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Finden Sie eine quadratische Funktion anhand ihres Graphen. Es werden Beispiele mit detaillierten Lösungen vorgestellt. Ein Tutorial mit Beispielen zum Graphen quadratischer Funktionen könnte helfen, die vorliegenden Beispiele zum Finden quadratischer Gleichungen zu verstehen.
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Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion wird geschrieben als:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]Eine quadratische Funktion \( f \) in Scheitelpunktform wird geschrieben als:
\[ f(x) = a(x - h)^2 + k \]wobei \( h \) und \( k \) die \( x \)- und \( y \)-Koordinaten des Scheitelpunkts (Minimum oder Maximum) des Graphen sind.
Der Graph von \( f \) ist eine Parabel mit der vertikalen Linie \( x = h \) als Symmetrieachse.
Die Beziehung zwischen \( h \) und \( k \) ist gegeben durch:
\[ h = \frac{-b}{2a} \quad \text{und} \quad k = f(h) = c - \frac{b^2}{4a} \]Finden Sie die quadratische Funktion \( f \), deren Graph unten abgebildet ist.
Seien \( h \) und \( k \) die Koordinaten des Scheitelpunkts des Graphen der Funktion \( f \).
Aus dem Graphen wird der Scheitelpunkt (Minimum) als \( (h, k) = (0, 2) \) identifiziert. Daher kann die Scheitelpunktform der Funktion \( f \) geschrieben werden als:
\[ f(x) = a(x - h)^2 + k = a(x - 0)^2 + 2 = ax^2 + 2 \]Der Punkt \( (1, 3) \) liegt auf dem Graphen von \( f \), und er kann verwendet werden, um den Koeffizienten \( a \) zu finden.
\[ f(1) = a(1)^2 + 2 = 3 \]Auflösen nach \( a \):
\[ a + 2 = 3 \Rightarrow a = 1 \]Daher ist die Funktion \( f \):
\[ f(x) = x^2 + 2 \]Finden Sie die quadratische Funktion \( g \), deren Graph unten abgebildet ist, und berechnen Sie \( g(-3) \).
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Der Scheitelpunkt des Graphen der Funktion \( g \) ist ein Maximumspunkt bei \( (h, k) = (0, -1) \). Daher wird die Funktion \( g \) in Scheitelpunktform geschrieben als:
\[ g(x) = a(x - h)^2 + k = a(x - 0)^2 - 1 = ax^2 - 1 \]Der Koeffizient \( a \) wird nun mit dem Punkt \( (1, -2) \) bestimmt, der auf dem Graphen von \( g \) liegt.
\[ g(1) = a(1)^2 - 1 = -2 \]Lösen Sie die obige Gleichung nach \( a \):
\[ a - 1 = -2 \quad \Rightarrow \quad a = -1 \]Daher ist die Funktion \( g(x) \) gegeben durch:
\[ g(x) = -x^2 - 1 \]Berechnen Sie \( g(-3) \):
\[ g(-3) = -(-3)^2 - 1 = -9 - 1 = -10 \]Finden Sie die quadratische Funktion \( l \), deren Graph unten abgebildet ist, und berechnen Sie die x-Achsenabschnitte des Graphen.
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Der Graph der Funktion \( l \) hat einen Scheitelpunkt (Maximumspunkt) bei \( (h, k) = (2, 1) \). Die Funktion \( l \) in Scheitelpunktform wird geschrieben als:
\[ l(x) = a(x - h)^2 + k = a(x - 2)^2 + 1 \]Wir verwenden den y-Achsenabschnitt \( (0, -7) \) des Graphen von \( l \), um den Koeffizienten \( a \) wie folgt zu finden:
\[ l(0) = a(0 - 2)^2 + 1 = -7 \]Lösen Sie die Gleichung nach \( a \):
\[ a \cdot 4 + 1 = -7 \quad \Rightarrow \quad 4a = -8 \quad \Rightarrow \quad a = -2 \]Die Funktion \( l(x) \) ist daher gegeben durch:
\[ l(x) = -2(x - 2)^2 + 1 \]Wir berechnen nun die x-Achsenabschnitte, indem wir die Gleichung lösen:
\[ -2(x - 2)^2 + 1 = 0 \]Bringe 1 auf die andere Seite und dividiere durch -2:
\[ (x - 2)^2 = \frac{1}{2} \]Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten:
\[ x - 2 = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} \] \[ x = 2 \pm \sqrt{\frac{1}{2}} \]Daher befinden sich die x-Achsenabschnitte der Funktion an den Punkten:
\[ \left(2 - \sqrt{\frac{1}{2}}, 0\right) \quad \text{und} \quad \left(2 + \sqrt{\frac{1}{2}}, 0\right) \]Finden Sie die quadratische Funktion s in Standardform, deren Graph unten abgebildet ist.
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Der Graph der Funktion \( s \) hat zwei x-Achsenabschnitte: \( (-1, 0) \) und \( (2, 0) \). Dies bedeutet, dass die Gleichung \( s(x) = 0 \) zwei Lösungen hat: \( x = -1 \) und \( x = 2 \).
Daher kann die Funktion \( s(x) \) als Produkt zweier Faktoren geschrieben werden:
\[ s(x) = a(x + 1)(x - 2) \]Wir verwenden nun den y-Achsenabschnitt \( (0, -4) \) des Graphen von \( s \), um den Koeffizienten \( a \) zu bestimmen:
\[ s(0) = a(0 + 1)(0 - 2) = -4 \]Lösen Sie die obige Gleichung nach \( a \):
\[ a = 2 \]Die Funktion \( s(x) \) ist gegeben durch:
\[ s(x) = 2(x + 1)(x - 2) \]Multiplizieren Sie nun aus und vereinfachen Sie, um \( s(x) \) in Standardform zu schreiben:
\[ s(x) = 2(x^2 - x - 2) = 2x^2 - 2x - 4 \]Finden Sie die quadratische Funktion m in Standardform, deren Graph eine Parabel mit einer Symmetrieachse ist, die durch die vertikale Linie x = -3 gegeben ist, wie unten abgebildet.
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Der Graph hat eine Symmetrieachse, die durch die vertikale Linie \( x = -3 \) gegeben ist. Daher ist die x-Koordinate \( h \) des Scheitelpunkts gleich -3, und die Funktion \( m(x) \) kann geschrieben werden als:
\[ m(x) = a(x + 3)^2 + k \]Wir haben nun zwei Unbekannte, \( a \) und \( k \), zu bestimmen. Unter Verwendung der Punkte \( (-5, 0) \) und \( (-2, -\frac{3}{2}) \), die auf dem Graphen von \( m \) abgebildet sind, können wir zwei Gleichungen aufstellen:
Durch Vereinfachung beider Gleichungen erhalten wir das folgende System linearer Gleichungen:
\[ 4a + k = 0 \] \[ a + k = -\frac{3}{2} \]Lösen dieses Systems ergibt:
\[ a = \frac{1}{2}, \quad k = -2 \]Setzen Sie diese Werte in die Scheitelpunktform der Funktion ein:
\[ m(x) = \frac{1}{2}(x + 3)^2 - 2 \]Multiplizieren Sie nun aus und schreiben Sie \( m(x) \) in Standardform um:
\[ m(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x + \frac{5}{2} \]Finden Sie die quadratische Funktion w in Standardform, deren Graph eine unten abgebildete Parabel ist.
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Die quadratische Funktion \( w(x) \) in Standardform wird wie folgt geschrieben:
\[ w(x) = ax^2 + bx + c \]Wir müssen die Koeffizienten \( a \), \( b \) und \( c \) finden. Wir verwenden drei Punkte auf dem Graphen von \( w \), um ein System von drei Gleichungen aufzustellen:
Der Punkt \( (0, -\frac{1}{6}) \) ergibt:
\[ w(0) = a(0)^2 + b(0) + c = -\frac{1}{6} \quad \text{(Gl. 1)} \]Der Punkt \( (1, 0) \) ergibt:
\[ w(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 0 \quad \text{(Gl. 2)} \]Der Punkt \( (3, \frac{10}{3}) \) ergibt:
\[ w(3) = a(3)^2 + b(3) + c = \frac{10}{3} \quad \text{(Gl. 3)} \]Gleichung 1 vereinfacht sich zu:
\[ c = -\frac{1}{6} \]Setzen Sie \( c = -\frac{1}{6} \) in die Gleichungen 2 und 3 ein:
\[ a + b = \frac{1}{6} \] \[ 9a + 3b = \frac{7}{2} \]Das Lösen des obigen Gleichungssystems ergibt:
\[ a = \frac{1}{2}, \quad b = -\frac{1}{3} \]Durch Einsetzen von \( a \), \( b \) und \( c \) in die Standardform der quadratischen Funktion erhalten wir:
\[ w(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{6} \]