Der Beweis der Eulerschen Formel unter Verwendung der Taylor-Reihe wird dargestellt.
Aus den Tabellen mathematischer Formeln ist die Taylor-Reihe von \( e^z \) gegeben durch
\( e^z = 1 + z + \dfrac{z^2} { 2! } + \dfrac{z^3} { 3! } + \dfrac{z^4} { 4! } + \dfrac{z^5} { 5! } + \dfrac{z^6} { 6! } + \dfrac{z^7} { 7! } ... + \dfrac{z^n}{n!} + ... \)
Sei \( z = i x \), wobei \( x \) eine reelle Zahl und \( i = \sqrt {-1} \) die imaginäre Einheit ist.
\( e^{(ix)} = 1 + {(ix)} + \dfrac{{(ix)}^2} { 2! } + \dfrac{{(ix)}^3} { 3! } + \dfrac{{(ix)}^4} { 4! } + \dfrac{{(ix)}^5} { 5! } + \dfrac{{(ix)}^6} { 6! } + \dfrac{{(ix)}^7} { 7! } ... \)
Nimmt man das \( i \) aus den Klammern heraus, kann \( e^{(ix)} \) geschrieben werden als
\( e^{(ix)} = 1 + i x + i^2 \dfrac{x^2} { 2! } + i^3 \dfrac{x^3} { 3! } + i^4 \dfrac{x^4} { 4! } + i^5 \dfrac{x^5} { 5! } + i^6 \dfrac{x^6} { 6! } + i^7 \dfrac{x^7} { 7! } ... + i^n \dfrac{x^n}{n!} + ... \)
Beachte, dass
\( i^2 = - 1 \)
\( i^3 = i^2 i = - i\)
\( i^4 = i^3 i = 1 \)
\( i^5 = i^4 i = i \)
\( i^6 = i^5 i = - 1 \)
\( i^7 = i^6 i = -i \) ...
und so weiter.
Daher kann \( e^{(ix)} \) geschrieben werden als
\( e^{(ix)} = 1 + i x - \dfrac{x^2} { 2! } - i \dfrac{ x^3} { 3! } + \dfrac{x^4} { 4! } + i \dfrac{x^5} { 5! } - \dfrac {x^6} { 6! } - i \dfrac{x^7} { 7! } ... \)
Gruppieren wir die Terme, die den Realteil bilden, und die Terme, die den Imaginärteil bilden, und schreiben \( e^{(ix)} \) um als
\( e^{(ix)} = ( 1 - \dfrac{x^2} { 2! } + \dfrac{x^4} { 4! } - \dfrac {x^6} { 6! } ...) + i ( x - \dfrac{ x^3} { 3! } + \dfrac{x^5} { 5! } - \dfrac{x^7} { 7! } ...) \qquad (I) \)
Aus den Tabellen mathematischer Formeln sind die Taylor-Reihen von \( \sin x \) und \( \cos x \) gegeben durch
\( \sin x = x - \dfrac{x^3}{ 3!} + \dfrac{x^5}{ 5!} - \dfrac{ x^7}{ 7!} + ... \)
\( \cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + ... \)
Beachte, dass der Realteil von \( e^{(ix)} \) in \( (I) \) gegeben ist durch
\( 1 - \dfrac{x^2} { 2! } + \dfrac{x^4} { 4! } - \dfrac {x^6} { 6! } ...\) was der Taylor-Reihe von \( \cos x \) entspricht
und der Imaginärteil von \( e^{(ix)} \) in \( (I) \) gegeben ist durch
\( x - \dfrac{ x^3} { 3! } + \dfrac{x^5} { 5! } - \dfrac{x^7} { 7! } ... \) was der Taylor-Reihe von \( \sin x \) entspricht
und damit erhält man die Eulersche Formel
\[ e^{ix} = \cos x + i \sin x \]