Es wird ein Tutorial mit Beispielen und detaillierten Lösungen zur Anwendung der Regeln unbestimmter Integrale in der Analysis vorgestellt. Eine Reihe von Fragen mit Lösungen ist ebenfalls enthalten.
Im Folgenden ist \( C \) eine Integrationskonstante und kann jeden Wert annehmen.
1 - Integral einer Potenzfunktion: \( f(x) = x^n \)
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c \]Beispiel: Berechne das Integral \( \displaystyle \int x^5 \, dx \)
Lösung:
\[ \int x^5 \, dx = \dfrac{x^{5 + 1}}{5 + 1} + c = \dfrac{x^6}{6} + c \]2 - Integral einer Funktion \( f \) multipliziert mit einer Konstanten \( k \): \( k f(x) \)
\[ \int k f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx \]Beispiel: Berechne das Integral \( \displaystyle \int 5 \sin(x) \, dx \)
Lösung:
Gemäß der obigen Regel:
\[ \int 5 \sin(x) \, dx = 5 \int \sin(x) \, dx \]\( \displaystyle \int \sin(x) \, dx \) ist durch Formel 2.1 in der Tabelle der Integralformeln gegeben, daher:
\[ \int 5 \sin(x) \, dx = -5 \cos x + C \]3 - Integral der Summe von Funktionen
\[ \int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx \]Beispiel: Berechne das Integral \( \displaystyle \int (x + e^x) \, dx \)
Lösung:
Gemäß der obigen Eigenschaft:
\[ \int (x + e^x) \, dx = \int x \, dx + \int e^x \, dx \]\( \int x \, dx \) ist durch 1.3 und \( \displaystyle \int e^x \, dx \) durch 4.1 in der Tabelle der Integralformeln gegeben, daher:
\[ \int (x + e^x) \, dx = \dfrac{x^2}{2} + e^x + c \]4 - Integral der Differenz von Funktionen
\[ \int (f(x) - g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx - \int g(x) \, dx \]Beispiel: Berechne das Integral \( \displaystyle \int \left(2 - \frac{1}{x}\right) \, dx \)
Lösung:
Gemäß der obigen Eigenschaft:
\[ \int \left(2 - \frac{1}{x}\right) dx = \int 2 \, dx - \int \frac{1}{x} \, dx \]\( \int 2 \, dx \) ist durch 1.2 und \( \int \frac{1}{x} \, dx \) durch 1.4 in der Tabelle der Integralformeln gegeben, daher:
\[ \int \left(2 - \frac{1}{x}\right) dx = 2x - \ln|x| + c \]5 - Integration durch Substitution
\[ \int f(u) \dfrac{du}{dx} \, dx = \int f(u) \, du \]Beispiel: Berechne das Integral \( \displaystyle \int (x^2 - 1)^{20} \cdot 2x \, dx \)
Lösung:
Sei \( u = x^2 - 1 \), folglich \( \dfrac{du}{dx} = 2x \) und das gegebene Integral kann geschrieben werden als:
\[ \int (x^2 - 1)^{20} \cdot 2x \, dx = \int u^{20} \dfrac{du}{dx} \, dx = \int u^{20} \, du \]Was ausgewertet ergibt:
\[ = \dfrac{u^{21}}{21} + c \]Setzen Sie \( u = x^2 - 1 \) wieder ein:
\[ = \dfrac{(x^2 - 1)^{21}}{21} + c \]6 - Partielle Integration
\[ \int f(x) g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x) g(x) \, dx \]Beispiel: Berechne das Integral \( \displaystyle \int x \cos x \, dx \)
Lösung:
Sei \( f(x) = x \) und \( g'(x) = \cos x \), was \( f'(x) = 1 \) und \( g(x) = \sin x \) ergibt.
Aus der obigen Formel für die partielle Integration:
\[ \int x \cos x \, dx = x \sin x - \int 1 \cdot \sin x \, dx \] \[ = x \sin x + \cos x + c \]Weitere Fragen mit Lösungen
Verwenden Sie die Tabelle der Integralformeln und die obigen Regeln, um die folgenden Integrale zu berechnen. [Beachten Sie, dass Sie für ein Integral möglicherweise mehr als eine der obigen Regeln anwenden müssen].
Klicken Sie auf jede Frage, um deren detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösung anzuzeigen.
Frage 1: Berechne \( \displaystyle \int \frac{1}{2} \ln(x) \, dx \)
Lösung:
Ziehen Sie die Konstante \( \frac{1}{2} \) vor das Integral:
\[ \int \frac{1}{2} \ln(x) \, dx = \frac{1}{2} \int \ln(x) \, dx \]Verwenden Sie die partielle Integration. Sei \( u = \ln(x) \) und \( dv = dx \), dann ist \( du = \frac{1}{x} \, dx \) und \( v = x \):
\[ \int u \, dv = u v - \int v \, du \] \[ \int \ln(x) \, dx = x\ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x\ln(x) - \int 1 \, dx = x\ln(x) - x + C \]Deshalb:
\[ \int \frac{1}{2} \ln(x) \, dx = \frac{1}{2}\bigl(x\ln(x) - x\big) + C \]Frage 2: Berechne \( \displaystyle \int (\sin x + x^5) \, dx \)
Lösung:
Verwenden Sie Regel 3 (Integral einer Summe), um zu erhalten:
\[ \int (\sin x + x^5) \, dx = \int \sin x \, dx + \int x^5 \, dx \]Wir verwenden Formel 2.1 in der Tabelle der Integralformeln zur Berechnung von \( \int \sin x \, dx \) und Regel 1 oben zur Berechnung von \( \int x^5 \, dx \). Daher:
\[ \int (\sin x + x^5) \, dx = -\cos x + \frac{x^6}{6} + c \]Frage 3: Berechne \( \displaystyle \int (\sinh x - 3) \, dx \)
Lösung:
Verwenden Sie Regel 4 (Integral einer Differenz), um zu erhalten:
\[ \int (\sinh x - 3) \, dx = \int \sinh x \, dx - \int 3 \, dx \]Wir verwenden Formel 7.1 in der Tabelle der Integralformeln zur Berechnung von \( \int \sinh x \, dx \) und das Integral der Konstanten \( 3 \), um Folgendes zu erhalten:
\[ \int (\sinh x - 3) \, dx = \cosh x - 3x + c \]Frage 4: Berechne \( \displaystyle \int x \sin x \, dx \)
Lösung:
Der Integrand ist das Produkt zweier Funktionen \( x \) und \( \sin x \). Wir verwenden die partielle Integration (Regel 6):
Sei \( f(x) = x \) und \( g'(x) = \sin x \), folglich \( f'(x) = 1 \) und \( g(x) = -\cos x \).
Dann:
\[ \int x \sin x \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \, dx = -x \cos x - \int 1 \cdot (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx \]Unter Verwendung von Formel 2.2 in der Tabelle der Integralformeln zur Berechnung von \( \int \cos x \, dx \) erhalten wir:
\[ \int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + c \]Frage 5: Berechne \( \displaystyle \int \sin^{10}(x) \cos(x) \, dx \)
Lösung:
Sei \( u = \sin x \), daher \( du = \cos x \, dx \). Folglich kann das gegebene Integral geschrieben werden als:
\[ \int \sin^{10} x \cos x \, dx = \int u^{10} \, du \]Verwenden Sie Regel 1, um zu schreiben:
\[ \int u^{10} \, du = \frac{u^{11}}{11} + c \]Setzen Sie \( u = \sin x \) ein, um zu erhalten:
\[ \int \sin^{10} x \cos x \, dx = \frac{1}{11} \sin^{11} x + c \]