Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de monômes

Tutoriel étape par étape, exemples résolus et solutions détaillées

En algèbre, le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de deux monômes (ou plus) est le plus grand monôme qui divise chacun d'eux exactement. C'est une compétence essentielle pour factoriser des polynômes et simplifier des expressions rationnelles.

La méthode de décomposition en facteurs premiers

Pour trouver le PGCD, nous utilisons la décomposition en facteurs premiers pour décomposer chaque monôme en ses blocs constitutifs (coefficients et variables).

  1. Écrivez la décomposition en facteurs premiers de chaque coefficient numérique.
  2. Listez les variables avec leurs exposants les plus bas apparaissant dans l'ensemble.
  3. Multipliez les facteurs numériques communs et les facteurs variables communs entre eux.

Exemples résolus

Exemple 1 : Deux monômes

Trouvez le PGCD de $12x$ et $18x^2$.

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1. Décomposition en facteurs premiers de $12x$ :
$$12x = \color{red}{2} \cdot 2 \cdot \color{red}{3} \cdot \color{red}{x}$$

2. Décomposition en facteurs premiers de $18x^2$ :
$$18x^2 = \color{red}{2} \cdot \color{red}{3} \cdot 3 \cdot \color{red}{x} \cdot x$$

3. Identifiez les facteurs communs : $2$, $3$ et $x$.

$$\text{PGCD}(12x, 18x^2) = \color{red}{2 \cdot 3 \cdot x = 6x}$$

Exemple 2 : Variables multiples

Trouvez le PGCD de $30x^2y^3$, $42x^3y^2$ et $18x^2y^2$.

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Décompositions en facteurs premiers :

  • $30x^2y^3 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 5 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \cdot y$
  • $42x^3y^2 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 7 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \cdot \color{red}{y \cdot y}$
  • $18x^2y^2 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 3 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y}$

Le PGCD est le produit des facteurs communs :

$$\text{PGCD} = 2 \cdot 3 \cdot x^2 \cdot y^2 = \color{red}{6x^2y^2}$$

Questions d'entraînement avec solutions détaillées

Appliquez la méthode de décomposition en facteurs premiers pour résoudre les problèmes suivants.

Question 1 : Trouvez le PGCD de $36x^2$ et $42x^3$.

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$$36x^2 = \color{red}{2} \cdot 2 \cdot \color{red}{3} \cdot 3 \cdot \color{red}{x \cdot x}$$ $$42x^3 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 7 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x$$

PGCD : $2 \cdot 3 \cdot x \cdot x = \color{red}{6x^2}$

Question 2 : Trouvez le PGCD de $45x^3$, $60x^2$ et $75x^4$.

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$$45x^3 = \color{red}{3} \cdot 3 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x$$ $$60x^2 = \color{red} 2 \cdot 2 \cdot {3} \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x \cdot x}$$ $$75x^4 = \color{red}{3 \cdot 5} \cdot 5 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \cdot x$$

PGCD : $3 \cdot 5 \cdot x^2 = \color{red}{15x^2}$

Question 3 : Trouvez le PGCD de $50x^2y^3$, $75x^2y^2$ et $125x^4y^3$.

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$$50x^2y^3 = \color{red} 2 \cdot {5 \cdot 5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \cdot y$$ $$75x^2y^2 = \color{red} 3 \cdot {5 \cdot 5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y}$$ $$125x^4y^3 = \color{red} 5 \cdot {5 \cdot 5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \cdot x \cdot \color{red}{y \cdot y} \cdot y$$

PGCD : $5 \cdot 5 \cdot x^2 \cdot y^2 = \color{red}{25x^2y^2}$

Question 4 : Simplifiez l'expression rationnelle en utilisant le PGCD : $$\frac{35x^3y^2}{42x^2y^3}$$

Voir la solution

D'abord, trouvez la décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur :

$$35x^3y^2 = 5 \cdot \color{red}{7 \cdot x^2 \cdot y^2} \cdot x$$ $$42x^2y^3 = 2 \cdot 3 \cdot \color{red}{7 \cdot x^2 \cdot y^2} \cdot y$$

Annulez les facteurs communs du PGCD $(7x^2y^2)$ :

$$\frac{35x^3y^2}{42x^2y^3} = \frac{5 \cdot \color{red}{7 \cdot x^2 \cdot y^2} \cdot x}{2 \cdot 3 \cdot \color{red}{7 \cdot x^2 \cdot y^2} \cdot y} = \frac{5x}{6y}$$

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