In der Analysis ist eine trennbare Differentialgleichung eine Differentialgleichung erster Ordnung, die geschrieben werden kann als
\[ \frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y)} \] was geschrieben werden kann als \[ g(y) dy = f(x) dx \]Die Variablen können so getrennt werden, dass alle Terme mit \(y\) auf einer Seite und alle Terme mit \(x\) auf der anderen Seite erscheinen. Diese Gleichungen können normalerweise durch direkte Integration gelöst werden.
Dieses Tutorial erklärt die Methode und bietet ausgearbeitete Beispiele, gefolgt von Übungsaufgaben.
Lösen Sie die Differentialgleichung:
\[ \frac{dy}{dx}=3x^2 e^{y} \]Lösung:
Variablen trennen: \[ e^{-y}dy=3x^2dx \] Beide Seiten integrieren: \[ \int e^{-y}dy=\int 3x^2dx \] \[ - e^{-y}=x^3+C \] Nach \(y\) auflösen: \[ e^{-y}=-x^3-C \] \[ -y=\ln(-x^3-C) \] \[ y=-\ln(-x^3-C) \]Dies ist die allgemeine Lösung. Sie können sie durch Ableiten überprüfen.
Lösen Sie die Differentialgleichung:
\[ \frac{dy}{dx}=\frac{\sin x}{y\cos y} \]Lösung:
Variablen trennen: \[ y\cos y\,dy=\sin x\,dx \] Integrieren: \[ \int y\cos y\,dy=\int \sin x\,dx \] Partielle Integration auf der linken Seite anwenden: \[ y\sin y+\cos y=-\cos x+C \]Diese Lösung ist implizit; es gibt keine einfache explizite Formel für \(y(x)\).
Lösen Sie die folgenden trennbaren Differentialgleichungen:
a) \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=-9x^2y^2\)
b) \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=-2xe^{y}\)
a) \(\displaystyle y=\frac{1}{3x^3+C}\)
b) \(\displaystyle y=-\ln(x^2+C)\)