Der Grenzwert von \( \arctan(x) \) für \( x \) gegen unendlich wird anhand von zwei verschiedenen Ansätzen untersucht. Der erste basiert auf dem rechtwinkligen Dreieck, und der zweite auf der Definition der Umkehrfunktion \( \arctan(x) \).
Im Folgenden stellt \( C \) die Integrationskonstante dar, sofern anwendbar.
Ansatz mit \( \arctan(x) \) in einem rechtwinkligen Dreieck
Sei \( \alpha = \arctan(x) \), was \( \tan \alpha = x = \dfrac{x}{1} \) ergibt. Verwenden Sie die Definition der Tangensfunktion in einem rechtwinkligen Dreieck, um \( x = \tan \alpha \) zu veranschaulichen.
Geometrischer Ansatz
Wenn \( x \) unbegrenzt wächst, nähert sich \( \alpha \) geometrisch dem Wert \( \dfrac{\pi}{2} \), und folglich schreiben wir den Grenzwert:
\[ \lim_{x \to \infty} \alpha = \dfrac{\pi}{2} \]Algebraischer Ansatz
Wir können auch \( \sin(\alpha) \) verwenden, das gegeben ist durch:
\[ \sin(\alpha) = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \]Berechnen Sie den Grenzwert:
\[ \lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} = 1 \]was Folgendes liefert:
\[ \lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \]Unter Verwendung des Grenzwerts zusammengesetzter Funktionen:
\[ \lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \sin\left(\lim_{x \to \infty} \alpha\right) \]Da \( \dfrac{\pi}{2} \) eine Konstante ist, können wir schreiben:
\[ \dfrac{\pi}{2} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\pi}{2} \]so dass:
\[ \lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \sin\left(\lim_{x \to \infty} \alpha\right) = \sin\left(\lim_{x \to \infty} \dfrac{\pi}{2}\right) \]Schließlich ergibt sich mit \( \alpha = \arctan(x) \):
\[ \lim_{x \to \infty} \alpha = \lim_{x \to \infty} \arctan(x) = \dfrac{\pi}{2} \]Ansatz über die Graphen von Tan(x) und Arctan(x)
Unten abgebildet ist der Graph der Funktion \( y = \tan x \) (in Blau) auf dem Intervall \( \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) \), wobei \( x = \dfrac{\pi}{2} \) und \( x = -\dfrac{\pi}{2} \) vertikale Asymptoten (gestrichelte blaue Linie) sind. Es handelt sich um eine injektive (bijektive) Funktion und sie besitzt daher die Umkehrfunktion \( y = \arctan(x) \), wie unten dargestellt (in Rot).
Die vertikalen Asymptoten von \( y = \tan x \) werden zu horizontalen Asymptoten (gestrichelte rote Linie) der Umkehrfunktion \( y = \arctan(x) \), was per Definition mithilfe von Grenzwerten wie folgt geschrieben werden kann:
\[ \lim_{x \to \infty} \arctan(x) = \dfrac{\pi}{2}, \quad \lim_{x \to -\infty} \arctan(x) = -\dfrac{\pi}{2} \]