Die Fläche, die von einer Kurve mit der Polargleichung \( r(\theta) \) und den Strahlen \( \theta = \theta_1\) und \( \theta = \theta_2\) begrenzt wird, ist durch die Formel [1] [2] [3] gegeben:
\[ \dfrac{1}{2}\int_{\theta_1}^{\theta_2} \; r^2(\theta) \; d\theta \]
Beispiel 1
Verwenden Sie die obige Formel, um die Fläche des Kreises zu finden, der von der Kurve \( r(\theta) = 2 \sin (\theta) \) eingeschlossen wird (dessen Graph unten gezeigt ist), und vergleichen Sie das Ergebnis mit der Formel für die Fläche eines Kreises \( \pi r^2 \), wobei \( r \) der Radius ist.
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Lösung zu Beispiel 1
Beachten Sie, dass der Kreis von den Strahlen \( \theta = \theta_1 \) und \( \theta = \theta_2 \) überstrichen wird und wir \( \theta_1 \) und \( \theta_2 \) finden müssen.
Es kann angenommen werden, dass der Kreis im Ursprung beginnt, so dass \( r(\theta) = 0 \) gilt, und im Ursprung endet, \( r(\theta) =0 \). Daher werden die Winkel \( \theta_1 \) und \( \theta_2 \) durch Lösen von \( r(\theta) = 0 \) gefunden. Dies ergibt die Gleichung:
\( \sin ( \theta) = 0 \)
was die folgenden Lösungen liefert: \[ \theta_1 = 0 \quad , \quad \theta_2 = \pi \]
Die Fläche \( A \) des Kreises ist gegeben durch:
\[ A = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi} \; (2 \sin \theta )^2 \; d\theta \]
Vereinfachen:
\[ A = 2\int_{0}^{\pi} \; (\sin \theta )^2 \; d\theta \]
Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \sin^2 \theta = \dfrac{1}{2} (1 - \cos(2\theta) )\) und vereinfachen Sie, um zu erhalten:
\[ A = \int_{0}^{\pi} \; (1 - \cos(2\theta) ) \; d\theta \]
Berechnen Sie das Integral:
\[ A = \left[\theta -\dfrac{1}{2}\sin (2 \theta ) \right]_0^{\pi} = \pi \]
Die Fläche des gegebenen Kreises mit Radius \( 1 \) hätte auch mit der Formel \( \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi \) berechnet werden können.
Beispiel 2
Finden Sie die Fläche der Region, die von der Kurve \( r(\theta) = \sin ( 3 \theta) \) eingeschlossen wird, deren Graph unten gezeigt ist.
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Lösung zu Beispiel 2
Aufgrund der Symmetrie des Kurvendiagramms müssen wir die von einer Schleife eingeschlossene Fläche finden und das Ergebnis dann mit \( 3 \) multiplizieren.
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Die Schleife rechts (in blau) beginnt im Ursprung \( r (\theta) = 0\) und endet im Ursprung \( r (\theta) = 0\). Daher werden \( \theta_1 \) und \( \theta_2 \) durch Lösen von \( r(\theta) = 0 \) gefunden. Dies ergibt die Gleichung:
\[ \sin (3 \theta) = 0 \]
was die allgemeinen Lösungen liefert: \[ 3 \theta = n \pi \] mit \( n = 0, \pm 1, \pm 2, ...\)
Wir benötigen die Lösungen im Quadranten (I), die gegeben sind durch:
\[ \theta_1 = 0 \] und \[ \theta_2 = \dfrac{\pi}{3} \]
Die Fläche der schraffierten (blauen) Schleife ist gegeben durch:
\[ A = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \; (\sin 3 \theta )^2 \; d\theta \]
Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \sin^2 (3\theta) = \dfrac{1}{2} (1 - \cos(6\theta) )\) und vereinfachen Sie, um zu erhalten:
\[ A = \dfrac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \; (1 - \cos(6\theta)) \; d\theta \]
Berechnen Sie das Integral:
\[ A = \dfrac{1}{4} \left[\theta - \frac{1}{6}\sin (6\theta) \right]_0^{\frac{\pi}{3}}= \dfrac{\pi}{12} \]
Die Gesamtfläche aller drei Schleifen ist gegeben durch: \[ 3 A = \dfrac{ \pi}{4} \]
Beispiel 3
Finden Sie die Fläche der Region, die den Kurven \( r_1(\theta) = \sin (\theta) \) und \( r_2(\theta) = 0.5 (1+\cos ( 2\theta)) \) gemeinsam ist, wie unten gezeigt.
Lösung zu Beispiel 3
Aufgrund der Symmetrie müssen wir die Fläche der Oberfläche finden, die von den beiden Kurven auf der rechten Seite eingeschlossen wird (wie unten gezeigt), und das Ergebnis mit zwei multiplizieren.
Die zu findende Fläche besteht aus zwei Teilen: \( A_1 \) und \( A_2 \), gegeben durch:
\[ A_1 = \dfrac{1}{2}\int_{\theta_1}^{\theta_2} \; r_1^2(\theta) \; d\theta \]
\[ A_2 = \dfrac{1}{2}\int_{\theta_2}^{\theta_3} \; r_2^2(\theta) \; d\theta \]
Finden Sie die Integrationsgrenzen \( \theta_1 \), \( \theta_2 \) und \( \theta_3 \).
a) \( \theta_1 \) wird durch Lösen der Gleichung \( r_1 (\theta) = 0 \) gefunden, also \( \sin (\theta) = 0 \), was die allgemeine Lösung \( \theta_1 = n \pi \) mit \( n = 0, \pm 1, \pm 2, ...\) ergibt.
Die benötigte Lösung ist \( \theta_1 = 0 \).
b) \( \theta_3 \) wird durch Lösen der Gleichung \( r_2 (\theta) = 0 \) gefunden, was \( 0.5 (1+\cos ( 2\theta)) = 0 \) ergibt.
\( \cos ( 2\theta) = -1 \) ergibt die allgemeinen Lösungen: \( \theta = \dfrac{\pi}{2} + n\pi \) mit \( n = 0, \pm 1, \pm 2, ...\)
Die benötigte Lösung ist \( \theta_3 = \dfrac{\pi}{2} \).
c) \( \theta_2 \) entspricht einem Strahl, der durch den Schnittpunkt der Kurven \( r_1(\theta) \) und \( r_2(\theta) \) verläuft, und wird durch Lösen der Gleichung \( r_1(\theta) = r_2(\theta) \) gefunden, geschrieben als:
\[ \sin (\theta) = 0.5 (1+\cos ( 2\theta)) \]
Verwenden Sie die Identität \( \cos ( 2\theta) = 1 - 2 \sin^2 \theta \) und schreiben Sie die Gleichung um als:
\[ \sin (\theta) = 0.5 (1+(1 - 2 \sin^2 \theta)) \]
Vereinfachen:
\[ \sin^2 \theta + \sin (\theta) - 1 = 0 \]
Lösen Sie die obige quadratische Gleichung, um die Lösungen zu erhalten:
\[ \sin (\theta')=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \approx 0.61803 \quad \text{und} \quad \sin (\theta")=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \approx -1.61803 \]
Die Gleichung \( \sin (\theta") \approx -1.61803 \) hat keine Lösung.
Daher ist die allgemeine Lösung im Quadranten (I) gegeben durch: \[ \theta' = \arcsin (0.61803) + 2 n \pi \]
was \( \theta_2 = \arcsin\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right) \approx 0.66624 \) ergibt.
\( A_1 \) und \( A_2 \) können geschrieben werden als:
\[ A_1 = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{0.66624} \; \sin^2(\theta) \; d\theta \]
\[ A_2 = \dfrac{1}{2}\int_{0.66624}^{\frac{\pi}{2}} \; (0.5 (1+\cos ( 2\theta)))^2 \; d\theta \]
Verwenden Sie die Identität \( \sin^2 \theta = \dfrac{1}{2} (1 - \cos(2\theta) )\) in \( A_1 \) und vereinfachen Sie:
\[ A_1 = \dfrac{1}{4}\int_{0}^{0.66624} \; (1 - \cos(2\theta) ) \; d\theta \]
Berechnen Sie \( A_1 \):
\[ A_1 = \dfrac{1}{4}[\theta -\dfrac{1}{2}\sin (2\theta) ]_{0}^{0.66624} \approx 0.0450915 \]
Erweitern Sie den Integranden in \( A_2 \):
\[ A_2 = \dfrac{1}{2}\int_{0.66624}^{\frac{\pi}{2}} \; 0.5^2 (1+\cos^2( 2\theta)+2 \cos (2\theta)) \; d\theta \]
Verwenden Sie die Identität \( \cos^2 (2\theta) = \dfrac{1}{2} (1 + \cos(4\theta) )\) in \( A_2 \) und vereinfachen Sie:
\[ A_2 = \dfrac{0.5^2}{2}\int_{0.66624}^{\frac{\pi}{2}} \; (1+ \dfrac{1}{2} (1 + \cos(4\theta) ) + 2 \cos (2\theta)) \; d\theta \]
Berechnen Sie \( A_2 \):
\[ \dfrac{0.5^2}{2} \left[ \frac{3}{2}\theta+\frac{1}{8}\sin (4 \theta )+\sin (2 \theta) \right]_{0.66624}^{\frac{\pi}{2}} \approx 0.0409645 \]
Die Gesamtfläche \( A \), die den beiden Kurven gemeinsam ist, beträgt \( 2 (A_1 + A_2) \):
\[ A \approx 2(0.0450915 + 0.0409645) = 2(0.086056) = 0.172112 \]