Ein Schritt-für-Schritt Newton-Verfahren Rechner wird präsentiert.
Das Newton-Verfahren zur Approximation der Lösung einer Gleichung \( f(x) = 0 \) ist ein numerischer iterativer Prozess, der wie folgt geschrieben wird:
\( x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)} {f '(x_n) }\) für \( n = 0,1,2,3,... \)
Ausgehend von einem Startwert \( x_0 \) berechnen wir daher \( x_1 \) mit dem obigen Verfahren, dann verwenden wir \( x_1 \), um \( x_2 \) zu berechnen und so weiter.
Der Prozess wird fortgesetzt, bis Konvergenz der Lösung erreicht ist.
Beispiel
Sei \( \quad x^3 = \ln(x) + 2 \quad \) eine zu lösende Gleichung.
Diese Gleichung kann nicht analytisch gelöst werden, daher können wir das Newton-Verfahren verwenden, um eine Näherungslösung zu finden.
Der erste Schritt ist, die Gleichung so zu schreiben, dass die rechte Seite gleich Null ist, wie folgt.
\( x^3 - \ln(x) - 2 = 0 \)
und dann schreiben wir \( f(x) = x^3 - \ln(x) - 2 \)
welche Sie in den untenstehenden Rechner eingeben müssen.
Sie haben auch die Möglichkeit, einen Startwert \( x_0 \) nahe der Näherungslösung sowie die Anzahl der gewünschten Iterationen zu wählen.
Hinweis:
1) Bei Gleichungen mit vielen Lösungen, wie \( \sin(x) + 1/x \), hängt alles von dem von Ihnen gewählten Startwert \( x_0 \) ab. Es wird in der Regel die der \( x_0 \) nächstgelegene Näherungslösung liefern.
2) Das Verfahren bricht ab, wenn an irgendeinem Punkt des Iterationsprozesses \( x_n \) außerhalb des Definitionsbereichs von \( f(x) \) oder \( f'(x) \) liegt oder wenn \( f'(x) = 0 \) ist. Es ist möglicherweise möglich, einfach den Startwert \( x_0 \) zu ändern, um eine Näherung für die Lösung zu erhalten.
3) Sie können \( f(x) \) graphisch darstellen, um einen besseren Startwert \( x_0 \) für den Rechner zu erhalten.
1 - Geben Sie die Funktion \( f(x)\) ein und bearbeiten Sie sie, klicken Sie auf "Funktion eingeben" und überprüfen Sie Ihre Eingabe. Geben Sie den Startwert \( x_0 \) ein, der so nah wie möglich an der gesuchten Lösung liegen sollte.
2 - Klicken Sie auf "Berechnen".
3 - Die Ausgabe enthält die Ableitung \( f'(x) \) und die numerischen Werte von \( x_n \), \( f(x_n) \) und \( f'(x_n) \).
Beachten Sie:
Hinweis:
1) Die fünf verwendeten Operatoren sind: + (plus) , - (minus), / (division) , ^ (hoch) und * (multiplikation). (Beispiel: f(x) = x^3 - 1/x. (Weitere Hinweise zur Bearbeitung von Funktionen finden Sie unten))
2) Der natürliche Logarithmus \( \ln(x) \) wird als log(x) eingegeben, die natürliche Exponentialfunktion \( e^x \) als exp(x).
3) Eine Funktion \( f(x) \) hoch \(n\) wird eingegeben als: \( (f(x))^n \). Beispiel: \( \sin^2(2x-1) \) wird eingegeben als (sin(2x-1))^2.
4) Brüche werden als Dezimalzahlen eingegeben. Beispiel: 1/2 wird als 0.5 eingegeben.
Hinweise: Verwenden Sie beim Bearbeiten von Funktionen Folgendes:
1 - Die fünf verwendeten Operatoren sind: + (plus) , - (minus), / (division) , ^ (hoch) und * (multiplikation). (Beispiel: f(x) = x^2-1/(2x)-log(x) )
2 - Die Quadratwurzelfunktion wird als (sqrt) geschrieben. (Beispiel: sqrt(x^2-1) für \( \sqrt {x^2 - 1} \) )
3 - Die Exponentialfunktion wird als exp(x) geschrieben. (Beispiel: exp(x+2) für \( e^{x+2} \) )
4 - Die Logarithmusfunktion zur Basis e wird als log(x) geschrieben. (Beispiel: log(x^2-2) für \( \ln(x^2 - 2) \) )
Hier sind einige Beispiele für Funktionen, die Sie kopieren und einfügen können, um zu üben:
sqrt(x^3+1) - log(x) - 2 exp(x^2+1) + 2 x - 4 x^2+log(2*x + 2) (x+2)^2(x^2+1)-1