Fragen mit Antworten zur Stetigkeit von Funktionen mit Schwerpunkt auf rationalen und abschnittsweise definierten Funktionen. Die Stetigkeit einer Funktion und ihrer Ableitung an einem bestimmten Punkt wird diskutiert. Die grafische Bedeutung und Interpretation der Stetigkeit werden ebenfalls behandelt.
Lösung zu Beispiel 1
a) Für \( x = 0 \) ist der Nenner der Funktion \( f(x) \) gleich \( 0 \) und \( f(x) \) ist nicht definiert und hat keinen Grenzwert bei \( x = 0 \). Daher ist die Funktion \( f(x) \) an der Stelle \( x = 0 \) unstetig.
b) Für \( x = 2 \) ist der Nenner der Funktion \( g(x) \) gleich 0 und die Funktion \( g(x) \) an der Stelle \( x = 2 \) nicht definiert und hat keinen Grenzwert. Die Funktion \( g(x) \) ist an der Stelle \( x = 2 \) nicht stetig.
c) Der Nenner der Funktion \( h(x) \) kann wie folgt faktorisiert werden: \( x^2 -1 = (x - 1)(x + 1) \). Der Nenner ist gleich 0 für \( x = 1 \) und \( x = -1 \); für diese Werte ist die Funktion undefiniert und hat keine Grenzwerte. Die Funktion \( h \) ist an den Stellen \( x = 1 \) und \( x = -1 \) unstetig.
d) \( \tan(x) \) ist für alle Werte von \( x \) undefiniert, für die gilt \( x = \frac{\pi}{2} + k \pi \), wobei \( k \) eine beliebige ganze Zahl ist (\( k = 0, -1, 1, -2, 2,...\)) und ist daher für diese gleichen x-Werte unstetig.
e) Der Nenner der Funktion \( j(x) \) ist gleich 0 für \( x \) mit \( \cos(x) - 1 = 0 \) oder \( x = k (2 \pi) \), wobei \( k \) eine beliebige ganze Zahl ist. Daher ist diese Funktion undefiniert und folglich für alle diese x-Werte unstetig.
f) Die Funktion \( k(x) \) ist als Quotient zweier stetiger Funktionen definiert (wobei der Nenner \( x^2 + 5 \) niemals 0 wird), sie ist für alle reellen Zahlen \( x \) definiert und hat daher keine Unstetigkeitsstellen.
g) \( l(x) = \dfrac{x + 4}{x + 4} = 1 \) für \( x \ne - 4 \).
\( \lim_{x \to -4} l(x) = 1 = l(-4) \).
Die Funktion \( l(x) \) ist für alle reellen Zahlen \( x \) stetig und hat daher keine Unstetigkeitsstellen.
Lösung zu Beispiel 2
Für \( x > -1 \) ist \( f(x) = 2 x^ 2 + b \) eine Polynomfunktion und daher stetig.
Für \( x \lt -1 \) ist \( f(x) = -x^3 \) eine Polynomfunktion und daher stetig.
Für \( x = -1 \)
\[ f(-1) = 2(-1)^ 2 + b = 2 + b \]
Betrachten wir den links- und rechtsseitigen Grenzwert.
\[ L1 = \lim_{x\to -1^-} f(x) = -(-1)^3 = 1 \]
\[ L2 = \lim_{x\to -1^+} f(x) = 2(-1)^2 + b = 2 + b \]
Damit die Funktion \( f \) stetig ist, muss gelten:
\[ L2 = L1 \]
oder \[ 2 + b = 1 \]
Lösen Sie nach \( b \) auf, um zu erhalten:
\[ b = -1 \]
Setzen Sie \( b \) durch -1 in die gegebene Funktion ein, um zu erhalten: \[ f(x) = \begin{cases} 2x^2-1 & x \ge -1 \\ -x^3 & x \lt -1 \\ \end{cases} \]
Der Graph von \( f \) ist unten dargestellt, und es ist klar, dass die Funktion an der Stelle \( x = -1 \) stetig ist.
Lösung zu Beispiel 3
Stetigkeit der Funktion \( g \)
Für \( x > 2 \) ist \( g(x) = a x^ 2 + b \) eine Polynomfunktion und daher stetig.
Für \( x < 2 \) ist \( g(x) = -2 x + 2 \) eine Polynomfunktion und daher stetig.
Sei
\[ L1 = \lim_{x\to 2^+} g(x) = a (2)^2 + b = 4 a + b \]
\[ L2 = \lim_{x\to 2^-} g(x) = -2(2) + 2 = -2 \]
Für die Stetigkeit von \( g \) an der Stelle \( x = 2 \) muss gelten:
\[ L1 = L2 = g(2) \]
Daraus ergibt sich:
\[ 4 a + b = -2 \]
Stetigkeit der Ableitung \( g' \)
Für \( x > 2 \) ist \( g '(x) = 2 a x \) eine Polynomfunktion und daher stetig.
Für \( x \lt 2 \) ist \( g '(x) = -2 \) eine konstante Funktion und daher stetig.
Sei
\[ l1 = \lim_{x\to 2^+} g'(x) = 2a(2) = 4 a \]
\[ l2 = \lim_{x\to 2^-} g'(x) = -2 \]
Für die Stetigkeit von \( g' \) an der Stelle \( x = 2 \) muss gelten:
\[ l1 = l2 \] oder \( 4 a = - 2 \)
Lösen Sie die letzte Gleichung, um zu erhalten: \[ a = - 1 / 2 \].
Setzen Sie \( a \) durch \( - 1 / 2 \) in die oben erhaltene Gleichung \( 4 a + b = -2 \) ein und lösen Sie nach \( b \) auf, um \( b = 0 \) zu erhalten.
Setzen Sie \( a \) und \( b \) durch ihre Werte ein, um die Funktion \( g \) zu erhalten:
\[ g(x) = \begin{cases} -\dfrac{1}{2}x^2 & x \ge 2 \\ -2x+2 & x \lt 2 \\ \end{cases} \]
Die Funktion \( g(x) \) ist unten grafisch dargestellt, und es ist klar, dass sowohl die Funktion als auch ihre Ableitung (Steigung) an der Stelle \( x = 2 \) stetig sind.
