Dieses Tutorial erklärt, wie man die Konkavität von quadratischen Funktionen mithilfe der zweiten Ableitung und des führenden Koeffizienten bestimmt.
Konkavität quadratischer Funktionen
Die Konkavität einer Funktion wird durch das Vorzeichen ihrer zweiten Ableitung bestimmt. Für eine quadratische Funktion der Form:
\[ f(x) = a x^{2} + b x + c, \quad a \neq 0 \]lauten die erste und zweite Ableitung:
\[ f'(x) = 2 a x + b \] \[ f''(x) = 2 a \]Da \( f''(x) \) konstant ist und ausschließlich von \( a \) abhängt, wird die Krümmung der Parabel durch das Vorzeichen von \( a \) bestimmt:
- Wenn \( a > 0 \), dann ist \( f''(x) > 0 \) und der Graph ist nach oben gekrümmt.
- Wenn \( a < 0 \), dann ist \( f''(x) < 0 \) und der Graph ist nach unten gekrümmt.
Durchgeführte Beispiele
Unten finden Sie Beispiele, die diese Fälle mit detaillierten Lösungen veranschaulichen.
Beispiel 1: Konkavität einer quadratischen Funktion
Bestimmen Sie die Konkavität der quadratischen Funktion:
\[ f(x) = (2 - x)(x - 3) + 3 \]Lösung zu Beispiel 1
Multiplizieren Sie zunächst aus und schreiben Sie \( f(x) \) um:
\[ f(x) = -x^{2} + 5x - 3 \]Der führende Koeffizient \( a = -1 \) ist negativ, daher ist der Graph nach unten gekrümmt.
Beispiel 2: Konkavität einer quadratischen Funktion
Bestimmen Sie die Konkavität der quadratischen Funktion:
\[ f(x) = -2(x - 1)(x - 2) + 3 x^{2} \]Lösung zu Beispiel 2
Multiplizieren Sie \( f(x) \) aus und vereinfachen Sie es:
\[ f(x) = x^{2} + 6x - 4 \]Der führende Koeffizient \( a = 1 \) ist positiv, daher ist der Graph nach oben gekrümmt.
Übungen und Antworten
Bestimmen Sie die Konkavität jeder der folgenden quadratischen Funktionen:
- \( f(x) = (2 - x)(4 - x) \)
- \( f(x) = -2(x - 3)^{2} - 5 \)
- \( f(x) = x(x + 3) - 2(x - 3)^{2} \)
Antworten
- Nach oben gekrümmt (Ausmultiplizieren ergibt \( x^2 - 6x + 8 \), wobei \( a = 1 > 0 \))
- Nach unten gekrümmt (Ausmultiplizieren ergibt \( -2x^2 + 12x - 23 \), wobei \( a = -2 < 0 \))
- Nach unten gekrümmt (Ausmultiplizieren ergibt \( -x^2 + 15x - 18 \), wobei \( a = -1 < 0 \))