Das Newton-Verfahren ist eine numerische Technik, die die erste Ableitung verwendet, um Nullstellen von Funktionen anzunähern. Nachfolgend finden Sie detaillierte Beispiele, die seine Anwendung demonstrieren. Sie können die Ergebnisse mit diesem Rechner für das Newton-Verfahren überprüfen.
Das Newton- (oder Newton-Raphson-) Verfahren basiert auf der rekursiven Formel:
\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}, \quad n = 0, 1, 2, \ldots \]
Beginnen Sie, indem Sie einen Startpunkt in der Nähe der Nullstelle der Funktion wählen. Dann iterieren Sie mit der obigen Formel. Diese Methode ist weit verbreitet und lässt sich leicht in den meisten Programmiersprachen implementieren.
Verwenden Sie das Newton-Verfahren, um die größte Nullstelle von:
\[ f(x) = x^2 + 3x + 1 \]
Die Nullstellen dieser quadratischen Funktion können analytisch gefunden werden, aber wir werden das Newton-Verfahren zum Vergleich verwenden. Durch die grafische Darstellung von \( f \) erkennen wir zwei negative Nullstellen. Die größere Nullstelle liegt näher bei 0. Nehmen wir \( x_0 = 0 \) als erste Näherung.
Die Ableitung ist:
\[ f'(x) = 2x + 3 \]
Beginnend bei \( x_0 = 0 \): \[ x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 0 - \frac{0^2 + 3(0) + 1}{2(0) + 3} = -\frac{1}{3} \] \[ x_2 = -\frac{1}{3} - \frac{f(-1/3)}{f'(-1/3)} \approx -0.38095238 \] \[ x_3 \approx -0.38196555, \quad x_4 \approx -0.38196601, \quad x_5 \approx -0.38196601 \]
Vergleichen Sie dies mit der exakten Wurzel unter Verwendung der quadratischen Formel: \[ z_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \approx -0.38196601125\ldots \] Das Newton-Verfahren liefert eine Genauigkeit von 8 Dezimalstellen.
Überprüfung der Genauigkeit: \[ f(x_5) \approx 2.8 \times 10^{-9} \] Dies bestätigt, dass \( x_5 \) eine sehr genaue Näherung ist.
Hinweis: Beispiel 1 wurde ausgewählt, um die Newton-Näherung mit einer exakten Lösung zu vergleichen. Das Newton-Verfahren ist am nützlichsten für Gleichungen, die keine analytische Lösung haben, wie in den nächsten Beispielen.
Lösen Sie die Gleichung \( e^{x-3} = -x + 2 \) mit dem Newton-Verfahren.
Formulieren Sie die Gleichung um als: \[ f(x) = e^{x - 3} + x - 2 = 0 \] Dann: \[ f'(x) = e^{x - 3} + 1 \]
Die Grafik deutet auf eine Nullstelle nahe \( x = 2 \) hin, also setzen wir \( x_0 = 2 \). Dann: \[ x_1 = 2 - \frac{e^{-1}}{e^{-1} + 1} \approx 1.73105857 \] \[ x_2 \approx 1.72154537, \quad x_3 \approx 1.72153545, \quad x_4 \approx 1.72153545 \] Da \( x_4 = x_3 \) auf 8 Dezimalstellen genau ist, wird der Prozess beendet.
Verifikation: \[ f(x_4) \approx -9.3 \times 10^{-9} \] \[ \text{Links: } e^{x_4 - 3} \approx 0.278464540 \quad \text{Rechts: } -x_4 + 2 \approx 0.278464550 \] Folglich ist \( x_4 = 1.72153545 \) eine ausgezeichnete Näherung.
Nähern Sie \( \sqrt[3]{5} \) mit dem Newton-Verfahren an.
Die Kubikwurzel von 5 löst \( x = \sqrt[3]{5} \Rightarrow x^3 = 5 \), oder: \[ f(x) = x^3 - 5 = 0, \quad f'(x) = 3x^2 \] Der Grafik zufolge ist ein guter Startpunkt \( x_0 = 2 \).
\[ x_1 = 2 - \frac{2^3 - 5}{3 \cdot 2^2} = 1.75 \] \[ x_2 = 1.71088435, \quad x_3 = 1.70997642, \quad x_4 = x_5 = 1.70997594 \] Somit ist \( \sqrt[3]{5} \approx 1.70997594 \).
