Ein Schritt-für-Schritt-Newton-Verfahren-Rechner wird vorgestellt.
Newton-Verfahren zur Annäherung der Lösung einer Gleichung \( f(x) = 0 \) ist ein numerischer iterativer Prozess, der geschrieben wird als
\( x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)} {f '(x_n) }\) für \( n = 0,1,2,3,... \)
und daher beginnend bei einem Startwert \( x_0 \) , berechnen wir \( x_1 \) mit dem obigen Prozess, verwenden dann \( x_1 \) zur Berechnung von \( x_2 \) und so weiter.
Der Prozess wird fortgesetzt, bis die Konvergenz der Lösung erreicht ist.
Beispiel
Sei \( \quad x^3 = \ln(x) + 2 \quad \) eine zu lösende Gleichung.
Diese Gleichung kann nicht analytisch gelöst werden, daher können wir das Newton-Verfahren verwenden, um eine Näherungslösung zu finden.
Der erste Schritt besteht darin, die Gleichung so zu schreiben, dass die rechte Seite gleich Null ist:
\( x^3 - \ln(x) - 2 = 0 \)
und schreiben dann \( f(x) = x^3 - \ln(x) - 2 \)
was Sie in den Rechner unten eingeben müssen.
Sie haben auch die Option, einen Startwert \( x_0 \) nahe der gesuchten Näherungslösung sowie die Anzahl der benötigten Iterationen auszuwählen.
Hinweis, dass
1) bei Gleichungen mit vielen Lösungen wie \( \sin(x) + 1/x \) alles von dem Startwert \( x_0 \) abhängt, den Sie zuweisen. Es liefert normalerweise die nächstgelegene Näherungslösung zu \( x_0 \).
2) das Verfahren abbricht, wenn \( x_n \) an irgendeinem Punkt des Iterationsprozesses außerhalb des Definitionsbereichs von \( f(x) \) oder \( f'(x) \) liegt oder wenn \( f'(x) = 0 \) ist. Es kann möglich sein, einfach den Startwert \( x_0 \) zu ändern, um eine Näherung der Lösung zu erhalten.
3) Möglicherweise möchten Sie \( f(x) \) grafisch darstellen, um einen besseren Startwert \( x_0 \) zu erhalten, der im Rechner verwendet werden kann.
1 - Geben Sie die Funktion \( f(x) \) ein und bearbeiten Sie sie, klicken Sie auf „Funktion eingeben“ und überprüfen Sie dann Ihre Eingabe. Geben Sie den Startwert \( x_0 \) ein, der so nah wie möglich an der gesuchten Lösung liegen sollte.
2 - Klicken Sie auf „Berechnen“.
3 - Die Ausgabe umfasst die Ableitung \( f'(x) \) sowie die numerischen Werte von \( x_n \), \( f(x_n) \) und \( f'(x_n) \)
Hinweis, dass
1) die fünf verwendeten Operatoren sind: + (plus), - (minus), / (Division), ^ (Potenz) und * (Multiplikation). (Beispiel: f(x) = x^3 - 1/x. (Weitere Hinweise zur Funktionseingabe finden Sie unten))
2) der natürliche Logarithmus \( \ln(x) \) als log(x) eingegeben wird, die natürliche Exponentialfunktion \( e^x \) als exp(x).
3) eine Funktion \( f(x) \) hoch einer Potenz \( n \) eingegeben wird als: \( (f(x))^n \). Beispiel: \( \sin^2(2x-1) \) wird als (sin(2x-1))^2 eingegeben.
4) Brüche als Dezimalzahlen eingegeben werden. Beispiel: 1/2 wird als 0.5 eingegeben.
Hinweise: Verwenden Sie beim Bearbeiten von Funktionen Folgendes:
1 - Die fünf verwendeten Operatoren sind: + (plus), - (minus), / (Division), ^ (Potenz) und * (Multiplikation). (Beispiel: f(x) = x^2-1/(2x)-log(x) )
2 - Die Quadratwurzelfunktion wird als (sqrt) geschrieben. (Beispiel: sqrt(x^2-1) für \( \sqrt {x^2 - 1} \) )
3 - Die Exponentialfunktion wird als exp(x) geschrieben. (Beispiel: exp(x+2) für \( e^{x+2} \) )
4 - Der natürliche Logarithmus wird als log(x) geschrieben. (Beispiel: log(x^2-2) für \( \ln(x^2 - 2) \) )
Hier sind einige Beispiele für Funktionen, die Sie kopieren und einfügen können, um zu üben:
sqrt(x^3+1) - log(x) - 2 exp(x^2+1) + 2 x - 4 x^2+log(2*x + 2) (x+2)^2(x^2+1)-1