Angles spéciaux du cercle trigonométrique

Trouver les valeurs trigonométriques exactes en utilisant la symétrie

Comment trouver les valeurs exactes du sinus et du cosinus sans calculatrice ? En mémorisant le premier quadrant du cercle trigonométrique et en appliquant une symétrie géométrique de base, vous pouvez facilement déterminer les valeurs trigonométriques pour tout angle associé.

Comprendre la symétrie du cercle trigonométrique

Toute ligne passant par le centre d'un cercle est un axe de symétrie. Nous considérons un cercle trigonométrique dont le centre est à l'origine \( (0,0) \). Nous nous intéressons à trois types de symétrie spécifiques :

Le cercle trigonométrique ci-dessous montre le cosinus (coordonnée x) et le sinus (coordonnée y) pour les angles spéciaux en radians et en degrés : \( 0, \dfrac{\pi}{6} (30^\circ), \dfrac{\pi}{4} (45^\circ), \dfrac{\pi}{3} (60^\circ), \text{et } \dfrac{\pi}{2} (90^\circ) \).

Cercle trigonométrique montrant les angles spéciaux dans le quadrant 1
Figure 1. Le cercle trigonométrique et les angles spéciaux du Quadrant 1

Angles liés à \( \dfrac{\pi}{3} \) (60°)

Considérez les angles : \( \dfrac{2\pi}{3} \), \( \dfrac{4\pi}{3} \), et \( \dfrac{5\pi}{3} \). Ils ont tous un angle de référence de \( \dfrac{\pi}{3} \).

Valeurs de base : \( \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

1. Symétrie par rapport à l'axe des y (Quadrant II)

\[ \dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3} \]

Dans le quadrant II, x est négatif et y est positif.

\[ \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

2. Symétrie par rapport à l'origine (Quadrant III)

\[ \dfrac{4\pi}{3} = \pi + \dfrac{\pi}{3} \]

Dans le quadrant III, x et y sont négatifs.

\[ \cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

3. Symétrie par rapport à l'axe des x (Quadrant IV)

\[ \dfrac{5\pi}{3} = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} \]

Dans le quadrant IV, x est positif et y est négatif.

\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{\dfrac{1}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

Angles liés à \( \dfrac{\pi}{6} \) (30°)

Considérez les angles : \( \dfrac{5\pi}{6} \), \( \dfrac{7\pi}{6} \), et \( \dfrac{11\pi}{6} \). Ils ont tous un angle de référence de \( \dfrac{\pi}{6} \).

Valeurs de base : \( \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} \)

1. Symétrie par rapport à l'axe des y (Quadrant II)

\[ \dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6} \]

\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{\dfrac{1}{2}} \]

2. Symétrie par rapport à l'origine (Quadrant III)

\[ \dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6} \]

\[ \cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]

3. Symétrie par rapport à l'axe des x (Quadrant IV)

\[ \dfrac{11\pi}{6} = 2\pi - \dfrac{\pi}{6} \]

\[ \cos\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]

Angles liés à \( \dfrac{\pi}{4} \) (45°)

Considérez les angles : \( \dfrac{3\pi}{4} \), \( \dfrac{5\pi}{4} \), et \( \dfrac{7\pi}{4} \). Ils ont tous un angle de référence de \( \dfrac{\pi}{4} \).

Valeurs de base : \( \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

1. Symétrie par rapport à l'axe des y (Quadrant II)

\[ \dfrac{3\pi}{4} = \pi - \dfrac{\pi}{4} \]

\[ \cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

2. Symétrie par rapport à l'origine (Quadrant III)

\[ \dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4} \]

\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

3. Symétrie par rapport à l'axe des x (Quadrant IV)

\[ \dfrac{7\pi}{4} = 2\pi - \dfrac{\pi}{4} \]

\[ \cos\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

Questions de défi

Appliquez vos connaissances sur le cercle trigonométrique, les angles de référence et les angles coterminaux pour résoudre les problèmes suivants sans calculatrice.

Question 1 (Angles négatifs) : Trouvez la valeur exacte de \( \cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) \) et \( \sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) \).

Voir la solution

Étape 1 : Un angle négatif signifie une rotation dans le sens des aiguilles d'une montre. Pour trouver un angle coterminal positif, ajoutez \( 2\pi \).

\[ -\dfrac{3\pi}{4} + \dfrac{8\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} \]

Étape 2 : L'angle \( \dfrac{5\pi}{4} \) est dans le quadrant III. Le sinus et le cosinus sont tous deux négatifs.

Réponse : \( \cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \) et \( \sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \)

Question 2 (Angles supérieurs à \(2\pi\)) : Trouvez le sinus et le cosinus exacts de \( \dfrac{16\pi}{3} \).

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Étape 1 : Trouvez un angle coterminal entre \( 0 \) et \( 2\pi \) en soustrayant plusieurs fois des cercles complets (\( 2\pi \) ou \( \dfrac{6\pi}{3} \)).

\[ \dfrac{16\pi}{3} - \dfrac{6\pi}{3} = \dfrac{10\pi}{3} \]

\[ \dfrac{10\pi}{3} - \dfrac{6\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} \]

Étape 2 : L'angle \( \dfrac{4\pi}{3} \) est dans le quadrant III avec un angle de référence de \( \dfrac{\pi}{3} \).

Réponse : \( \cos\left(\dfrac{16\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \) et \( \sin\left(\dfrac{16\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \)

Question 3 (Fonctions réciproques) : Trouvez la valeur exacte de \( \sec\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \) et \( \csc\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \).

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Étape 1 : Identifiez les valeurs de sinus et de cosinus de base. L'angle \( \dfrac{11\pi}{6} \) est dans le quadrant IV.

\[ \cos\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{et} \quad \sin\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} \]

Étape 2 : Utilisez les identités réciproques : \( \sec(\theta) = \dfrac{1}{\cos(\theta)} \) et \( \csc(\theta) = \dfrac{1}{\sin(\theta)} \).

\[ \sec\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \mathbf{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}} \]

\[ \csc\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{-1/2} = \mathbf{-2} \]

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