Das Newton-Verfahren ist ein numerisches Verfahren, das die erste Ableitung verwendet, um Nullstellen von Funktionen zu approximieren. Unten sind detaillierte Beispiele aufgeführt, die dessen Anwendung veranschaulichen. Sie können die Ergebnisse mit diesem Rechner für das Newton-Verfahren überprüfen.
Formel des Newton-Verfahrens
Das Newton- (oder Newton-Raphson-) Verfahren basiert auf der rekursiven Formel:
Beginnen Sie mit der Auswahl eines Startpunkts in der Nähe der Nullstelle der Funktion. Iterieren Sie dann mithilfe der obigen Formel. Dieses Verfahren ist weit verbreitet und in den meisten Programmiersprachen leicht implementierbar.
Durchgeführte Beispiele
Beispiel 1: Approximieren Sie die größte Nullstelle von \( f(x) = x^2 + 3x + 1 \)
Die Nullstellen dieser quadratischen Funktion können analytisch gefunden werden, aber wir werden zum Vergleich das Newton-Verfahren verwenden. Durch das Zeichnen des Graphen von \( f \) erkennen wir zwei negative Nullstellen. Die größere Nullstelle liegt näher bei 0. Wählen wir \( x_0 = 0 \) als Anfangsnäherung.
Die Ableitung lautet:
\[ f'(x) = 2x + 3 \]Ausgehend von \( x_0 = 0 \):
\[ x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 0 - \frac{0^2 + 3(0) + 1}{2(0) + 3} = -\frac{1}{3} \] \[ x_2 = -\frac{1}{3} - \frac{f(-1/3)}{f'(-1/3)} \approx -0.38095238 \] \[ x_3 \approx -0.38196555, \quad x_4 \approx -0.38196601, \quad x_5 \approx -0.38196601 \]Vergleichen Sie dies mit der exakten Nullstelle mithilfe der Mitternachtsformel: \[ z_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \approx -0.38196601125\ldots \] Das Newton-Verfahren liefert eine Genauigkeit von 8 Dezimalstellen.
Überprüfung der Genauigkeit: \[ f(x_5) \approx 2.8 \times 10^{-9} \] Dies bestätigt, dass \( x_5 \) eine sehr genaue Näherung ist.
Hinweis: Beispiel 1 wurde ausgewählt, um die Newton-Näherung mit einer exakten Lösung zu vergleichen. Das Newton-Verfahren ist am nützlichsten für Gleichungen, die keine analytische Lösung besitzen, wie in den nächsten Beispielen.
Beispiel 2: Lösen Sie \( e^{x-3} = -x + 2 \)
Schreiben Sie die Gleichung um als:
\[ f(x) = e^{x - 3} + x - 2 = 0 \]Daraus folgt:
\[ f'(x) = e^{x - 3} + 1 \]Der Graph legt eine Nullstelle nahe \( x = 2 \) nahe, setzen wir also \( x_0 = 2 \). Dann:
\[ x_1 = 2 - \frac{e^{-1}}{e^{-1} + 1} \approx 1.73105857 \] \[ x_2 \approx 1.72154537, \quad x_3 \approx 1.72153545, \quad x_4 \approx 1.72153545 \]Da \( x_4 = x_3 \) bis auf 8 Dezimalstellen gilt, bricht der Prozess ab.
Überprüfung:
\[ f(x_4) \approx -9.3 \times 10^{-9} \] \[ \text{Links: } e^{x_4 - 3} \approx 0.278464540 \quad \text{Rechts: } -x_4 + 2 \approx 0.278464550 \]Somit ist \( x_4 = 1.72153545 \) eine ausgezeichnete Näherung.
Beispiel 3: Approximieren Sie \( \sqrt[3]{5} \)
Die dritte Wurzel von 5 löst \( x = \sqrt[3]{5} \Rightarrow x^3 = 5 \) bzw.:
\[ f(x) = x^3 - 5 = 0, \quad f'(x) = 3x^2 \]Aus dem Graphen ergibt sich ein guter Startpunkt bei \( x_0 = 2 \).
\[ x_1 = 2 - \frac{2^3 - 5}{3 \cdot 2^2} = 1.75 \] \[ x_2 = 1.71088435, \quad x_3 = 1.70997642, \quad x_4 = x_5 = 1.70997594 \]Daher ist \( \sqrt[3]{5} \approx 1.70997594 \).
