Simplifier les exposants et les radicaux

Questions d'entraînement, y compris des questions stimulantes, avec des solutions détaillées

Pour simplifier les exposants et les radicaux, vous devez appliquer les lois des exposants et les propriétés des racines. Consultez les règles pour les radicaux et les exposants avant de commencer. Essayez de résoudre ces expressions numériques sans calculatrice.

Simplifier les expressions numériques avec exposants

Question 1 : Évaluez les expressions suivantes :

  1. \( 3^2 \)
  2. \( -3^4 \)
  3. \( (-3)^4 \)
  4. \( \left( -\dfrac{2}{3} \right)^{-2} \)
  5. \( -3^{-3} + (-2)^{-2} \)
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  1. \( 3^2 = 9 \)
  2. \( -3^4 = -(3 \times 3 \times 3 \times 3) = -81 \)
  3. \( (-3)^4 = -3 \times -3 \times -3 \times -3 = 81 \)
  4. \( \left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4} \)
  5. \( -3^{-3} + (-2)^{-2} = -\dfrac{1}{27} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{-4 + 27}{108} = \dfrac{23}{108} \)

Expressions numériques avec radicaux et exposants rationnels

Question 2 : Évaluez les expressions suivantes :

  1. \( \sqrt[3]{-8} \)
  2. \( 8^{2/3} \)
  3. \( 16^{-3/4} \)
  4. \( \dfrac{\sqrt[3]{-16}}{\sqrt[3]{2}} \)
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  1. \( \sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{(-2)^3} = -2 \)
  2. \( 8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 \)
  3. \( 16^{-3/4} = \dfrac{1}{(\sqrt[4]{16})^3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} \)
  4. \( \dfrac{\sqrt[3]{-16}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\dfrac{-16}{2}} = \sqrt[3]{-8} = -2 \)

Simplifier les expressions algébriques avec exposants

Question 3 : Simplifiez ces expressions :

  1. \( (x^2)^{-2} \)
  2. \( \dfrac{(3x)^2(-2x)^3}{(2x)^2} \)
  3. \( (-2x^2 y^{-3})^3 \)
  4. \( \left (\dfrac{-8x^3}{y^{-6}} \right)^{2/3} \)
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  1. \( (x^2)^{-2} = x^{-4} = \dfrac{1}{x^4} \)
  2. \( \dfrac{9x^2 \cdot (-8x^3)}{4x^2} = \dfrac{-72x^5}{4x^2} = -18x^3 \)
  3. \( (-2)^3 (x^2)^3 (y^{-3})^3 = -8x^6 y^{-9} = \dfrac{-8x^6}{y^9} \)
  4. \( \dfrac{(-8)^{2/3} (x^3)^{2/3}}{(y^{-6})^{2/3}} = \dfrac{4x^2}{y^{-4}} = 4x^2 y^4 \)

Simplifier les expressions algébriques avec radicaux

Question 4 : Simplifiez les expressions suivantes :

  1. \( \sqrt[4]{16x^4} \)
  2. \( \sqrt[3]{8 x^6 y^3} \)
  3. \( \dfrac{ \sqrt[5]{64x^9 y^7}}{ \sqrt[5]{2 x^4 y^2}} \)
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  1. \( \sqrt[4]{16} \sqrt[4]{x^4} = 2|x| \)
  2. \( 2x^{6/3}y^{3/3} = 2x^2y \)
  3. \( \sqrt[5]{\dfrac{64x^9 y^7}{2x^4 y^2}} = \sqrt[5]{32x^5 y^5} = 2xy \)

Questions de défi

Question 5 : Simplifiez les expressions avancées suivantes. Supposons que toutes les variables représentent des nombres réels positifs.

  1. \( \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}} \)
  2. \( \left( \dfrac{81 x^{-4} y^8}{16 x^8 y^{-4}} \right)^{-3/4} \)
  3. \( \dfrac{ \sqrt[3]{a^2b} \cdot \sqrt{ab^3} }{ \sqrt[6]{a^5b^7} } \)
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  1. Étape 1 : Convertissez les radicaux les plus internes en exposants fractionnaires.
    \( \sqrt{x \sqrt{x \cdot x^{1/2}}} = \sqrt{x \sqrt{x^{3/2}}} \)

    Étape 2 : Continuez la conversion vers l'extérieur en multipliant les puissances.
    \( \sqrt{x \cdot (x^{3/2})^{1/2}} = \sqrt{x \cdot x^{3/4}} = \sqrt{x^{7/4}} \)

    Étape 3 : Conversion finale.
    \( (x^{7/4})^{1/2} = \mathbf{x^{7/8}} \)

  2. Étape 1 : Simplifiez d'abord la fraction entre parenthèses. Soustrayez les exposants du dénominateur de ceux du numérateur.
    \( \dfrac{81}{16} x^{-4-8} y^{8-(-4)} = \dfrac{81}{16} x^{-12} y^{12} \)

    Étape 2 : Appliquez le signe négatif de l'exposant fractionnaire, ce qui inverse la fraction.
    \( \left( \dfrac{16 x^{12}}{81 y^{12}} \right)^{3/4} \)

    Étape 3 : Appliquez la puissance \(3/4\) à chaque terme (en notant que \(16 = 2^4\) et \(81 = 3^4\)).
    \( \dfrac{(2^4)^{3/4} (x^{12})^{3/4}}{(3^4)^{3/4} (y^{12})^{3/4}} = \mathbf{\dfrac{8 x^9}{27 y^9}} \)

  3. Étape 1 : Convertissez tous les radicaux en exposants rationnels.
    Numérateur : \( (a^2b)^{1/3} \cdot (ab^3)^{1/2} = a^{2/3}b^{1/3} \cdot a^{1/2}b^{3/2} \)
    Dénominateur : \( (a^5b^7)^{1/6} = a^{5/6}b^{7/6} \)

    Étape 2 : Combinez les termes au numérateur en additionnant leurs exposants.
    \( a^{2/3 + 1/2} b^{1/3 + 3/2} = a^{7/6} b^{11/6} \)

    Étape 3 : Divisez en soustrayant les exposants du dénominateur.
    \( a^{7/6 - 5/6} b^{11/6 - 7/6} = a^{2/6} b^{4/6} \)

    Étape 4 : Simplifiez les fractions et réécrivez sous forme radicale.
    \( a^{1/3} b^{2/3} = \mathbf{\sqrt[3]{ab^2}} \)

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