Eulers Formel

Schritt-für-Schritt-Beweis und Herleitung mit Taylor-Reihen

Der Beweis von Eulers Formel mithilfe von Taylor-Reihen wird unten vorgestellt.

Im Folgenden steht \( C \) für die Integrationskonstante, sofern anwendbar.

Herleitung von Eulers Formel

Unter Bezugnahme auf die Tabellen mathematischer Formeln ist die Taylor-Reihenentwicklung von \( e^z \) gegeben durch:

\[ e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{z^5}{5!} + \frac{z^6}{6!} + \frac{z^7}{7!} + \dots + \frac{z^n}{n!} + \dots \]

Sei \( z = ix \), wobei \( x \) eine reelle Zahl und \( i = \sqrt{-1} \) die imaginäre Einheit ist:

\[ e^{ix} = 1 + (ix) + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \frac{(ix)^6}{6!} + \frac{(ix)^7}{7!} + \dots \]

Entwicklung der Potenzen von \( ix \):

\[ e^{ix} = 1 + ix + i^2 \frac{x^2}{2!} + i^3 \frac{x^3}{3!} + i^4 \frac{x^4}{4!} + i^5 \frac{x^5}{5!} + i^6 \frac{x^6}{6!} + i^7 \frac{x^7}{7!} + \dots + i^n \frac{x^n}{n!} + \dots \]

Unter Verwendung der zyklischen Eigenschaften der Potenzen von \( i \):

\( i^2 = -1 \)
\( i^3 = i^2 \cdot i = -i \)
\( i^4 = i^3 \cdot i = 1 \)
\( i^5 = i^4 \cdot i = i \)
\( i^6 = i^5 \cdot i = -1 \)
\( i^7 = i^6 \cdot i = -i \)

Einsetzen dieser Werte in die Entwicklung:

\[ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - i\frac{x^7}{7!} + \dots \]

Das Zusammenfassen der reellen Terme und das Ausklammern von \( i \) bei den imaginären Termen ergibt Gleichung \( (I) \):

\[ e^{ix} = \left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots\right) + i\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots\right) \quad (I) \]

Aus den Tabellen mathematischer Formeln lauten die Taylor-Reihen für \( \sin x \) und \( \cos x \):

\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots \] \[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots \]

Durch Einsetzen dieser Reihen in Gleichung \( (I) \) entspricht der Realteil \( \cos x \) und der Imaginärteil \( \sin x \):

\[ e^{ix} = \cos x + i \sin x \]

Weitere Referenzen und Links

  1. Taylor- und Maclaurin-Reihen mit Beispielen
  2. Tabellen mathematischer Formeln
  3. University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
  4. Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
  5. Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
  6. AnalyzeMath Startseite