Regeln der Integrale mit Beispielen

Ein Tutorial mit Beispielen und detaillierten Lösungen zur Anwendung der Regeln für unbestimmte Integrale in der Analysis. Eine Reihe von Fragen mit Lösungen ist ebenfalls enthalten.

Im Folgenden ist C eine Integrationskonstante und kann jeden Wert annehmen.

1 - Integral einer Potenzfunktion: \( f(x) = x^n \)

\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c \]
Beispiel: Berechnen Sie das Integral \[ \int x^5 dx \] Lösung: \[ \int x^5 dx = \dfrac{x^{5 + 1}}{ 5 + 1} + c = \dfrac{x^6}{6} + c \]

2 - Integral einer Funktion \( f \) multipliziert mit einer Konstanten \( k \): \( k f(x) \)

\[ \int k f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx \]
Beispiel: Berechnen Sie das Integral \[ \int 5 \sin \; x dx \] Lösung:
Nach der obigen Regel
\[ \int 5 \sin (x) dx = 5 \int \sin(x) dx \]
\( \displaystyle \int \sin(x) dx \) wird durch 2.1 in der Tabelle der Integralformeln angegeben, daher

Daher
\[ \displaystyle \int 5 \sin(x) dx = - 5 \cos x + C \]

3 - Integral von Summen von Funktionen.

\[ \int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx \] Beispiel: Berechnen Sie das Integral \[ \int (x + e^x) dx \] Lösung:
Nach der obigen Eigenschaft \[ \displaystyle \int (x + e^x) dx = \int x \; dx + \int e^x \; dx \] \( \int x \; dx \) wird durch 1.3 und \( \displaystyle \int e^x \; dx \) durch 4.1 in der Tabelle der Integralformeln angegeben, daher \[ \int (x + e^x) \; dx = \dfrac{x^2}{2} + e^x + c \]

4 - Integral von Differenzen von Funktionen.

\[ \int (f(x) - g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx - \int g(x) \, dx \]
Beispiel: Berechnen Sie das Integral \[ \int (2 - 1/x) \; dx \]
Lösung:
Nach der obigen Eigenschaft \[ \displaystyle \int (2 - 1/x) dx = \int 2 \; dx - \int (1/x) \; dx \]
\( \int 2 \; dx \) wird durch 1.2 und \( \int (1/x) \; dx \) durch 1.4 in der Tabelle der Integralformeln angegeben, daher \[ \int (2 - 1/x) \; dx = 2x - \ln |x| + c \]

5 - Integration durch Substitution.

\[ \int f(u) \frac{du}{dx} \, dx = \int f(u) \, du \]
Beispiel: Berechnen Sie das Integral \[ \int (x^2 - 1)^{20} 2x \; dx \]
Lösung:
Setze \( u = x^2 - 1 \), also \( du/dx = 2x \) und das gegebene Integral kann geschrieben werden als \[ \int(x^2 - 1)^{20} \; 2x \; dx = \int u^{20} (du/dx) dx = \int u^{20} du \] was ausgewertet wird zu \[ = \dfrac{u^{21}}{21} + c \] Rücksubstitution \[ = \dfrac{(x^2 - 1)^{21}}{21} + c \]

6 - Partielle Integration.

\[ \int f(x) g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x) g(x) \, dx \]
Beispiel: Berechnen Sie das Integral \[ \int \; x \; \cos x \; dx \]
Lösung:
Setze \( f(x) = x \) und \( g ' (x) = \cos x \), was ergibt \[ f ' (x) = 1 \) und \( g(x) = \sin x \] Aus der obigen Formel für partielle Integration, \[ \int \; x \cos x \; dx = x \sin x - \int 1 \sin x dx \] \[ = x \sin x + \cos x + c \]

Weitere Fragen mit Lösungen

Verwenden Sie die Tabelle der Integralformeln und die obigen Regeln, um die folgenden Integrale zu berechnen. [Beachten Sie, dass Sie für ein Integral möglicherweise mehr als eine der obigen Regeln anwenden müssen].
1. \( \displaystyle \int (1 / 2) \ln \; (x) dx \)
2. \( \displaystyle \int (\sin (x) + x^5 ) \; dx \)
3. \( \displaystyle \int (\sinh (x) - 3) \; dx \)
4. \( \displaystyle \int x \sin (x) \; dx \)
5. \( \displaystyle \int \sin^{10}(x) \; \cos(x) dx \)

Lösungen zu den obigen Fragen

1.
Die Konstante \( \frac{1}{2} \) vor das Integral ziehen \[ \int \frac{1}{2} \ln(x) dx = \frac{1}{2} \int \ln(x) dx \] Partielle Integration anwenden Setze \[ u = \ln(x) \quad \text{und} \quad dv = dx \] Dann \[ du = \frac{1}{x} dx \quad \text{und} \quad v = x \] \[ \int u dv = uv - \int vdu \] Einsetzen: \[ \int \ln(x) dx = x\ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x\ln(x) - \int 1 dx \] \[ \int \ln(x) dx = x\ln(x) - x + C \] \[ \int \frac{1}{2} \ln(x) dx = \frac{1}{2}\big(x\ln(x) - x\big) + C \]
2.
Regel 3 (Integral einer Summe) anwenden: \[ \int (\sin x + x^5) \, dx = \int \sin x \, dx + \int x^5 \, dx \] Wir verwenden Formel 2.1 in der Tabelle der Integralformeln, um \( \int \sin x \, dx \) zu berechnen, und Regel 1 oben, um \( \int x^5 \, dx \) zu berechnen. Daher: \[ \int (\sin x + x^5) \, dx = -\cos x + \frac{x^6}{6} + c \]
3.
Regel 4 (Integral einer Differenz) anwenden: \[ \int (\sinh x - 3) \, dx = \int \sinh x \, dx - \int 3 \, dx \] Wir verwenden Formel 7.1 in der Tabelle der Integralformeln, um \( \int \sinh x \, dx \) zu berechnen, und das Integral der Konstanten 3, um zu erhalten: \[ \int (\sinh x - 3) \, dx = \cosh x - 3x + c \]
4.
Der Integrand ist das Produkt der beiden Funktionen \( x \) und \( \sin x \). Wir verwenden partielle Integration (Regel 6) wie folgt: Setze \( f(x) = x \), \( g'(x) = \sin x \), und daher \( g(x) = -\cos x \). Dann: \[ \int x \sin x \, dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx \] Mit Formel 2.2 in der Tabelle der Integralformeln, um \( \int \cos x \, dx \) zu berechnen, erhalten wir: \[ \int x \sin x \, dx = - x \cos x + \sin x + c \]
5.
Setze \( u = \sin x \) und daher \( du = \cos x \, dx \). Damit kann das gegebene Integral geschrieben werden als: \[ \int \sin^{10} x \cos x \, dx = \int u^{10} \, du \] Regel 1 anwenden: \[ \int u^{10} \, du = \frac{u^{11}}{11} + c \] Rücksubstitution \( u = \sin x \): \[ \int \sin^{10} x \cos x \, dx = \frac{1}{11} \sin^{11} x + c \]

Weitere Referenzen und Links