Der Grenzwert von \(\arctan(x)\), wenn \(x\) gegen Unendlich strebt, wird mit zwei verschiedenen Ansätzen untersucht. Der erste basiert auf dem rechtwinkligen Dreieck, und der zweite basiert auf der Definition der Umkehrfunktion \(\arctan(x)\).
Sei \(\alpha = \arctan(x)\), was \(\tan \alpha = x = \dfrac{x}{1}\) ergibt, und verwende die Definition von tan in einem rechtwinkligen Dreieck, um \(x = \tan \alpha\) zu veranschaulichen.
Wenn \(x\) unbegrenzt zunimmt, nähert sich \(\alpha\) geometrisch \(\dfrac{\pi}{2}\) an, und daher schreiben wir den Grenzwert: \[ \lim_{x \to \infty} \alpha = \dfrac{\pi}{2} \]
Wir können auch \(\sin(\alpha)\) verwenden, gegeben durch:
\[
\sin(\alpha) = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}
\]
Berechne den Grenzwert:
\[
\lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} = 1
\]
was ergibt:
\[
\lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \sin\dfrac{\pi}{2}
\]
Unter Verwendung des Grenzwerts von zusammengesetzten Funktionen:
\[
\lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \sin\Big(\lim_{x \to \infty} \alpha\Big)
\]
Da \(\dfrac{\pi}{2}\) eine Konstante ist, können wir schreiben:
\[
\dfrac{\pi}{2} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\pi}{2}
\]
so dass:
\[
\lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \sin\Big(\lim_{x \to \infty} \alpha\Big) = \sin\Big(\lim_{x \to \infty} \dfrac{\pi}{2}\Big)
\]
Schließlich, unter Verwendung von \(\alpha = \arctan(x)\):
\[
\lim_{x \to \infty} \alpha = \lim_{x \to \infty} \arctan(x) = \dfrac{\pi}{2}
\]
Unten ist der Graph der Funktion \(y = \tan x\) (in blau) auf dem Intervall \(\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)\) dargestellt, wobei \(x = \dfrac{\pi}{2}\) und \(x = -\dfrac{\pi}{2}\) vertikale Asymptoten sind (gestrichelte blaue Linie). Es handelt sich um eine eineindeutige Funktion und besitzt daher die Umkehrfunktion \(y = \arctan(x)\), wie unten (in rot) gezeigt.
Die vertikalen Asymptoten von \(y = \tan x\) werden zu horizontalen Asymptoten (gestrichelte rote Linie) der Umkehrfunktion \(y = \arctan(x)\), was per Definition mit Grenzwerten wie folgt geschrieben werden kann:
\[
\lim_{x \to \infty} \arctan(x) = \dfrac{\pi}{2}, \quad
\lim_{x \to -\infty} \arctan(x) = -\dfrac{\pi}{2}
\]
