Ableitung von Exponentialfunktionen
Formeln und Beispiele der Ableitungen von Exponentialfunktionen in der Analysis werden vorgestellt. Mehrere Beispiele mit detaillierten Lösungen, die Produkte, Summen und Quotienten von Exponentialfunktionen beinhalten, werden untersucht.
Ableitung von Exponentialfunktionen zu beliebigen Basen
Die Ableitung von \( f(x) = b^{x} \) ist gegeben durch
\[ f '(x) = b^{x} \ln b \]
Hinweis: wenn \( f(x) = e^{x} \), dann \( f '(x) = e^{x} \)
Beispiele mit Lösungen
Beispiel 1
Finde die Ableitung von \( f(x) = 2^{x} \)
Lösung zu Beispiel 1
Wende die obige Formel an, um zu erhalten
\[ f '(x) = 2^{x} \ln 2 \]
Beispiel 2
Finde die Ableitung von \( f(x) = 3^{x} + 3x^{2} \)
Lösung zu Beispiel 2
Sei \( g(x) = 3^{x} \) und \( h(x) = 3x^{2} \), die Funktion \( f \) ist die Summe der Funktionen \( g \) und \( h \): \( f(x) = g(x) + h(x) \).
Wende die Summenregel \( f '(x) = g '(x) + h '(x) \) an, um die Ableitung der Funktion \( f \) zu finden
\[ f '(x) = 3^{x} \ln 3 + 6x \]
Beispiel 3
Finde die Ableitung von \( f(x) = \dfrac{e^{x}}{1 + x} \)
Lösung zu Beispiel 3
Sei \( g(x) = e^{x} \) und \( h(x) = 1 + x \), die Funktion \( f \) ist der Quotient der Funktionen \( g \) und \( h \): \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). Daher verwenden wir die Quotientenregel, \[ f '(x) = \dfrac{h(x) g '(x) - g(x) h '(x)}{h(x)^{2}} \], um die Ableitung der Funktion \( f \) zu finden.
\[ g '(x) = e^{x} \]
\[ h '(x) = 1 \]
\[ f '(x) = \dfrac{(1 + x)(e^{x}) - (e^{x})(1)}{(1 + x)^{2}} \]
\[ = \dfrac{xe^{x}}{(1 + x)^{2}} \]
Beispiel 4
Finde die Ableitung von \( f(x) = e^{2x + 1} \)
Lösung zu Beispiel 4
Sei \( u = 2x + 1 \) und \( y = e^{u} \). Verwende die Kettenregel, um die Ableitung der Funktion \( f \) zu finden.
\[ f '(x) = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx} \]
\[ \dfrac{dy}{du} = e^{u} \quad \text{und} \quad \dfrac{du}{dx} = 2 \]
\[ f '(x) = 2 e^{2x + 1} \]
Übungen
Finde die Ableitung jeder Funktion.
1 - \( f(x) = e^{x} 2^{x} \)
2 - \( g(x) = 3^{x} - 3x^{3} \)
3 - \( h(x) = \dfrac{e^{x}}{2x - 3} \)
4 - \( j(x) = e^{(x^{2} + 2)} \)
Lösungen zu den obigen Übungen
1 - \( f '(x) = e^{x} 2^{x} ( \ln 2 + 1) \)
2 - \( g '(x) = 3^{x} \ln 3 - 9x^{2} \)
3 - \( h '(x) = \dfrac{e^{x}(2x - 5)}{(2x - 3)^{2}} \)
4 - \( j '(x) = 2x e^{(x^{2} + 2)} \)
Weitere Referenzen und Links
Differentialrechnung und Ableitungen
Exponentialfunktionen
Tutorial zu Exponentialfunktionen (1)