Fragen mit Antworten zur Stetigkeit von Funktionen mit Schwerpunkt auf rationalen und abschnittsweise definierten Funktionen werden vorgestellt. Die Stetigkeit einer Funktion und ihrer Ableitung an einemgegebenen Punkt wird diskutiert. Die grafische Bedeutung und Interpretation der Stetigkeit sind ebenfalls enthalten.
Beispiel 1: Erkennen von Unstetigkeitsstellen
Für welche Werte von \( x \) sind die folgenden Funktionen jeweils unstetig?
- a) \( f(x) = \dfrac{1}{x} \)
- b) \( g(x) = \dfrac{2}{x-2} \)
- c) \( h(x) = \dfrac{x+1}{x^2-1} \)
- d) \( i(x) = \tan(x) \)
- e) \( j(x) = \dfrac{1}{\cos(x)-1} \)
- f) \( k(x) = \dfrac{x+2}{x^2+5} \)
- g) \( l(x) = \begin{cases} \dfrac{x+4}{x+4} & x \ne -4 \\ 1 & x = -4 \end{cases} \)
Lösung zu Beispiel 1
- a) Für \( x = 0 \) ist der Nenner der Funktion \( f(x) \) gleich \( 0 \), sodass \( f(x) \) nicht definiert ist und keinen Grenzwert besitzt. Daher ist \( f(x) \) bei \( x = 0 \) unstetig.
- b) Für \( x = 2 \) ist der Nenner der Funktion \( g(x) \) gleich \( 0 \) und undefiniert ohne Grenzwert. Die Funktion \( g(x) \) ist bei \( x = 2 \) nicht stetig.
- c) Der Nenner von \( h(x) \) lässt sich faktorisieren als \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \). Der Nenner wird für \( x = 1 \) und \( x = -1 \) Null, an diesen Stellen ist die Funktion undefiniert und besitzt keine Grenzwerte. Die Funktion \( h \) ist bei \( x = 1 \) und \( x = -1 \) unstetig.
- d) \( \tan(x) \) ist für alle Werte von \( x \) undefiniert, für die \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) gilt (wobei \( k \) eine beliebige ganze Zahl ist), was sie an diesen Werten unstetig macht.
- e) Der Nenner von \( j(x) \) wird Null, wenn \( \cos(x) - 1 = 0 \) ist, bzw. \( x = 2k\pi \), wobei \( k \) eine ganze Zahl ist. Die Funktion ist an diesen Punkten undefiniert und unstetig.
- f) Die Funktion \( k(x) \) ist der Quotient zweier stetiger Funktionen, wobei der Nenner \( x^2 + 5 \) niemals gleich \( 0 \) wird. Sie ist für alle reellen Werte von \( x \) definiert und hat keine Unstetigkeitsstellen.
- g) \( l(x) = \dfrac{x + 4}{x + 4} = 1 \) für \( x \ne -4 \). Da \( \lim_{x \to -4} l(x) = 1 = l(-4) \) gilt, ist die Funktion \( l(x) \) für alle reellen Werte von \( x \) stetig und weist keine Unstetigkeitsstelle auf.
Beispiel 2: Bestimmung von Parametern für die Stetigkeit abschnittsweiser Funktionen
Bestimmen Sie \( b \), sodass die unten angegebene Funktion \( f(x) \) stetig ist:
\[ f(x) = \begin{cases} 2x^2+b & x \ge -1 \\ -x^3 & x < -1 \end{cases} \]Lösung zu Beispiel 2
Für \( x > -1 \) ist \( f(x) = 2x^2 + b \) eine Polynomfunktion und daher stetig.
Für \( x < -1 \) ist \( f(x) = -x^3 \) eine Polynomfunktion und daher stetig.
An der Stelle \( x = -1 \):
\[ f(-1) = 2(-1)^2 + b = 2 + b \]Betrachten wir den links- und rechtsseitigen Grenzwert:
\[ L_1 = \lim_{x\to -1^{\text{--}}} f(x) = -(-1)^3 = 1 \] \[ L_2 = \lim_{x\to -1^+} f(x) = 2(-1)^2 + b = 2 + b \]Damit die Funktion \( f \) bei \( x = -1 \) stetig ist, müssen wirfordern, dass \( L_2 = L_1 \) gilt:
\[ 2 + b = 1 \implies b = -1 \]Einsetzen von \( b = -1 \) in die Funktion ergibt:
\[ f(x) = \begin{cases} 2x^2-1 & x \ge -1 \\ -x^3 & x < -1 \end{cases} \]Der Graph von \( f \) ist unten dargestellt und bestätigt die Stetigkeit bei \( x = -1 \):
Beispiel 3: Stetigkeit von Funktion und Ableitung
Bestimmen Sie \( a \) und \( b \), sodass sowohl die unten gegebene Funktion \( g(x) \) als auch ihre erste Ableitung stetig sind:
\[ g(x) = \begin{cases} ax^2+b & x \ge 2 \\ -2x+2 & x < 2 \end{cases} \]Lösung zu Beispiel 3
Stetigkeit der Funktion \( g \):
- Für \( x > 2 \) ist \( g(x) = ax^2 + b \) stetig.
- Für \( x < 2 \) ist \( g(x) = -2x + 2 \) stetig.
Grenzwerte bei \( x = 2 \):
\[ L_1 = \lim_{x\to 2^+} g(x) = a(2)^2 + b = 4a + b \] \[ L_2 = \lim_{x\to 2^{\text{--}}} g(x) = -2(2) + 2 = -2 \]Für die Stetigkeit bei \( x = 2 \) müssen wir sicherstellen, dass \( L_1 = L_2 \) gilt:
\[ 4a + b = -2 \]Stetigkeit der Ableitung \( g' \):
- Für \( x > 2 \) ist \( g'(x) = 2ax \) stetig.
- For \( x < 2 \), \( g'(x) = -2 \) ist stetig.
Grenzwerte der Ableitung bei \( x = 2 \):
\[ l_1 = \lim_{x\to 2^+} g'(x) = 2a(2) = 4a \] \[ l_2 = \lim_{x\to 2^{\text{--}}} g'(x) = -2 \]Für die Stetigkeit von \( g' \) bei \( x = 2 \) müssen wir sicherstellen, dass \( l_1 = l_2 \) gilt:
\[ 4a = -2 \implies a = -\frac{1}{2} \]Setzen Sie \( a = -\frac{1}{2} \) in \( 4a + b = -2 \) ein:
\[ 4\left(-\frac{1}{2}\right) + b = -2 \implies -2 + b = -2 \implies b = 0 \]Somit lautet die Funktion:
\[ g(x) = \begin{cases} -\dfrac{1}{2}x^2 & x \ge 2 \\ -2x+2 & x < 2 \end{cases} \]Die Funktion \( g(x) \) ist unten grafisch dargestellt, was zeigt, dass sowohl die Funktion als auch ihre Ableitung (Steigung) bei \( x = 2 \) stetig sind:
