Was ist der Unterschied zwischen einer Taylor-Reihe und einer Maclaurin-Reihe?

Eine Taylor-Reihe stellt eine Funktion als unendliche Summe von Termen dar, die aus den Werten ihrer Ableitungen an einem bestimmten Punkt a berechnet werden. Eine Maclaurin-Reihe ist einfach ein Spezialfall der Taylor-Reihe, bei dem der Entwicklungspunkt bei a = 0 liegt.

Taylor- und Maclaurin-Reihen mit Beispielen

Die Verwendung von Taylor- und Maclaurin-Reihen zur Entwicklung und Annäherung von Funktionen als Potenzreihe bei gegebenen Werten von \( x \) wird vorgestellt. Diese Reihen liefern nützliche Polynomapproximationen von Erzeugenden, die auf Taschenrechnern einfacher zu programmieren sind. Beispiele, Fragen und deren Lösungen sind enthalten.

Im Folgenden steht \( C \) für die Integrationskonstante, sofern anwendbar.

Definition von Taylor- und Maclaurin-Reihen

Für eine Funktion \( f \) mit in einem Intervall um \( a \) definierten Ableitungen aller Ordnungen ist die Taylor-Reihe der Funktion \( f \) an der Stelle \( x = a \) gegeben durch:

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \dots \]

wobei \( f'(a), f''(a), \dots, f^{(n)}(a), \dots \) die an der Stelle \( x = a \) ausgewerteten Ableitungen von \( f \) sind.

Die Maclaurin-Reihe der Funktion \( f \) ist die bei \( x = 0 \) zentrierte Taylor-Reihe und ist gegeben durch:

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \dots \]

Taylor- und Maclaurin-Reihen sind unendlich, können jedoch nach \( n \) Termen abgebrochen werden, um ein Taylor-Polynom zu ergeben, das gegeben ist durch:

\[ P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \]

Ein Online-Taylor-Reihen-Rechner ist verfügbar und kann verwendet werden, um viele der unten aufgeführten Beispiele und Übungen zu überprüfen sowie neue Aufgaben zu generieren.

Beispiele für Taylor- und Maclaurin-Reihenentwicklungen

Beispiel 1

a) Bestimmen Sie das von \( f(x) = \sin(x) \) bei \( x = \pi/2 \) erzeugte Taylor-Polynom \( P_4(x) \) (der Ordnung 4).
b) Zeichnen Sie den Graphen von \( \sin(x) \) und \( P_4(x) \) in einem Intervall, das \( \pi/2 \) enthält, und vergleichen Sie die beiden Graphen.

Lösung zu Beispiel 1 anzeigen

a) Das Taylor-Polynom der Ordnung 4 ist gegeben durch:

\[ P_4(x) = f(\pi/2) + f'(\pi/2)(x-\pi/2) + \frac{f''(\pi/2)}{2!}(x-\pi/2)^2 + \frac{f^{(3)}(\pi/2)}{3!}(x-\pi/2)^3 + \frac{f^{(4)}(\pi/2)}{4!}(x-\pi/2)^4 \]

Berechnung der ersten 4 Ableitungen von \( f(x) = \sin(x) \):

\( f(x) = \sin(x) \implies f(\pi/2) = 1 \)
\( f'(x) = \cos(x) \implies f'(\pi/2) = 0 \)
\( f''(x) = -\sin(x) \implies f''(\pi/2) = -1 \)
\( f^{(3)}(x) = -\cos(x) \implies f^{(3)}(\pi/2) = 0 \)
\( f^{(4)}(x) = \sin(x) \implies f^{(4)}(\pi/2) = 1 \)

Einsetzen in \( P_4(x) \):

\[ P_4(x) = 1 + 0 - \frac{1}{2}(x-\pi/2)^2 + 0 + \frac{1}{24}(x-\pi/2)^4 = 1 - \frac{1}{2}(x-\pi/2)^2 + \frac{1}{24}(x-\pi/2)^4 \]

b) Beim Vergleich der Graphen von \( \sin(x) \) und dessen Taylor-Polynom der Ordnung 4 stimmen die beiden Kurven nahe \( x = \pi/2 \) gut überein, was bestätigt, dass \( P_4(x) \) eine genaue lokale Approximation liefert.

Graphen zum Vergleich von sin(x) und seiner Taylor-Entwicklung Beispiel 1 — Abbildung 1. Vergleich von \( \sin(x) \) und \( P_4(x) \)

Beispiel 2

a) Bestimmen Sie das von \( f(x) = \ln(x) \) bei \( x = 1 \) erzeugte Taylor-Polynom \( P_5(x) \) (der Ordnung 5).
b) Zeichnen Sie den Graphen von \( \ln(x) \) und \( P_5(x) \) in einem Intervall, das \( 1 \) enthält, und vergleichen Sie die beiden Graphen.
c) Werten Sie \( P_5(x) \) und \( \ln(x) \) in der folgenden Tabelle aus und vergleichen Sie die entsprechenden Werte.

\( P_5(x) \)	\( \ln(x) \)
\( P_5(1.01) \)	\( \ln(1.01) \)
\( P_5(0.99) \)	\( \ln(0.99) \)
\( P_5(1.1) \)	\( \ln(1.1) \)
\( P_5(0.9) \)	\( \ln(0.9) \)
\( P_5(1.5) \)	\( \ln(1.5) \)
\( P_5(0.5) \)	\( \ln(0.5) \)
\( P_5(1.8) \)	\( \ln(1.8) \)
\( P_5(0.2) \)	\( \ln(0.2) \)

Lösung zu Beispiel 2 anzeigen

a) Das Taylor-Polynom der Ordnung 5 bei \( x = 1 \) lautet:

\[ P_5(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 + \frac{f^{(3)}(1)}{3!}(x-1)^3 + \frac{f^{(4)}(1)}{4!}(x-1)^4 + \frac{f^{(5)}(1)}{5!}(x-1)^5 \]

Berechnung der ersten 5 Ableitungen von \( f(x) = \ln(x) \):

\( f(x) = \ln(x) \implies f(1) = 0 \)
\( f'(x) = \frac{1}{x} \implies f'(1) = 1 \)
\( f''(x) = -\frac{1}{x^2} \implies f''(1) = -1 \)
\( f^{(3)}(x) = \frac{2}{x^3} \implies f^{(3)}(1) = 2 \)
\( f^{(4)}(x) = -\frac{6}{x^4} \implies f^{(4)}(1) = -6 \)
\( f^{(5)}(x) = \frac{24}{x^5} \implies f^{(5)}(1) = 24 \)

Einsetzen in \( P_5(x) \) und Vereinfachen:

\[ P_5(x) = (x-1) - \frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{3}(x-1)^3 - \frac{1}{4}(x-1)^4 + \frac{1}{5}(x-1)^5 = \frac{1}{5}x^5 - \frac{5}{4}x^4 + \frac{10}{3}x^3 - 5x^2 + 5x - \frac{137}{60} \]

b) Die Graphen zeigen, dass \( P_5(x) \) die Funktion \( \ln(x) \) nahe \( x = 1 \) gut annähert.

Graphen zum Vergleich von ln(x) und seiner Taylor-Entwicklung Beispiel 2 — Abbildung 2. Vergleich von \( \ln(x) \) und \( P_5(x) \)

c) Vergleich in der Auswertungstabelle:

Angenähertes \( P_5(x) \)	Exaktes \( \ln(x) \)
\( P_5(1.01) = 0.00995 \)	\( \ln(1.01) = 0.00995 \)
\( P_5(0.99) = -0.01005 \)	\( \ln(0.99) = -0.01005 \)
\( P_5(1.1) = 0.09531 \)	\( \ln(1.1) = 0.09531 \)
\( P_5(0.9) = -0.10536 \)	\( \ln(0.9) = -0.10536 \)
\( P_5(1.5) = 0.40729 \)	\( \ln(1.5) = 0.40546 \)
\( P_5(0.5) = -0.68854 \)	\( \ln(0.5) = -0.69314 \)
\( P_5(1.8) = 0.61380 \)	\( \ln(1.8) = 0.58778 \)
\( P_5(0.2) = -1.45860 \)	\( \ln(0.2) = -1.60943 \)

Das Polynom \( P_5(x) \) liefert eine ausgezeichnete Annäherung für Werte nahe \( x = 1 \).

Beispiel 3

a) Bestimmen Sie die von \( f(x) = e^x \) erzeugte Maclaurin-Reihe.
b) Zeichnen Sie den Graphen der Maclaurin-Reihe in einem Intervall, das \( 0 \) enthält, mit 2, 3, 4, 5 und 6 Termen.

Lösung zu Beispiel 3 anzeigen

a) Die Maclaurin-Reihe ist gegeben durch:

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \dots \]

Da alle Ableitungen von \( f(x) = e^x \) ausgewertet bei \( x = 0 \) gleich \( 1 \) sind:

\[ 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \dots + \frac{1}{n!}x^n + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \]

b) Polynome verschiedener Ordnungen:

\( P_1(x) = 1 + x \)
\( P_2(x) = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 \)
\( P_3(x) = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 \)
\( P_4(x) = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{24}x^4 \)
\( P_5(x) = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{24}x^4 + \frac{1}{120}x^5 \)

Graphen von Maclaurin-Polynomen verschiedener Ordnungen und der Funktion e^x — Abbildung 3. Graphen von Maclaurin-Polynomen verschiedener Ordnungen für \( e^x \)

Fragen

Teil A

Bestimmen Sie das von \( f \) beim angegebenen Wert von \( x \) erzeugte Taylor-Polynom der Ordnung 4:

\( f(x) = e^{-x} \), bei \( x = 2 \)
\( f(x) = \sin(x/2) \), bei \( x = \pi \)

Teil B

Bestimmen Sie die Maclaurin-Reihe für die Funktionen:

\( f(x) = \cos(x + \pi/2) \)
\( f(x) = e^x + e^{-x} \)
\( f(x) = e^{-x^2} \)
\( f(x) = \sin(x) \)
\( f(x) = e^x - e^{-x} \)

Teil C

Bestimmen Sie das von \( f(x) = \sin(x)e^x \) bei \( x = 0 \) erzeugte Taylor-Polynom der Ordnung 5 und zeichnen Sie den Graphen von \( f \) und des Taylor-Polynoms in dasselbe Koordinatensystem.

Lösungen zu den obigen Fragen

Teil A

\( f(x) = e^{-x} \implies f'(x) = -e^{-x}, \, f''(x) = e^{-x}, \, f^{(3)}(x) = -e^{-x}, \, f^{(4)}(x) = e^{-x} \). Bei \( x = 2 \):
\[ P_4(x) = \frac{1}{e^2} - \frac{1}{e^2}(x-2) + \frac{1}{2e^2}(x-2)^2 - \frac{1}{6e^2}(x-2)^3 + \frac{1}{24e^2}(x-2)^4 \] \[ = \frac{x^4}{24e^2} - \frac{x^3}{2e^2} + \frac{5x^2}{2e^2} - \frac{19x}{3e^2} + \frac{7}{e^2} \]
\( f(x) = \sin(x/2) \implies f'(x) = \frac{1}{2}\cos(x/2), \, f''(x) = -\frac{1}{4}\sin(x/2), \, f^{(3)}(x) = -\frac{1}{8}\cos(x/2), \, f^{(4)}(x) = \frac{1}{16}\sin(x/2) \). Bei \( x = \pi \):
\[ P_4(x) = 1 - \frac{1}{8}(x-\pi)^2 + \frac{1}{384}(x-\pi)^4 \] \[ = \frac{x^4}{384} - \frac{\pi x^3}{96} - \frac{x^2}{8} + \frac{\pi^2 x^2}{64} + \frac{\pi x}{4} - \frac{\pi^3 x}{96} - \frac{48\pi^2 + \pi^4 + 384}{384} \]

Teil B

\( f(x) = \cos(x+\pi/2) = -\sin(x) \implies -x + \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{120}x^5 + \frac{1}{5040}x^7 - \frac{1}{362880}x^9 + \dots \)
\( f(x) = e^x + e^{-x} \implies 2 + x^2 + \frac{1}{12}x^4 + \frac{1}{360}x^6 + \frac{1}{20160}x^8 + \dots \)
\( f(x) = e^{-x^2} \implies 1 - x^2 + \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{6}x^6 + \frac{1}{24}x^8 + \dots \)
\( f(x) = \sin(x) \implies x - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{120}x^5 - \frac{1}{5040}x^7 + \frac{1}{362880}x^9 + \dots \)
\( f(x) = e^x - e^{-x} \implies 2x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{60}x^5 + \frac{1}{2520}x^7 + \frac{1}{181440}x^9 + \dots \)

Teil C

Für \( f(x) = \sin(x)e^x \) bei \( x = 0 \):

\[ P_5(x) = x + x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{30}x^5 \]

Graphen des Taylor-Polynoms P_5(x) und der Funktion sin(x)e^x — Abbildung 4. Vergleich von \( \sin(x)e^x \) und seinem Taylor-Polynom \( P_5(x) \)

Weitere Referenzen und Links

University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
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