Berechnung des Flächeninhalts in Polarkoordinaten

Beachten Sie, dass der Kreis von den Strahlen \( \theta = \theta_1 \) und \( \theta = \theta_2 \) überstrichen wird, und wir müssen \( \theta_1 \) und \( \theta_2 \) finden.

Der Kreis beginnt im Ursprung (\( r(\theta) = 0 \)) und endet im Ursprung (\( r(\theta) = 0 \)). Daher werden die Winkel \( \theta_1 \) und \( \theta_2 \) durch Lösen von \( r(\theta) = 0 \) ermittelt:

\[ \sin(\theta) = 0 \]

Dies liefert die Lösungen:

\[ \theta_1 = 0 \quad \text{and} \quad \theta_2 = \pi \]

Die Fläche \( A \) des Kreises ist gegeben durch:

\[ A = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (2 \sin \theta)^2 \, d\theta = 2 \int_{0}^{\pi} (\sin \theta)^2 \, d\theta \]

Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \sin^2 \theta = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2\theta)) \):

\[ A = \int_{0}^{\pi} (1 - \cos(2\theta)) \, d\theta = \left[ \theta - \dfrac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_0^{\pi} = \pi \]

Die Fläche des gegebenen Kreises mit dem Radius \( 1 \) stimmt mit der Standardformel \( \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi \) überein.

Aufgrund der Symmetrie des Graphen berechnen wir den Flächeninhalt einer Schleife und multiplizieren das Ergebnis mit 3.

Die Schleife rechts beginnt und endet im Ursprung (\( r(\theta) = 0 \)). Das Lösen von \( \sin(3\theta) = 0 \):

\[ 3\theta = n\pi \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots) \]

Für die erste Schleife im I. Quadranten:

\[ \theta_1 = 0 \quad \text{and} \quad \theta_2 = \dfrac{\pi}{3} \]

Die Fläche der einzelnen Schleife beträgt:

\[ A = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sin 3\theta)^2 \, d\theta = \dfrac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1 - \cos(6\theta)) \, d\theta = \dfrac{1}{4} \left[ \theta - \dfrac{1}{6}\sin(6\theta) \right]_0^{\frac{\pi}{3}} = \dfrac{\pi}{12} \]

Die Gesamtfläche aller drei Schleifen beträgt:

\[ 3A = \dfrac{\pi}{4} \]

Aus Symmetriegründen ermitteln wir den Flächeninhalt der von den beiden Kurven rechts eingeschlossenen Fläche und multiplizieren ihn mit 2.

Die Fläche setzt sich aus zwei Teilen zusammen, \( A_1 \) und \( A_2 \):

\[ A_1 = \dfrac{1}{2} \int_{\theta_1}^{\theta_2} r_1^2(\theta) \, d\theta, \quad A_2 = \dfrac{1}{2} \int_{\theta_2}^{\theta_3} r_2^2(\theta) \, d\theta \]

Integrationsgrenzen:

• \( \theta_1 = 0 \) (wobei \( r_1(\theta) = 0 \))
• \( \theta_3 = \dfrac{\pi}{2} \) (wobei \( r_2(\theta) = 0 \))
• \( \theta_2 \) ist der Schnittpunkt: \( \sin(\theta) = 0.5(1 + \cos(2\theta)) \). Unter Verwendung von \( \cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta \) erhalten wir \( \sin^2\theta + \sin\theta - 1 = 0 \), was \( \sin\theta = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \approx 0.61803 \) liefert, also \( \theta_2 = \arcsin\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right) \approx 0.66624 \).

Auswertung der Integrale:

\[ A_1 = \dfrac{1}{4} \int_{0}^{0.66624} (1 - \cos(2\theta)) \, d\theta \approx 0.0450915 \] \[ A_2 = \dfrac{0.5^2}{2} \int_{0.66624}^{\frac{\pi}{2}} \left(1 + \dfrac{1}{2}(1 + \cos(4\theta)) + 2\cos(2\theta)\right) d\theta \approx 0.0409645 \]

Die gemeinsame Gesamtfläche \( A = 2(A_1 + A_2) \approx 2(0.0450915 + 0.0409645) = 0.172112 \).