Séries convergentes et divergentes

Définition des séries

Soit \( \displaystyle \left\{a_n \right\}_1^{\infty} \) une suite infinie. La somme infinie : \[ a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n + \dots \] est appelée une série [1] [2].

La série peut également s'écrire à l'aide du symbole de sommation \( \displaystyle \sum \) sous la forme : \[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i \]

Remarque : lorsque la limite supérieure de la somme est infinie comme dans \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} a_i \), nous avons une série, et lorsque la limite supérieure de la somme est finie comme dans \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_i \), nous avons une somme partielle.

Séries convergentes et divergentes

Nous discutons d'abord de la convergence et de la divergence des séries à l'aide de graphiques et de deux exemples.

Exemple 1 - Série convergente

Soit \( a_i = \dfrac{1}{4^i} \) et définissons les sommes partielles par : \[ S_n = \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{4^i} \]

Le tableau des valeurs de \( n \), \( a_n \) et des sommes finies \( s_n \) définies par :

sont présentées ci-dessous. Remarque : au fur et à mesure que nous ajoutons des termes à la somme partielle \( s_n \), celle-ci se rapproche de \( 2 \), comme le montrent clairement le Tableau 1 et le Graphique 1 ci-dessous.

À mesure que \( n \) augmente, la somme partielle \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{4^i} \) tend vers une valeur constante égale à \( 2 \). Nous pouvons donc dire que la série \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{4^i} \) est convergente vers \( 2 \).

Exemple 2 - Série divergente

Soit \( a_i = (-2)^i \) et définissons les sommes partielles par : \[ S_n = \sum_{i=1}^{n} (-2)^i \]

Vous trouverez ci-dessous le tableau des valeurs de \( n \), \( a_n \) et des sommes finies \( s_n \). Au fur et à mesure que nous ajoutons des termes, ni le Tableau 2 ni le Graphique 2 ne montrent de convergence vers une quelconque valeur. La somme partielle n'a pas de limite, et nous considérons que la série \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} (-2)^i \) est divergente.

Définition formelle des séries convergentes et divergentes

Étant donnée une série : \[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + \dots \] Soit \( S_n \) la somme partielle : \[ S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + \dots + a_n \]

Si \( \lim_{n\to\infty} S_n \) existe et que : \[ \lim_{n\to\infty} S_n = s \] où \( s \) est un nombre réel, nous disons que la série \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} a_i \) est convergente et nous écrivons : \[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + \dots = s \]

Si \( \lim_{n\to\infty} S_n \) n'existe pas ou n'est pas un nombre réel, la série \( \sum_{i=1}^{\infty} a_i \) est divergente. Nous pouvons également écrire : \[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} a_i \]

Séries géométriques

Une série géométrique est définie par : \[ \sum_{i=1}^{\infty} a \, r^{i-1} = a + a \, r + a \, r^2 + \dots \] où \( r \) est appelé la raison commune.

Soit \( S_n \) la somme partielle définie par : \[ S_n = a + a \, r + a \, r^2 + \dots + a \, r^{n-1} \quad (I) \] Multiplions les deux côtés par \( r \) : \[ r \, S_n = a \, r + a \, r^2 + a \, r^3 + \dots + a \, r^n \quad (II) \] Soustrayons (II) de (I) : \[ S_n - r \, S_n = a(1 - r^n) \implies S_n(1 - r) = a(1 - r^n) \implies S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \]

Il est connu d'après les limites que \( \lim_{n\to\infty} r^n = 0 \) si \( |r| < 1 \). Par conséquent, nous énonçons :

Exemple 3 - Série géométrique

Lequel des éléments suivants correspond à des séries géométriques convergentes ? Trouvez la somme si possible.

1. \( 4 - \dfrac{12}{5} + \dfrac{36}{25} - \dfrac{108}{125} + \dots \)
2. \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{3^{2i}}{10^{i-1}} \)
3. \( \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{5^{-i} \; 2^{i+1}} \)

Solutions de l'Exemple 3

1. La série \( 4 - \dfrac{12}{5} + \dfrac{36}{25} - \dfrac{108}{125} + \dots \) a pour raison commune \( r = \dfrac{-\frac{12}{5}}{4} = -\dfrac{3}{5} \).
   Puisque \( |r| = \dfrac{3}{5} < 1 \), la série est convergente.
   Avec pour premier terme \( a = 4 \), la somme est : \[ \sum = \frac{4}{1 - (-\frac{3}{5})} = \frac{4}{1 + \frac{3}{5}} = \frac{4}{\frac{8}{5}} = \frac{5}{2} \]
2. Réécrivons la série : \[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{3^{2i}}{10^{i-1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{(3^2)^i}{10^{i-1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{9 \cdot 9^{i-1}}{10^{i-1}} = \sum_{i=1}^{\infty} 9 \left(\frac{9}{10}\right)^{i-1} \] Premier terme \( a = 9 \), raison commune \( r = \dfrac{9}{10} < 1 \). La série est convergente : \[ \sum = \frac{9}{1 - \frac{9}{10}} = 90 \]
3. Réécrivons la série : \[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5^{-i} \, 2^{i+1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{2^2}{5^1} \cdot \frac{5^i}{2^{i+1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{5^{i-1}}{2^{i-1}} = \sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{5}{2}\right)^{i-1} \] La raison commune est \( r = \dfrac{5}{2} > 1 \), par conséquent la série est divergente.

Les séries arithmétiques sont divergentes

Une série arithmétique est donnée par : \[ \sum_{i=1}^{\infty} (a + (i-1)d) = a + (a + d) + (a + 2d) + \dots \] La somme partielle \( S_n \) est : \[ S_n = \frac{n(2a + (n-1)d)}{2} = \frac{nd}{2}n + n\left(a - \frac{d}{2}\right) \] Puisque \( \lim_{n\to\infty} S_n = \infty \), toutes les séries arithmétiques sont divergentes.

Théorème de combinaisons de séries convergentes

Si \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = L_1 \) et \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n = L_2 \) sont des séries convergentes, et que \( k_1, k_2 \) sont des nombres réels, alors toute combinaison linéaire est convergente : \[ k_1 \sum_{n=1}^{\infty} a_n + k_2 \sum_{n=1}^{\infty} b_n = k_1 L_1 + k_2 L_2 \]

Exemple 4

Évaluez, si possible, les séries suivantes :

1. \( \left(2 - 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dots\right) + \left(-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{27} + \dots\right) \)
2. \( -3 \sum_{i=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{i-1} - 4 \sum_{i=1}^{\infty} 0.7^{i-1} \)
3. \( \sum_{i=1}^{\infty} (0.2)^i + \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{3^i - 7 \cdot 2^i}{5^{i-1}} \)

Solutions de l'Exemple 4

1. Première série : \( A_1 = 2, R_1 = -\dfrac{1}{2} \implies \dfrac{2}{1 - (-1/2)} = \dfrac{4}{3} \).
   Seconde série : \( A_2 = -\dfrac{1}{3}, R_2 = -\dfrac{1}{3} \implies \dfrac{-1/3}{1 - (-1/3)} = -\dfrac{1}{4} \).
   Somme = \( \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{13}{12} \).
2. Première série : \( A_1 = 1, R_1 = \dfrac{1}{2} \implies \dfrac{1}{1 - 1/2} = 2 \).
   Seconde série : \( A_2 = 1, R_2 = 0.7 \implies \dfrac{1}{1 - 0.7} = \dfrac{10}{3} \).
   Somme totale = \( -3(2) - 4\left(\dfrac{10}{3}\right) = -6 - \dfrac{40}{3} = -\dfrac{58}{3} \).
3. Réécrivons comme une combinaison de séries géométriques : \[ 0.2 \sum_{i=1}^{\infty} (0.2)^{i-1} + 3 \sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{3}{5}\right)^{i-1} - 14 \sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^{i-1} \] En évaluant chaque somme : \[ 0.2\left(\frac{1}{1-0.2}\right) + 3\left(\frac{1}{1-3/5}\right) - 14\left(\frac{1}{1-2/5}\right) = \frac{1}{4} + \frac{15}{2} - \frac{70}{3} = -\frac{187}{12} \]

Références et liens supplémentaires

1. University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
2. Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
3. Suites et sommation
4. Introduction aux limites
5. Page d'accueil d'AnalyzeMath