Tutoriel complet avec solutions détaillées étape par étape
Factoriser un polynôme signifie l'écrire sous forme de produit de polynômes plus simples. C'est une compétence fondamentale en algèbre utilisée pour résoudre des équations et simplifier des expressions complexes.
La factorisation par facteur commun repose sur l'utilisation de la Loi Distributive à l'envers :
Distribution standard :
\[ a(b + c) = a \cdot b + a \cdot c \]Inversion (Factorisation) :
\[ a \cdot b + a \cdot c = a(b + c) \]Dans cette méthode, nous identifions un facteur $a$ qui est commun à tous les termes et nous le déplaçons en dehors des parenthèses.
Note : Pour vérifier votre factorisation, développez simplement le résultat pour voir si vous retrouvez le polynôme d'origine.
Identifiez le Plus Grand Facteur Commun (PGFC) et factorisez complètement les polynômes suivants.
Exemple A : \( 9x - 6 \)
Solution : Utilisez la factorisation en nombres premiers pour trouver les facteurs communs : \( \color{red}{3} \cdot 3 \cdot x - 2 \cdot \color{red}{3} \). Le PGFC est 3. Résultat : \( 3(3x - 2) \).
Exemple B : \( 16x^3 + 8x^2y + 4xy^2 \)
Solution : Le PGFC des coefficients (16, 8, 4) est 4. La variable partagée est $x$. Le PGFC est $4x$. Résultat : \( 4x(4x^2 + 2xy + y^2) \).
Exemple C : \( 2x^4(x + 5) + x^2(x + 5) \)
Solution : Remarquez que $(x + 5)$ est un facteur binomial commun. Factorisez-le d'abord : \( (x + 5)(2x^4 + x^2) \). Factorisez ensuite $x^2$ de la partie restante. Résultat : \( x^2(x + 5)(2x^2 + 1) \).
Utilisez les facteurs communs pour factoriser complètement les polynômes suivants. Chaque question inclut une solution détaillée.
Question 1 : Factorisez \[ -3x + 9 \]
Exprimez les deux termes en utilisant la factorisation en nombres premiers :
\[ -3x + 9 = -\color{red}{3} \cdot x + \color{red}{3} \cdot 3 \]Le plus grand facteur commun est \( \color{red}{3} \). En le mettant en facteur, nous obtenons :
\[ = \color{red}{3}(-x + 3) \]Pour avoir un terme dominant positif entre les parenthèses, nous pouvons factoriser -3 :
\[ = -3(x - 3) \]Question 2 : Factorisez \[ 28x + 2x^2 \]
Identifiez les facteurs communs par la factorisation en nombres premiers :
\[ 28x + 2x^2 = \color{red}{2} \cdot 2 \cdot 7 \cdot \color{red}{x} + \color{red}{2} \cdot \color{red}{x} \cdot x \]Le plus grand facteur commun est \( \color{red}{2x} \) :
\[ = \color{red}{2x}(14 + x) \text{ ou } 2x(x + 14) \]Question 3 : Factorisez \[ 11xy + 55x^2y \]
Écrivez la factorisation en nombres premiers de chaque terme :
\[ 11xy + 55x^2y = \color{red}{11} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} + 5 \cdot \color{red}{11} \cdot \color{red}{x} \cdot x \cdot \color{red}{y} \]Le plus grand facteur commun est \( \color{red}{11xy} \) :
\[ = \color{red}{11xy}(1 + 5x) \]Question 4 : Factorisez \[ 20xy + 35x^2y - 15xy^2 \]
Déterminez le PGFC en analysant les trois termes :
\[ 20xy = 2^2 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} \] \[ 35x^2y = 7 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot x \cdot \color{red}{y} \] \[ -15xy^2 = -3 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} \cdot y \]Le plus grand facteur commun est \( \color{red}{5xy} \) :
\[ = \color{red}{5xy}(4 + 7x - 3y) \]Question 5 : Factorisez \[ 5y(x + 1) + 10y^2(x + 1) - 15xy(x + 1) \]
1. D'abord, factorisez le facteur binomial commun \( (x + 1) \) :
\[ (x + 1)(5y + 10y^2 - 15xy) \]2. Maintenant, identifiez le PGFC pour les termes restants à l'intérieur de la deuxième parenthèse ($5y, 10y^2, -15xy$). Le PGFC est \( \color{red}{5y} \) :
\[ 5y + 10y^2 - 15xy = \color{red}{5y}(1 + 2y - 3x) \]3. Combinez les deux étapes pour la forme factorisée finale :
\[ = 5y(x + 1)(1 + 2y - 3x) \]