Die Eigenschaften von Grenzwerten von Funktionen werden in Form von Sätzen vorgestellt, zusammen mit einigen Anwendungsbeispielen und detaillierten Lösungen.
Im Folgenden stellt \( C \) die Integrationskonstante dar, sofern anwendbar.
Sätze & Eigenschaften von Grenzwerten
Satz: Wenn \( f \) und \( g \) zwei Funktionen sind und sowohl \( \lim_{x \to a} f(x) \) als auch \( \lim_{x \to a} g(x) \) existieren, dann gilt:
Eigenschaft 1: Der Grenzwert der Summe zweier Funktionen ist die Summe ihrer Grenzwerte.
\[ \lim_{x \to a} [ f(x) + g(x) ] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) \]Eigenschaft 2: Der Grenzwert der Differenz zweier Funktionen ist die Differenz ihrer Grenzwerte.
\[ \lim_{x \to a} [ f(x) - g(x) ] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x) \]Eigenschaft 3: Der Grenzwert des Produkts zweier Funktionen ist das Produkt ihrer Grenzwerte.
\[ \lim_{x \to a} [ f(x) \times g(x) ] = \lim_{x \to a} f(x) \times \lim_{x \to a} g(x) \]Eigenschaft 4: Der Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen ist der Quotient ihrer Grenzwerte, sofern der Grenzwert im Nenner nicht gleich 0 ist.
\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \quad \text{vorausgesetzt, dass} \quad \lim_{x \to a} g(x) \neq 0 \]Eigenschaft 5: Der Grenzwert der n-ten Wurzel einer Funktion ist die n-te Wurzel des Grenzwerts der Funktion, wenn die n-te Wurzel des Grenzwerts eine reelle Zahl ist.
\[ \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)} \]Wenn \( n \) gerade ist, muss \( \lim_{x \to a} f(x) \) positiv sein.
Beispiele mit detaillierten Lösungen
Klicken Sie auf jedes Beispiel, um dessen detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösung anzuzeigen.
Beispiel 1
Berechnen Sie \( \lim_{x \to -2} h(x) \), wobei \( h(x) \) gegeben ist durch:
\[ h(x) = x + 5 \]Lösung für Beispiel 1 anzeigen
Wir können \( h(x) \) als die Summe von \( f(x) = x \) und \( g(x) = 5 \) auffassen und Satz 1 von oben anwenden:
\[ \lim_{x \to -2} h(x) = \lim_{x \to -2} x + \lim_{x \to -2} 5 \]\( x \) und \( 5 \) sind grundlegende Funktionen und ihre Grenzwerte sind bekannt:
\[ \lim_{x \to -2} x = -2 \quad \text{und} \quad \lim_{x \to -2} 5 = 5 \]Daher:
\[ \lim_{x \to -2} h(x) = -2 + 5 = 3 \]Beispiel 2
Berechnen Sie \( \lim_{x \to 10} h(x) \), wobei \( h(x) \) gegeben ist durch:
\[ h(x) = x - 7 \]Lösung für Beispiel 2 anzeigen
Wir können \( h(x) \) als die Differenz von \( f(x) = x \) und \( g(x) = 7 \) auffassen und Satz 2 von oben anwenden:
\[ \lim_{x \to 10} h(x) = \lim_{x \to 10} x - \lim_{x \to 10} 7 \]\( x \) und \( 7 \) sind grundlegende Funktionen mit bekannten Grenzwerten:
\[ \lim_{x \to 10} x = 10 \quad \text{und} \quad \lim_{x \to 10} 7 = 7 \]Daher:
\[ \lim_{x \to 10} h(x) = 10 - 7 = 3 \]Beispiel 3
Berechnen Sie \( \lim_{x \to -5} m(x) \), wobei \( m(x) \) gegeben ist durch:
\[ m(x) = 3x \]Lösung für Beispiel 3 anzeigen
Sei \( m(x) = f(x) \times g(x) \), wobei \( f(x) = 3 \) und \( g(x) = x \) ist, und wenden Sie Satz 3 von oben an:
\[ \lim_{x \to -5} m(x) = \lim_{x \to -5} 3 \times \lim_{x \to -5} x \]3 ist eine konstante Funktion und \( x \) ist eine grundlegende Funktion mit bekannten Grenzwerten:
\[ \lim_{x \to -5} 3 = 3 \quad \text{und} \quad \lim_{x \to -5} x = -5 \]Daher:
\[ \lim_{x \to -5} m(x) = 3 \times (-5) = -15 \]Beispiel 4
Berechnen Sie \( \lim_{x \to 3} r(x) \), wobei \( r(x) \) gegeben ist durch:
\[ r(x) = \dfrac{3 - x}{x} \]Lösung für Beispiel 4 anzeigen
Sei \( r(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)} \), wobei \( f(x) = 3 - x \) und \( g(x) = x \) ist, und wenden Sie Satz 4 von oben an:
\[ \lim_{x \to 3} r(x) = \dfrac{\lim_{x \to 3} (3 - x)}{\lim_{x \to 3} x} \]\( 3 - x \) ist die Differenz zweier grundlegender Funktionen und \( x \) ist eine grundlegende Funktion:
\[ \lim_{x \to 3} (3 - x) = 3 - 3 = 0 \quad \text{und} \quad \lim_{x \to 3} x = 3 \]Daher:
\[ \lim_{x \to 3} r(x) = \dfrac{0}{3} = 0 \]Beispiel 5
Berechnen Sie \( \lim_{x \to 5} m(x) \), wobei \( m(x) \) gegeben ist durch:
\[ m(x) = \sqrt{2x - 1} \]Lösung für Beispiel 5 anzeigen
Sei \( f(x) = 2x - 1 \) und bestimmen Sie dessen Grenzwert unter Anwendung der obigen Differenz- und Produktsätze:
\[ \lim_{x \to 5} f(x) = 2 \times 5 - 1 = 9 \]Wir wenden nun Satz 5 an, da die Quadratwurzel von 9 eine reelle Zahl ist:
\[ \lim_{x \to 5} m(x) = \sqrt{9} = 3 \]