y = a sin[ b ( x - d) ] + c or y = a cos [ b ( x - d) ] + c
given its graph.
Comment trouver l'équation d'une fonction sinusoïdale
du formulaire
y = a sin[ b ( x - d) ] + c ou y = a cos [ b ( x - d) ] + c
étant donné son graphique.
Trouvez une fonction sinusoïdale pour chacun des graphiques ci-dessous
Question 1
Solution à la question 1
La mise à l'échelle le long de l'axe y est d'une unité pour une grande division et donc la valeur maximale de y : ymax = 1 et la valeur minimale de y : y min = - 7.
L'échelle le long de l'axe x est π pour une grande division et π/5 pour une petite division.
Les points A et B marquent le début et la fin d'une période P qui est égale à 5π. Ces points sont utiles car ce sont des points maximum avec des coordonnées claires.
Puisque A et B sont des points maximaux, il est plus facile d'écrire une équation pour le graphique sous la forme y = a cos[ b(x - d) ] + c en supposant qu'à l'origine il s'agit d'un cos(x), qui commence par un maximum à x = 0, qui est transformé par déplacement vertical et horizontal (traduction) et étirement/rétrécissement vertical et horizontal.
Calculons a et c.
|a| = (ymax - ymin) = (1 - (-7)) / 2 = 4. Ce qui donne deux valeurs possibles pour a : a = 4 ou a = - 4
Le graphique entre A et B n'a aucune réflexion par rapport à la période du cos(x) entre 0 et 2π et on peut donc prendre a = 4.
c = (ymax + ymin) = (1 + (-7)) / 2 = - 3
Période : P = 2π / |b|= 5π
résolvez ce qui précède pour |b| pour obtenir : |b| = 2/5.
Ici encore, nous avons deux valeurs possibles pour b : b = 2/5 et b = -2/5. Nous prenons b = 2/5 pour faciliter nos calculs pour d.
Nous écrivons maintenant la fonction du graphique comme suit :
y = 4 cos[ (2/5)(x - d) ] - 3
d indique le décalage. Le décalage est déterminé en comparant les graphiques de y = 4 cos[ (2/5)(x) ] - 3 ( note d = 0 ) et le graphique donné. On note que le décalage (coordonnée x du point A) d = - π/5 par rapport au graphique (une petite division à gauche). L'équation du graphique est donc :
On vérifie maintenant que la fonction trouvée correspond au graphe donné en vérifiant quelques points.
Point A : x = -π/5 ; évaluer y à cette valeur de x.
y( - π/5)= 4 cos[ (2/5)( - π/5 + π/5) ] - 3 = 4 cos[ (2/5)( 0 ) ] - 3 = 1 qui correspond à la valeur sur le graphique.
Point B : x = 4π + 4 π/5 = 24π/5 ( 4 petites divisions après 4π)
y( 24π/5 )= 4 cos[ (2/5)( 24π/5 + π/5) ] - 3 = 4 cos[ (2/5)( 25π/5) ] - 3 = 4 cos[ (2/5)( 5π) ] - 3 = 4 cos[ (2π) ] - 3 = 1
ce qui correspond à la valeur sur le graphique.
Question 2
Solution à la question 2
Valeur maximale de y : ymax = 0,2 et valeur minimale de y : ymin = - 1,4 (une grande division le long du L'axe y est égal à 1 unité. Une petite division est 1/5 = 0,2).
L'échelle le long de l'axe x est π pour une grande division et π/5 pour une petite division.
Les points A et B marquent le début et la fin d'une période P qui est égale à 4π.
Les coordonnées des points A et B sont : A(π/2 , 0,2 ) , B(9π/2 , 0,2).
Le graphique entre A et B peut être supposé celui d’un cos(x) transformé. Par conséquent, une équation possible pour le graphique donné est : y = a cos[ b(x - d) ] + c.
Calculons a et c.
|a| = (ymax - ymin) = (0,2 - (-1,4)) / 2 = 0,8. Ce qui donne deux valeurs possibles pour a : a = 0,8 ou a = - 0,8
La période entre A et B n'a aucun reflet par rapport à la période du cos(x) entre 0 et 2π et on peut donc prendre a = 0,8.
c = (ymax + ymin) = (0,2 + (-1,4)) / 2 = - 0,6
Période : P = 2π / |b|= 4π
résoudre pour |b| pour obtenir : |b| = 1/2. Ici encore, nous avons deux valeurs possibles pour b : b = 1/2 et b = - 1/2. Nous prenons b = 1/2 pour faciliter nos calculs pour d.
Nous écrivons maintenant la fonction du graphique comme suit :
y = 0,8 cos[ (1/2)(x - d) ] - 0,6
d indique le décalage. Le décalage est déterminé en comparant les graphiques de y = 0,8 cos[ (1/2)(x) ] - 0,6 ( note d = 0 ) et le graphique donné. On note que le décalage (coordonnée x du point A) d = π/2 par rapport au graphique (une demi-grande division vers la droite). L'équation du graphique est donc :
y = 0,8 cos[ (1/2)(x - π/2) ] - 0,6
Vérifier la réponse trouvée
On vérifie maintenant que la fonction trouvée correspond au graphe donné en vérifiant quelques points.
Point A : x = π/2 ; évaluer y à cette valeur de x.
y(π/2)= 0,8 cos[ (1/2)(π/2 - π/2) ] - 0,6 = 0,8 cos (0) - 0,6 = 0,2 , ce qui correspond à la valeur sur le graphique.
Point B : x = 4π + π/2 = 9π/2 (une demi-grande division après 4π)
y( 9π/2 )= 0,8 cos[ (1/2)(9π/2 - π/2) ] - 0,6 = 0,8 cos (2π) - 0,6 = 0,2
qui est égale à la valeur sur le graphique.
Question 3
Solution à la question 3
Valeur maximale de y : ymax = 0 et valeur minimale de y : ymin = - 2 (une grande division le long du l'axe y est égal à 1 unité).
L'échelle le long de l'axe des x est de 1 unité pour une grande division et de 1/5 = 0,2 pour une petite division.
Les points A et B marquent le début et la fin d'une période P qui se calcule comme suit : P = 2,6 - 0,6 = 2.
Les coordonnées des points A et B sont : A(0,6 , 0 ) , B(2,6 , 0).
Le graphique entre A et B peut être supposé celui d’un sin(x) transformé. Par conséquent, une équation possible pour le graphique donné est : y = a sin[ b(x - d) ] + c.
Calculons a et c.
|a| = (ymax - ymin) = (0 - (-2)) / 2 = 1. Ce qui donne deux valeurs possibles pour a : a = 1 ou a = - 1
La période entre A et B n'a aucun reflet par rapport à la période de sin(x) entre 0 et 2π et on peut donc prendre a = 1.
c = (ymax + ymin) = (0 + (-2)) / 2 = - 1
Période : P = 2π / |b|= 2 ;
résoudre pour |b| pour obtenir : |b| = π. Ici encore, nous avons deux valeurs possibles pour b : b = π et b = - π. On prend b = π pour rendre nos calculs pour d plus simples.
Nous écrivons maintenant la fonction du graphique comme suit :
y = sin[ π(x - d) ] - 1
d indique le décalage. Le décalage est déterminé en comparant les graphiques de y = sin[ π(x) ] - 1 ( note d = 0 ) et le graphique donné. On note le décalage (coordonnée x de A) d = 0,6 du graphique ; décaler vers la droite. L'équation du graphique est donc :
On vérifie maintenant que la fonction trouvée correspond au graphe donné en vérifiant quelques points.
Point A : x = 0,6 ; évaluer y à cette valeur de x.
y( 0.6)= sin[ π(0.6 - 3/5) ] - 1 = sin[ π(0) ] - 1 = -1 , ce qui correspond à la valeur sur le graphique.
Point B : x = 1,6
y( 1,6)= sin[ π(1,6 - 3/5) ] - 1 = sin(π) - 1 = -1 , ce qui correspond à la valeur sur le graphique.
Vérifier les valeurs en A et B n'est pas suffisant car elles donneraient les mêmes valeurs si la fonction - sin[ πx - 3π/5) ] - 1 était utilisée. Nous devons vérifier un maximum ou un minimum à côté de A et B. Le premier point maximum après le point A est à x = 1 + (1/2)0,2 = 1,1
y( 1,1)= sin[ π(1,1 - 3/5) ] - 1 = sin (0,5 π) - 1 = 0 , ce qui correspond à la valeur sur le graphique.
Question 4
Solution à la question 4
Valeur maximale de y : ymax = -1 et valeur minimale de y : ymin = - 3 (une grande division le long l'axe y est égal à 1 unité. Une petite division est 1/5 = 0,2). L'échelle le long de l'axe X est de π/5 pour une grande division et de π/25 pour une petite division.
Les points A et B marquent le début et la fin d'une période P qui est égale à 8π/5 - 3π/5 = π.
Les coordonnées des points A et B sont : A(3π/5 , - 1) , B(8π/5 , - 1).
La période entre A et B peut être considérée comme celle d'un cos(x) transformé. Par conséquent, une équation possible pour le graphique donné est : y = a cos[ b(x - d) ] + c.
Calculons a et c.
|a| = (ymax - ymin) = (-1 - (-3)) / 2 = 1. Ce qui donne deux valeurs possibles pour a : a = 1 ou a = - 1 .
La période entre A et B n'a aucun reflet par rapport à la période du cos(x) entre 0 et 2π et on peut donc prendre a = 1.
c = (ymax + ymin) = (-1 + (-3)) / 2 = - 2
Période : P = 2π / |b|= π
résoudre pour |b| pour obtenir : |b| = 2. Deux valeurs possibles pour b : b = 2 et b = - 2. Nous prenons b = 2 pour faciliter nos calculs pour d.
Nous écrivons maintenant la fonction du graphique comme suit :
y = cos[ 2(x - d) ] - 2
La coordonnée x du point A indique le décalage d qui est déterminé en comparant les graphiques de y = cos[ 2(x) ] - 2 ( note d = 0 ) et le graphique donné. Nous notons que d = 3π/5 sur le graphique. L'équation du graphique est donc :
y = cos[ 2(x - 3π/5) ] - 2
Vérifier la réponse trouvée
On vérifie maintenant que la fonction trouvée correspond au graphe donné en vérifiant quelques points.
Point A : x = 3π/5 évalue y à cette valeur de x.
y( 3π/5 )= cos[ 2(3π/5 - 3π/5) ] - 2 = cos(0) - 2 = - 1 , ce qui correspond à la valeur sur le graphique.
Point B : x = 8π/5
y( 8π/5 )= cos[ 2(8π/5 - 3π/5) ] - 2 = cos (2π) - 2 = - 1
qui est égale à la valeur sur le graphique.
