Identités, exemples résolus et solutions étape par étape
Les formes polynomiales spéciales — telles que la différence de deux carrés, les trinômes carrés parfaits, et la somme ou différence de deux cubes — offrent des raccourcis pour factoriser des expressions algébriques complexes. Identifier ces modèles est essentiel pour résoudre les problèmes efficacement.
Factorisez le polynôme : \[ 16x^2 - 9y^2 \]
Réécrivez les termes sous forme de carrés : \( 16x^2 = (4x)^2 \) et \( 9y^2 = (3y)^2 \).
\[ 16x^2 - 9y^2 = (4x)^2 - (3y)^2 \]Appliquez \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) :
\[ = (4x - 3y)(4x + 3y) \]Factorisez : \[ 4x^2 + 20xy + 25y^2 \]
Identifiez les carrés et le terme du milieu : \( (2x)^2 \), \( (5y)^2 \), et \( 2(2x)(5y) = 20xy \).
\[ 4x^2 + 20xy + 25y^2 = (2x)^2 + 2(2x)(5y) + (5y)^2 \]Appliquez \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \) :
\[ = (2x + 5y)^2 \]Factorisez : \[ 8 - 27x^3 \]
Réécrivez sous forme de cubes : \( 8 = 2^3 \) et \( 27x^3 = (3x)^3 \).
\[ 8 - 27x^3 = 2^3 - (3x)^3 \]Appliquez \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \) :
\[ = (2 - 3x)(2^2 + (2)(3x) + (3x)^2) \] \[ = (2 - 3x)(4 + 6x + 9x^2) \]Factorisez complètement les polynômes spéciaux suivants.
Entraînement A : \( -25x^2 + 9 \)
Réordonnez comme une différence de deux carrés : \( 9 - 25x^2 \).
\[ 3^2 - (5x)^2 = (3 - 5x)(3 + 5x) \]Entraînement B : \( 16y^4 - x^4 \)
Factorisez comme une différence de deux carrés à deux reprises :
\[ (4y^2)^2 - (x^2)^2 = (4y^2 - x^2)(4y^2 + x^2) \]Factorisez la différence de deux carrés restante :
\[ = (2y - x)(2y + x)(4y^2 + x^2) \]Entraînement C : \( \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2} \)
Mettez \( 1/2 \) en facteur :
\[ \frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1) \]Reconnaissez le trinôme carré parfait :
\[ = \frac{1}{2}(x + 1)^2 \]Entraînement D : \( x^6 - 1 \)
Considérez comme une différence de deux carrés : \( (x^3)^2 - 1^2 \).
\[ = (x^3 - 1)(x^3 + 1) \]Appliquez les formules de la différence et de la somme de deux cubes :
\[ = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1) \]