Finde eine quadratische Funktion anhand ihres Graphen. Es werden Beispiele mit detaillierten Lösungen präsentiert. Ein Tutorial mit Beispielen zum Graphen quadratischer Funktionen kann bei der Verständnis der vorliegenden Beispiele zum Auffinden quadratischer Gleichungen hilfreich sein.
Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:
\( f(x) = ax^2 + bx + c \)
Eine quadratische Funktion f in Scheitelpunkt- (oder Standard-) Form lautet:
\( f(x) = a(x - h)^2 + k \), wobei h und k die x- und y-Koordinaten des Scheitelpunkts (Minimum oder Maximum) des Graphen sind.
Der Graph von f ist eine Parabel mit der vertikalen Linie \( x = h \) als Symmetrieachse.
Die Beziehung zwischen h und k lautet:
\( h = -\frac{b}{2a} \) und \( k = f(h) = c - \frac{b^2}{4a} \)
Quadratische Funktion finden, wenn Scheitelpunkt und Punkt bekannt sind
Beispiel 1
Finde die quadratische Funktion f, deren Graph unten gezeigt ist.
Abbildung 1. Quadratische Funktion f
Lösung für Beispiel 1
Seien h und k die Koordinaten des Scheitelpunkts des Graphen der Funktion f. Aus dem Graphen wird der Scheitelpunkt (Minimum) als (h, k) = (0, 2) identifiziert. Daher kann die Scheitelpunktform der Funktion f wie folgt geschrieben werden:
\( f(x) = a(x - h)^2 + k = a(x - 0)^2 + 2 = ax^2 + 2 \)
Der Punkt (1,3) auf dem Graphen von f wird nun verwendet, um den Koeffizienten a zu finden.
\( f(1) = a(1)^2 + 2 = 3 \)
Löse die obige Gleichung nach a auf, um zu erhalten:
\( a = 1 \)
Daher ist \( f(x) = x^2 + 2 \)
Beispiel 2
Finde die quadratische Funktion g, deren Graph unten gezeigt ist, und berechne g(-3).
Abbildung 2. Quadratische Funktion g
Lösung für Beispiel 2
Der Scheitelpunkt des Graphen der Funktion g ist ein Maximum bei (h, k) = (0, -1). Daher wird die Funktion g in Scheitelpunktform wie folgt geschrieben:
\( g(x) = a(x - h)^2 + k = a(x - 0)^2 - 1 = ax^2 - 1 \)
Der Koeffizient a wird nun mithilfe des Punkts (1,-2) verwendet, der sich auf dem Graphen von g befindet.
\( g(1) = a(1)^2 - 1 = -2 \)
Löse die obige Gleichung nach a auf, um zu erhalten:
\( a = -1 \)
Daher lautet \( g(x) = -x^2 - 1 \) und \( g(-3) = -(-3)^2 - 1 = -10 \)
Beispiel 3
Finde die quadratische Funktion l, deren Graph unten gezeigt ist, und berechne die x-Intercept der Funktion.
Abbildung 3. Quadratische Funktion l
Lösung für Beispiel 3
Der Graph der Funktion l hat einen Scheitelpunkt (Maximum) bei (h, k) = (2, 1). Die Funktion l in Scheitelpunktform lautet:
\( l(x) = a(x - h)^2 + k = a(x - 2)^2 + 1 \)
Verwende den y-Achsenabschnitt (0, -7) des Graphen von l, um den Koeffizienten a wie folgt zu finden.
\( l(0) = a(0 - 2)^2 + 1 = -7 \)
Löse die obige Gleichung nach a auf, um zu erhalten:
\( a = -2 \)
Die Funktion l(x) lautet also \( l(x) = -2(x - 2)^2 + 1 \). Berechne nun die x-Intercepts, indem du die Gleichung \( -2(x - 2)^2 + 1 = 0 \) löst.
\( 2(x - 2)^2 = 1 \)
Extrahiere die Quadratwurzel, um die beiden Lösungen zu erhalten:
\( x = 2 - \sqrt{\frac{1}{2}} \) und \( x = 2 + \sqrt{\frac{1}{2}} \)
Daher befinden sich die x-Intercepts an den Punkten \( (2 - \sqrt{\frac{1}{2}}, 0) \) und \( (2 + \sqrt{\frac{1}{2}}, 0) \)
Quadratische Funktion finden, wenn x- und y-Achsenabschnitte bekannt sind
Beispiel 4
Finde die quadratische Funktion s in Standardform, deren Graph unten gezeigt ist.
Abbildung 4. Quadratische Funktion s
Lösung für Beispiel 4
Der Graph der Funktion s hat zwei x-Intercepts: (-1, 0) und (2, 0). Dies bedeutet, dass die Gleichung \( s(x) = 0 \) zwei Lösungen \( x = -1 \) und \( x = 2 \) hat. Daher kann s(x) als Produkt von zwei Faktoren geschrieben werden:
\( s(x) = a(x + 1)(x - 2) \)
Verwende nun den y-Achsenabschnitt (0, -4) des Graphen von k, um den Koeffizienten a wie folgt zu finden.
\( s(0) = a(0 + 1)(0 - 2) = -4 \)
Löse die obige Gleichung nach a auf, um zu erhalten:
\( a = 2 \)
Die Funktion s(x) lautet also \( s(x) = 2(x + 1)(x - 2) \). Erweitere und vereinfache, um s(x) in Standardform zu schreiben.
\( s(x) = 2x^2 - 2x - 4 \)
Quadratische Funktion finden, wenn Achse und zwei Punkte bekannt sind
Beispiel 5
Finden Sie die quadratische Funktion \(m\) in Normalform, deren Graph eine Parabel mit einer Symmetrieachse entlang der vertikalen Linie \(x = -3\) ist, wie unten gezeigt.
Abbildung 5. Quadratische Funktion m
Lösung für Beispiel 5
Der Graph hat eine Symmetrieachse entlang der vertikalen Linie \(x = -3\). Daher ist die x-Koordinate \(h\) des Scheitels gleich -3, und \(m(x)\) kann als
\(m(x) = a (x + 3)^2 + k\)
geschrieben werden. Wir haben jetzt zwei Unbekannte \(a\) und \(k\) zu bestimmen. Wir verwenden die Punkte (-5, 0) und (-2, -3/2) auf dem Graphen von \(m\), um zwei Gleichungen in \(a\) und \(k\) aufzustellen:
Der Punkt (-5, 0) bedeutet \(m(-5) = 0\), was die Gleichung \(a(-5 + 3)^2 + k = 0\) ergibt
Der Punkt (-2, -3/2) bedeutet \(m(-2) = -3/2\), was die Gleichung \(a(-2 + 3)^2 + k = -3/2\) ergibt
Vereinfachen Sie, um das Gleichungssystem zu erhalten
\(4a + k = 0\)
\(a + k = -3/2\)
Lösen Sie das System, um zu erhalten
\(a = 1/2\) und \(k = -2\)
\(m(x) = (1/2) (x + 3)^2 - 2\)
Erweitern und schreiben Sie \(m(x)\) in Normalform um
\(m(x) = (1/2) x^2 + 3x + 5/2\)
Quadratische Funktion finden, wenn drei Punkte bekannt sind
Beispiel 6
Finden Sie die quadratische Funktion \(w\) in Normalform, deren Graph unten dargestellt ist.
Abbildung 6. Quadratische Funktion w
Lösung für Beispiel 6
Die quadratische Funktion \(w(x)\) in Normalform ist wie folgt geschrieben
\(w(x) = ax^2 + bx + c\)
Wir müssen die Koeffizienten \(a, b\) und \(c\) finden. Wir verwenden die drei Punkte auf dem Graphen von \(w\), um 3 Gleichungen in \(a, b\) und \(c\) aufzustellen:
Punkt (0, -1/6) ergibt die Gleichung: \(w(0) = a(0)^2 + b(0) + c = -1/6\) (Gleichung 1)
Punkt (1, 0) ergibt die Gleichung: \(w(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 0\) (Gleichung 2)
Punkt (3, 10/3) ergibt die Gleichung: \(w(3) = a(3)^2 + b(3) + c = 10/3\) (Gleichung 3)
Gleichung 1 vereinfacht sich zu
\(c = -1/6\)
Ersetzen Sie \(c\) durch -1/6 in Gleichung 2 und 3, um zwei Gleichungen in \(a\) und \(b\) zu erhalten
\(a + b = 1/6\)
\(9a + 3b = 7/2\)
Lösen Sie das obige Gleichungssystem, um zu erhalten
\(a = 1/2\), \(b = -1/3\)
Ersetzen Sie \(a, b\) und \(c\) durch ihre Werte, um die quadratische Funktion \(w(x)\) in Normalform wie folgt zu schreiben
\(w(x) = (1/2)x^2 - (1/3)x - 1/6\)
Weitere Referenzen und Links zu quadratischen Funktionen und Parabeln
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