In der Analysis ist eine trennbare Differentialgleichung eine Differentialgleichung erster Ordnung, die wie folgt geschrieben werden kann:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{g(y)} \]was umgeschrieben werden kann als:
\[ g(y) \, dy = f(x) \, dx \]Die Variablen können so getrennt werden, dass alle Terme mit \( y \) auf einer Seite und alle Terme mit \( x \) auf der anderen Seite stehen. Diese Gleichungen lassen sich meist durch direkte Integration lösen. Dieses Tutorial erklärt die Methode und bietet durchgerechnete Beispiele gefolgt von Übungsaufgaben.
Wie man trennbare Differentialgleichungen löst
- Schreiben Sie die Gleichung so um, dass alle \( y \)-Terme auf einer Seite und alle \( x \)-Terme auf der anderen Seite stehen.
- Integrieren Sie beide Seiten nach ihren jeweiligen Variablen.
- Lösen Sie nach \( y \) auf, wenn möglich, um die allgemeine Lösung zu finden.
Beispiele mit detaillierten Lösungen
Durchgerechnete Beispiele
Beispiel 1
Lösen Sie die Differentialgleichung:
\[ \frac{dy}{dx} = 3x^2 e^{y} \]Lösung:
Variablen trennen:
\[ e^{-y} \, dy = 3x^2 \, dx \]Beide Seiten integrieren:
\[ \int e^{-y} \, dy = \int 3x^2 \, dx \] \[ -e^{-y} = x^3 + C \]Nach \( y \) auflösen:
\[ e^{-y} = -x^3 - C \] \[ -y = \ln(-x^3 - C) \] \[ y = -\ln(-x^3 - C) \]Dies ist die allgemeine Lösung. Sie können sie durch Differenzieren überprüfen.
Beispiel 2
Lösen Sie die Differentialgleichung:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\sin x}{y \cos y} \]Lösung:
Variablen trennen:
\[ y \cos y \, dy = \sin x \, dx \]Integrieren:
\[ \int y \cos y \, dy = \int \sin x \, dx \]Anwendung der partiellen Integration auf der linken Seite (\( u = y, dv = \cos y \, dy \)):
\[ y \sin y + \cos y = -\cos x + C \]Diese Lösung ist implizit; es gibt keine einfache explizite Formel für \( y(x) \).
Übungsaufgaben
Übungen & Antworten
Lösen Sie die folgenden trennbaren Differentialgleichungen:
- \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = -9x^2y^2\)
- \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = -2xe^{y}\)
Antworten:
- \(\displaystyle y = \frac{1}{3x^3 + C}\)
- \(\displaystyle y = -\ln(x^2 + C)\)