Trouver une fonction sinusoïdale à partir de son graphique

Étape 1 : Trouver le décalage vertical et l'amplitude
L'échelle sur l'axe y est d'une unité pour une grande division. La valeur maximale est \( y_{\text{max}} = 1 \) et la minimale est \( y_{\text{min}} = -7 \).
Décalage vertical (\(c\)) : \[ c = \dfrac{y_{\text{max}} + y_{\text{min}}}{2} = \dfrac{1 + (-7)}{2} = -3 \] Amplitude (\(a\)) : \[ |a| = \dfrac{y_{\text{max}} - y_{\text{min}}}{2} = \dfrac{1 - (-7)}{2} = 4 \] Parce que nous suivrons un point maximum pour déterminer le décalage, nous pouvons utiliser une fonction cosinus positive, donc \( a = 4 \).

Étape 2 : Trouver la période et \(b\)
L'échelle sur l'axe x est de \( \pi \) pour une grande division et de \( \dfrac{\pi}{5} \) pour une petite division.
Les points A et B sont des maximums consécutifs. La distance horizontale entre eux est la période \( P = 5\pi \).
\[ P = \dfrac{2\pi}{|b|} = 5\pi \implies |b| = \dfrac{2}{5} \]

Étape 3 : Trouver le déphasage (\(d\))
Nous utilisons la forme cosinus : \( y = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}(x - d) \right] - 3 \).
La fonction cosinus non décalée a un maximum en \( x = 0 \). Notre graphique a un maximum au point A, qui est une petite division à gauche de l'axe des y : \( x = -\dfrac{\pi}{5} \). Ainsi, \( d = -\dfrac{\pi}{5} \).

Conclusion :
En substituant toutes les valeurs, l'équation est : \[ y = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}\left(x - \left(-\dfrac{\pi}{5}\right)\right) \right] - 3 \implies \mathbf{y = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}\left(x + \dfrac{\pi}{5} \right) \right] - 3} \]

Étape 1 : Trouver le décalage vertical et l'amplitude
Une grande division sur l'axe y vaut 1 unité, donc une petite division vaut \( 0,2 \). Sur le graphique, \( y_{\text{max}} = 0,2 \) et \( y_{\text{min}} = -1,4 \).
\[ c = \dfrac{0,2 + (-1,4)}{2} = -0,6 \] \[ |a| = \dfrac{0,2 - (-1,4)}{2} = 0,8 \] Nous utiliserons une fonction cosinus positive, donc \( a = 0,8 \).

Étape 2 : Trouver la période et \(b\)
L'axe x a de grandes divisions de \( \pi \). Les points A et B sont des maximums consécutifs en \( A\left(\dfrac{\pi}{2}, 0,2\right) \) et \( B\left(\dfrac{9\pi}{2}, 0,2\right) \).
La période est la distance entre A et B : \( P = \dfrac{9\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2} = 4\pi \).
\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = 4\pi \implies |b| = \dfrac{1}{2} \]

Étape 3 : Trouver le déphasage (\(d\))
En utilisant la fonction cosinus, le maximum se produit au point A, où \( x = \dfrac{\pi}{2} \). Cela signifie que le graphique est décalé vers la droite de \( \dfrac{\pi}{2} \), donc \( d = \dfrac{\pi}{2} \).

Conclusion :
L'équation pour le graphique est : \[ \mathbf{y = 0,8 \cos\left[ \dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) \right] - 0,6} \]

Étape 1 : Trouver le décalage vertical et l'amplitude
D'après le graphique, \( y_{\text{max}} = 0 \) et \( y_{\text{min}} = -2 \).
\[ c = \dfrac{0 + (-2)}{2} = -1 \] \[ |a| = \dfrac{0 - (-2)}{2} = 1 \] La ligne centrale verticale est à \( y = -1 \).

Étape 2 : Trouver la période et \(b\)
Les points A et B marquent un cycle d'onde complet le long de la ligne centrale. Le point A est à \( x = 0,6 \) et le point B est à \( x = 2,6 \).
Période \( P = 2,6 - 0,6 = 2 \).
\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = 2 \implies |b| = \pi \]

Étape 3 : Trouver le déphasage (\(d\))
Nous utilisons la fonction sinus : \( y = a \sin[ b(x - d) ] + c \).
La fonction sinus non décalée commence à sa ligne centrale (\( y=-1 \)) et monte. Notre graphique fait exactement cela au point A, où \( x = 0,6 \) (ou \( \dfrac{3}{5} \)). Par conséquent, le décalage vers la droite est \( d = 0,6 \). Comme le graphique monte à partir d'ici, \( a \) reste positif \( 1 \).

Conclusion :
L'équation du graphique est : \[ \mathbf{y = \sin\left[ \pi\left(x - \dfrac{3}{5}\right) \right] - 1} \]

Étape 1 : Trouver le décalage vertical et l'amplitude
Sur l'axe y, \( y_{\text{max}} = -1 \) et \( y_{\text{min}} = -3 \).
\[ c = \dfrac{-1 + (-3)}{2} = -2 \] \[ |a| = \dfrac{-1 - (-3)}{2} = 1 \] En utilisant une fonction cosinus positive, \( a = 1 \).

Étape 2 : Trouver la période et \(b\)
Les points A et B sont des maximums consécutifs situés en \( A\left(\dfrac{3\pi}{5}, -1\right) \) et \( B\left(\dfrac{8\pi}{5}, -1\right) \).
Période \( P = \dfrac{8\pi}{5} - \dfrac{3\pi}{5} = \dfrac{5\pi}{5} = \pi \).
\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = \pi \implies |b| = 2 \]

Étape 3 : Trouver le déphasage (\(d\))
Le maximum se produit au point A, où \( x = \dfrac{3\pi}{5} \). C'est notre décalage horizontal vers la droite, donc \( d = \dfrac{3\pi}{5} \).

Conclusion :
L'équation du graphique est : \[ \mathbf{y = \cos\left[ 2\left(x - \dfrac{3\pi}{5} \right) \right] - 2} \]

Étape 1 : Trouver l'amplitude et le décalage vertical
Le maximum est \( 1 \) et le minimum est \( -5 \).
\[ c = \dfrac{1 + (-5)}{2} = -2 \]
L'amplitude standard est \( \dfrac{1 - (-5)}{2} = 3 \). Parce que le problème impose \( a < 0 \), nous devons utiliser une courbe cosinus réfléchie, donc \( a = -3 \).

Étape 2 : Trouver la période et \( b \)
La distance horizontale entre un minimum et le tout prochain maximum représente exactement la moitié d'une période.
Demi-période = \( 4 - 0 = 4 \). Par conséquent, la période complète \( P = 8 \).
\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = 8 \implies b = \dfrac{2\pi}{8} = \dfrac{\pi}{4} \]

Étape 3 : Trouver le déphasage
Une courbe cosinus négative standard \( (- \cos) \) commence à son minimum sur l'axe des y (où \( x=0 \)). Comme le minimum de notre graphique est également en \( x = 0 \), aucun déphasage horizontal n'est requis. Ainsi, \( d = 0 \).

Conclusion :
\[ \mathbf{y = -3\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x\right) - 2} \]

Étape 1 : Trouver l'amplitude et le décalage vertical
Max \( = 24 \), Min \( = 18 \).
Décalage vertical (temp. moyenne) : \( c = \dfrac{24 + 18}{2} = 21 \)
Amplitude : \( a = \dfrac{24 - 18}{2} = 3 \)

Étape 2 : Trouver la période et \( b \)
Le temps entre le minimum (\( t=2 \)) et le maximum (\( t=14 \)) est de 12 heures. Cela représente un demi-cycle.
Période \( P = 24 \) heures.
\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = 24 \implies b = \dfrac{2\pi}{24} = \dfrac{\pi}{12} \]

Étape 3 : Trouver le déphasage pour le sinus
Une fonction sinus positive commence à sa ligne centrale (\( y=21 \)) et monte. Nous devons trouver le temps \( t \) où cela se produit. Le point central en montée se produit exactement à mi-chemin entre le minimum et le maximum.
Point médian dans le temps : \( t = \dfrac{2 + 14}{2} = 8 \) (ce qui correspond à 8h00).
Par conséquent, l'onde sinusoïdale commence son cycle à \( t = 8 \), ce qui signifie que le décalage est \( d = 8 \).

Conclusion :
\[ \mathbf{T(t) = 3\sin\left(\dfrac{\pi}{12}(t - 8)\right) + 21} \]

Étape 1 : Substituer le point
Insérez \( x = \dfrac{\pi}{9} \) et \( y = 6,5 \) dans l'équation :
\[ 6,5 = 5\sin\left(3\left(\dfrac{\pi}{9}\right) - C\right) + 4 \]

Étape 2 : Isoler le terme sinus
Soustrayez 4 des deux côtés :
\[ 2,5 = 5\sin\left(\dfrac{\pi}{3} - C\right) \]
Divisez par 5 :
\[ 0,5 = \sin\left(\dfrac{\pi}{3} - C\right) \]

Étape 3 : Résoudre l'équation trigonométrique
Nous savons que la fonction sinus est égale à \( 0,5 \) pour des angles comme \( \dfrac{\pi}{6} \) et \( \dfrac{5\pi}{6} \). Égalisons l'expression intérieure à ces valeurs principales.

Cas 1 :
\[ \dfrac{\pi}{3} - C = \dfrac{\pi}{6} \implies C = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6} \implies \mathbf{C = \dfrac{\pi}{6}} \]

Cas 2 :
\[ \dfrac{\pi}{3} - C = \dfrac{5\pi}{6} \implies C = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{5\pi}{6} \implies C = -\dfrac{3\pi}{6} = -\dfrac{\pi}{2} \]
Puisque le problème demande la plus petite valeur positive, nous sélectionnons le résultat du Cas 1.

Conclusion :
La plus petite valeur positive est \( C = \dfrac{\pi}{6} \).