Exposants Négatifs : Questions et Solutions Étape par Étape - 8e Année

Cette page est conçue pour aider les élèves, les parents et les enseignants à maîtriser le sujet des exposants négatifs grâce à des questions soigneusement sélectionnées et des solutions étape par étape avec explications. Développez les solutions cachées sous chaque question pour révéler les règles fondamentales et le raisonnement derrière chaque étape.

Les questions de cette page couvrent des compétences algébriques essentielles, notamment :

Rappel : Règles Fondamentales des Exposants

Nom de la Règle Formule
Règle de l'Exposant Négatif \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \)
Exposant Négatif sur une Fraction \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n \)
Puissance d'un Produit \( (a \times b)^n = a^n \times b^n \)
Puissance d'un Quotient \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} \)
Règle de l'Exposant Zéro \( a^0 = 1 \)   (où \( a \neq 0 \))

Questions d'Entraînement et Solutions

  1. Simplifiez l'expression : \( 5^{-2} \)
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    Étape 1 : Appliquer la règle de l'exposant négatif \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \).
    \[ 5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} \]
    Étape 2 : Évaluer le carré au dénominateur.
    \[ = \dfrac{1}{25} \]
  2. Évaluez : \( \left( -\dfrac{1}{3} \right)^{-2} \)
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    Étape 1 : Utiliser la règle de l'exposant négatif pour une fraction \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n \). Inverser la fraction et rendre l'exposant positif.
    \[ \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{-2} = \left(-\dfrac{3}{1}\right)^2 \]
    Étape 2 : Simplifier la fraction à l'intérieur des parenthèses.
    \[ = (-3)^2 \]
    Étape 3 : Un nombre négatif élevé au carré devient positif.
    \[ = 9 \]
  3. Simplifiez l'expression : \( \dfrac{5^{-1}}{3^{-1}} \)
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    Étape 1 : Appliquer la règle de l'exposant négatif pour déplacer les facteurs de part et d'autre de la barre de fraction. Un exposant négatif au numérateur passe au dénominateur, et un exposant négatif au dénominateur passe au numérateur.
    \[ \dfrac{5^{-1}}{3^{-1}} = \dfrac{3^1}{5^1} \]
    Étape 2 : Simplifier.
    \[ = \dfrac{3}{5} \]
  4. Évaluez : \( (2^{-3}) \times (3^{-2}) \)
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    Étape 1 : Réécrire chaque terme en utilisant la règle de l'exposant négatif.
    \[ (2^{-3})(3^{-2}) = \dfrac{1}{2^3} \times \dfrac{1}{3^2} \]
    Étape 2 : Évaluer les exposants.
    \[ = \dfrac{1}{8} \times \dfrac{1}{9} \]
    Étape 3 : Multiplier les fractions.
    \[ = \dfrac{1}{72} \]
  5. Simplifiez l'expression : \( -2^{-3} \)
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    Étape 1 : Comprendre l'ordre des opérations. L'exposant s'applique uniquement à la base \(2\), et non au signe négatif.
    \[ -2^{-3} = -\left(2^{-3}\right) \]
    Étape 2 : Appliquer la règle de l'exposant négatif à la base.
    \[ = -\left(\dfrac{1}{2^3}\right) \]
    Étape 3 : Évaluer l'exposant.
    \[ = -\dfrac{1}{8} \]
  6. Évaluez : \( -1^{-3} + 2^{-3} \)
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    Étape 1 : Appliquer les exposants avant l'addition ou la négation. Notez que dans \( -1^{-3} \), l'exposant s'applique uniquement au \(1\).
    \[ -\left(\dfrac{1}{1^3}\right) + \dfrac{1}{2^3} \]
    Étape 2 : Évaluer les dénominateurs.
    \[ = -1 + \dfrac{1}{8} \]
    Étape 3 : Trouver un dénominateur commun pour additionner les termes.
    \[ = -\dfrac{8}{8} + \dfrac{1}{8} = -\dfrac{7}{8} \]
  7. Évaluez : \( (-1)^{-4} + 2^{-3} \)
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    Étape 1 : Ici, les parenthèses signifient que le signe négatif fait partie de la base. Appliquer la règle de l'exposant négatif.
    \[ \dfrac{1}{(-1)^4} + \dfrac{1}{2^3} \]
    Étape 2 : Évaluer les exposants. Un nombre négatif à une puissance paire est positif.
    \[ = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{8} = 1 + \dfrac{1}{8} \]
    Étape 3 : Trouver un dénominateur commun pour additionner.
    \[ = \dfrac{8}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{9}{8} \]
  8. Simplifiez l'expression : \( \left( -4^{-2} \right) \left( 2^{2} \right) \)
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    Étape 1 : Traiter le premier terme. L'exposant \(-2\) s'applique uniquement au \(4\), et non au signe négatif.
    \[ \left(-\dfrac{1}{4^2}\right) \times (2^2) \]
    Étape 2 : Évaluer les exposants.
    \[ = \left(-\dfrac{1}{16}\right) \times 4 \]
    Étape 3 : Multiplier et simplifier la fraction.
    \[ = -\dfrac{4}{16} = -\dfrac{1}{4} \]
  9. Évaluez : \( (-1)^{-3} + 2^{0} \)
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    Étape 1 : Appliquer la règle de l'exposant négatif au premier terme, et se souvenir de la règle de l'exposant zéro (\(a^0 = 1\)) pour le second terme.
    \[ \dfrac{1}{(-1)^3} + 1 \]
    Étape 2 : Évaluer l'exposant. Un nombre négatif à une puissance impaire reste négatif.
    \[ = \dfrac{1}{-1} + 1 \]
    Étape 3 : Simplifier.
    \[ = -1 + 1 = 0 \]
  10. Évaluez : \( 0^{-3} \)
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    Étape 1 : Réécrire en utilisant la règle de l'exposant négatif.
    \[ 0^{-3} = \dfrac{1}{0^3} \]
    Étape 2 : Évaluer le dénominateur.
    \[ = \dfrac{1}{0} \]
    Étape 3 : La division par zéro est mathématiquement impossible. Par conséquent, l'expression est non définie.

Liens et Références