemple 3

a) La série de Maclaurin est donnée par :

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \dots \]

Puisque toutes les dérivées de \( f(x) = e^x \) évaluées en \( x = 0 \) sont égales à \( 1 \) :

\[ 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \dots + \frac{1}{n!}x^n + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \]

b) Polynômes de différents ordres :

  • \( P_1(x) = 1 + x \)
  • \( P_2(x) = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 \)
  • \( P_3(x) = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 \)
  • \( P_4(x) = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{24}x^4 \)
  • \( P_5(x) = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{24}x^4 + \frac{1}{120}x^5 \)
Graphiques des séries de Maclaurin de différents ordres et de la fonction e^x
Figure 3. Graphiques des polynômes de Maclaurin de divers ordres pour \( e^x \)

Questions

Partie A

Trouvez le polynôme de Taylor d'ordre 4 généré par \( f \) à la valeur donnée de \( x \) :

  1. \( f(x) = e^{-x} \), en \( x = 2 \)
  2. \( f(x) = \sin(x/2) \), en \( x = \pi \)

Partie B

Trouvez la série de Maclaurin pour les fonctions :

  1. \( f(x) = \cos(x + \pi/2) \)
  2. \( f(x) = e^x + e^{-x} \)
  3. \( f(x) = e^{-x^2} \)
  4. \( f(x) = \sin(x) \)
  5. \( f(x) = e^x - e^{-x} \)

Partie C

Trouvez le polynôme de Taylor d'ordre 5 généré par \( f(x) = \sin(x)e^x \) en \( x = 0 \) et tracez les graphiques de \( f \) et du polynôme de Taylor dans le même système de coordonnées.

Solutions des questions ci-dessus

Partie A

  1. \( f(x) = e^{-x} \implies f'(x) = -e^{-x}, \, f''(x) = e^{-x}, \, f^{(3)}(x) = -e^{-x}, \, f^{(4)}(x) = e^{-x} \). En \( x = 2 \) :
    \[ P_4(x) = \frac{1}{e^2} - \frac{1}{e^2}(x-2) + \frac{1}{2e^2}(x-2)^2 - \frac{1}{6e^2}(x-2)^3 + \frac{1}{24e^2}(x-2)^4 \] \[ = \frac{x^4}{24e^2} - \frac{x^3}{2e^2} + \frac{5x^2}{2e^2} - \frac{19x}{3e^2} + \frac{7}{e^2} \]
  2. \( f(x) = \sin(x/2) \implies f'(x) = \frac{1}{2}\cos(x/2), \, f''(x) = -\frac{1}{4}\sin(x/2), \, f^{(3)}(x) = -\frac{1}{8}\cos(x/2), \, f^{(4)}(x) = \frac{1}{16}\sin(x/2) \). En \( x = \pi \) :
    \[ P_4(x) = 1 - \frac{1}{8}(x-\pi)^2 + \frac{1}{384}(x-\pi)^4 \] \[ = \frac{x^4}{384} - \frac{\pi x^3}{96} - \frac{x^2}{8} + \frac{\pi^2 x^2}{64} + \frac{\pi x}{4} - \frac{\pi^3 x}{96} - \frac{48\pi^2 + \pi^4 + 384}{384} \]

Partie B

  1. \( f(x) = \cos(x+\pi/2) = -\sin(x) \implies -x + \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{120}x^5 + \frac{1}{5040}x^7 - \frac{1}{362880}x^9 + \dots \)
  2. \( f(x) = e^x + e^{-x} \implies 2 + x^2 + \frac{1}{12}x^4 + \frac{1}{360}x^6 + \frac{1}{20160}x^8 + \dots \)
  3. \( f(x) = e^{-x^2} \implies 1 - x^2 + \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{6}x^6 + \frac{1}{24}x^8 + \dots \)
  4. \( f(x) = \sin(x) \implies x - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{120}x^5 - \frac{1}{5040}x^7 + \frac{1}{362880}x^9 + \dots \)
  5. \( f(x) = e^x - e^{-x} \implies 2x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{60}x^5 + \frac{1}{2520}x^7 + \frac{1}{181440}x^9 + \dots \)

Partie C

Pour \( f(x) = \sin(x)e^x \) en \( x = 0 \) :

\[ P_5(x) = x + x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{30}x^5 \]
Graphiques du polynôme de Taylor P_5(x) et de la fonction sin(x)e^x
Figure 4. Comparaison de \( \sin(x)e^x \) et de son polynôme de Taylor \( P_5(x) \)

Références et liens supplémentaires

  1. University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
  2. Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
  3. Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
  4. Calculateur de séries de Taylor en ligne
  5. Introduction aux polynômes
  6. Tutoriel sur les séries de Fourier
  7. Page d'accueil d'AnalyzeMath