Graf Sine- und Cosinusfunktionen

Graphen der Sinus- und der Cosinus-Funktionen der Form y = a sin(b x + c) + d und y = a cos(b x + c) + d werden mit mehreren Beispielen einschließlich detaillierter Lösungen erörtert.
Wir beginnen mit dem Graphen der grundlegenden Sinusfunktion y = sin(x) und der grundlegenden Kosinusfunktion g(x) = cos(x). Anschließend präsentieren wir Beispiele dafür, wie man transformierte Versionen dieser Funktionen graphisch darstellt. Eine effektive Möglichkeit, dieses Tutorial zu verwenden, besteht darin, es von Anfang an zu beginnen und die Beispiele der Reihe nach durchzuarbeiten.

Graph der grundlegenden Sinusfunktion: y = sin(x)

Beispiel 1
Berechnen Sie den Bereich und die Periode der Funktion y = sin(x) und zeichnen Sie sie.
Lösung zu Beispiel 1
Ein Einheitskreis (mit Radius 1) zentriert am Ursprung des kartesischen Koordinatensystems hat 4 spezielle Punkte, die den 5 Quadrantwinkeln (0, π/2, π 3π/2 und 2π) entsprechen, wie in Abbildung 1 unten gezeigt. Die x- und y-Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis sind der Kosinus bzw. der Sinus des entsprechenden Winkels.
x ist der Winkel in Standardposition. Vom Einheitskreis aus können wir folgern:
Der Bereich von sin(x) (die y-Koordinaten) ist die Menge aller Werte im Intervall [-1 , 1] oder in Ungleichheitsform: -1 ≤ sin(x) ≤ 1
Ein Zyklus von sin(x) kann bei x = 0 beginnen und bei x = 2π enden, nachdem die Werte von sin(x) wie im Einheitskreis gezeigt, wiederholt wurden. Daher sagen wir, dass sin(x) eine Periode gleich 2π hat.

Graph der grundlegenden Sinusfunktion: f(x) = cos(x)

Beispiel 2
Bestimmen Sie den Wertebereich und die Periode der Funktion y = cos(x) und zeichnen Sie sie.
Lösung für Beispiel 2
Wir verwenden dieselben 4 Spezialpunkte, die 5 Quadrantenwinkeln entsprechen (0, π/2, π 3π/2 und 2π), wie sie im Einheitskreis dargestellt sind (Abbildung 1 oben). cos(x) wird durch die x-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis gegeben, der dem Winkel x in Standardposition entspricht.
Vom Einheitskreis können wir folgendes schlussfolgern:
Der Wertebereich von cos(x) (die x-Koordinaten) ist die Menge aller Werte im Intervall [-1 , 1] in Ungleichheitsform: - 1 ≤ cos(x) ≤ 1
Ein Zyklus von cos(x) kann bei x = 0 beginnen und bei x = 2π enden, nach welcher Rotation die Werte von cos(x) periodisch wiederholt werden, wie im Einheitskreis gezeigt. Daher schließen wir daraus, dass cos(x) eine Periode von 2π hat.
Wir verwenden die Werte von cos(x) für verschiedene Werte von x aus dem Einheitskreis (siehe Abbildung 1). Wir verwenden die x-Koordinate (die cos(x) ergibt) der gleichen 5 Quadrantenwinkel, die der Variablen x entsprechen (0, π/2, π 3π/2 und 2π), von denen 2 Werte (0, 2 π) den maximalen Wert 1 von cos(x) ergeben, zwei Werte (π/2 , 3π/2) geben Nullen von cos(x) und ein Wert (π) gibt cos(x) den minimalen Wert, wie in der untenstehenden Tabelle gezeigt.


Der Graph von cos(x) wird unten über eine Periode von 0 bis 2π gezeigt (durchgezogene Linie) und über weitere Perioden (gestrichelte Linie).

Graph der Funktion: y = 3 sin(x)

Beispiel 3
Bestimmen Sie den Wertebereich und die Periode der Funktion y = 3 sin(x) und zeichnen Sie sie.
Lösung für Beispiel 3
Vergleichen wir die gegebene Funktion y = 3 sin(x) und die grundlegende Sinusfunktion y = sin(x), gibt es einen Multiplikationsfaktor von 3. Es gibt keine horizontale Dehnung oder Verschiebung, da die Variable x in beiden Funktionen auf die gleiche "Weise" erscheint.
Periode = 2π
Wir haben bereits eine Tabelle für sin(x) oben erstellt. Erweitern wir sie und nehmen Sie die gegebene Funktion y = 3 sin(x) in die Grafik auf.
Hinweis: Um Werte für die Funktion 3 sin(x) zu erhalten, multiplizieren Sie die Werte der Funktion sin(x) mit 3, wie in der folgenden Tabelle gezeigt.
Aus der Tabelle ergibt sich: Wertebereich: -3 ≤ 3 sin(x) ≤ 3


Der Graph von 3 sin(x) wird unten über eine Periode von 0 bis 2π gezeigt, und wie erwartet gibt es eine vertikale Dehnung um einen Faktor von 3 (im Vergleich zu y = sin(x), rot). Die Periode hat sich wie erwartet nicht geändert, aber der Wertebereich ist jetzt: [-3 , 3] oder in Ungleichheitsform : -3 ≤ 3 sin(x) ≤ 3

Graph der Funktion: y = -2 cos(x)

Beispiel 4
Bestimmen Sie den Wertebereich und die Periode der Funktion y = -2 cos(x) und zeichnen Sie sie.
Lösung für Beispiel 4
Vergleichen wir die gegebene Funktion = -2 cos(x) und die grundlegende Cosinusfunktion y = cos(x), gibt es eine vertikale Dehnung um den Faktor 2 und auch eine Spiegelung an der x-Achse aufgrund des Minuszeichens in -2. Es gibt keine horizontale Dehnung oder Verschiebung, da die Variable x in beiden Funktionen auf die gleiche "Weise" erscheint.
Periode = 2π
Eine Tabelle für cos(x) wurde bereits oben erstellt, erweitern wir sie, um die gegebene Funktion y = -2 cos(x) in die Grafik aufzunehmen.
Aus der Tabelle ergibt sich: Wertebereich: - 2 ≤ -2 cos(x) ≤ 2

Graph der Funktion: y = sin(2 x)

Beispiel 5
Bestimmen Sie die Periode der Funktion y = sin(2 x) und zeichnen Sie sie.
Lösung für Beispiel 5
Vergleichen wir die gegebene Funktion y = sin(2 x) und die grundlegende Sinusfunktion y = sin(x), gibt es eine horizontale Stauchung um den Faktor 2.
Erklärung
Damit die Funktion y = sin(2 x) eine Periode durchläuft, muss 2 x wie folgt sein
0 ≤ 2 x ≤ 2 π
Teilen Sie alle Terme der obigen Ungleichung, wir erhalten
0 ≤ x ≤ π , dies ist das Intervall über eine Periode, das zum Zeichnen von y = sin(2 x) verwendet wird.
Daher ist die Periode von sin(2x) = π - 0 = π

Graph der Funktion: y = cos(2 x - π/4)

Beispiel 6
Bestimmen Sie die Periode, die Phasenverschiebung der Funktion y = cos(2 x - π/4) und zeichnen Sie sie.
Lösung für Beispiel 6
Schreiben Sie die gegebene Funktion um als
y = cos(2(x - π/8))
Wir starten zunächst damit, den Term - π/8 zu ignorieren und eine Periode für y = cos(2 x) zu definieren.
0 ≤ 2 x ≤ 2π
Teilen Sie alle Terme durch 2, um zu erhalten
0 ≤ x ≤ π , die Periode beträgt π wie bereits oben berechnet.
Damit die Funktion y = cos(2(x - π/8)) eine Periode durchläuft, müssen die Ausdrücke 2(x - π/8) wie folgt sein
0 ≤ 2(x - π/8)≤ 2 π
Teilen Sie alle Terme durch 2
0 ≤ x - π/8 ≤ π
Fügen Sie π/8 zu allen Termen hinzu
π/8 ≤ x ≤ π + π/8, dies ist das Intervall über eine Periode, das zum Zeichnen von y = cos(2 x - π/4) verwendet wird
Wenn wir das Intervall einer Periode für cos(2 x) vergleichen, das 0 ≤ x ≤ π ist, und das Intervall einer Periode für cos(2(x - π/8)), das π/8 ≤ x ≤ π + π/8 ist, ist der einzige Unterschied die Phasenverschiebung nach rechts um π/8

Graph der Funktion: y = sin(3 x + π/3)

Beispiel 7
Finde die Periode und Phasenverschiebung der Funktion y = sin(3 x + π/3) und zeichne sie.
Lösung zu Beispiel 7
Die Periode ist gegeben durch: 2π/|b| = 2π/ 3
Die Phasenverschiebung wird wie folgt berechnet
- c / b = - ( π/3) / 3 = - π/9
Wir erwarten, dass der Graph von y = sin(3 x + π/3) der Graph von y = sin(3 x) verschoben um π/9 nach links ist, aufgrund des Minus-Zeichens in der Phasenverschiebung.
Damit die Funktion y = sin(3 x + π/3) eine Periode durchlaufen kann, muss der Ausdruck 3 x + π/3 wie folgt sein:
0 ≤ 3 x + π/3 ≤ 2 π
Löse die obige Ungleichung nach x, um das Intervall für eine Periode zu erhalten.
- π/9 ≤ x ≤ 5π/9
Finde die Mittelwerte, wie in Beispiel 6 gemacht, und vervollständige die Wertetabelle.


Der Graph der gegebenen Funktion y = sin(3 x + π/3) (blau) wird mit dem Graphen von sin(3 x) (rot) verglichen. Sie sind ähnlich, abgesehen von der Verschiebung um π/9 nach links.

Graph der Funktion: y = - 2 sin(2 x - π/5) + 1

Beispiel 8
Finde den Wertebereich, die Periode und die Phasenverschiebung der Funktion y = cos(2 x - π/4) und zeichne sie.
Lösung zu Beispiel 8
Wir wissen, dass der Wertebereich von sin(2 x - π/5) durch das Intervall [-1 , 1] gegeben ist, oder als Ungleichung geschrieben wird:
- 1 ≤ sin(2 x - π/5) ≤ 1
Multipliziere alle Terme der Ungleichung mit -2 und ändere die Ungleichheitszeichen:
2 ≥ -2 sin(2 x - π/5) ≥ -2
Addiere +1 zu allen Termen der Ungleichung und schreibe um:
-2 + 1 ≤ -2 sin(2 x - π/5) + 1 ≤ 2 + 1
Daraus ergibt sich der Wertebereich der gegebenen Funktion als:
-1 ≤ -2 sin(2 x - π/5) + 3 ≤ 3

Graph der Funktion: y = 2 cos(2 x + 4π/3) - 2

Beispiel 9
Zeichnen Sie die Funktion y = cos(2 x - π/4) über eine Periode.
Lösung zu Beispiel 9
In Beispiel 8 oben haben wir gesehen, dass der Graph über eine Periode innerhalb eines Rechtecks eingeschrieben ist, das durch den Anfangs- und Endpunkt einer Periode gefunden wird, indem die Ungleichung gelöst wird
0 ≤ 2 x + 4π/3 ≤ 2π
Dies ergibt
- 4π/6 ≤ x ≤ 2π/6
und Breite gegeben durch den Wertebereich von y = 2 cos(2 x + 4π/3) - 2, der durch das Intervall gegeben ist (siehe oben gegebene Formel)
[ - |a| + d , |a| + d ] = [ - 2 - 2 , 2 + 2 ] = [ - 4 , 0] oder in Ungleichheitsform - 4 ≤ y ≤ 0
Eine Wertetabelle wird unter Verwendung des Anfangs- und Endpunkts - 4π/6 und 2π/6, der durch Lösen der Ungleichung gefunden wurde, erstellt und die Periode in 4 gleiche Intervalle und die Mittelwerte aufgeteilt. Dann werden die Werte der Funktion, deren Wertebereich bereits bekannt ist, leicht über eine Periode bestimmt.


Der Graph von y = 2 cos(2 x + 4π/3) - 2 ist unten über eine Periode von - 4π/6 bis 2π/6 dargestellt. Beachten Sie erneut das oben bestimmte Rechteck.

Übungen

Für jede Funktion finden Sie die Anfangs- und Endwerte von x über eine Periode, den Wertebereich und zeichnen Sie sie über eine Periode.
1) y = (1/2) cos(3x - π/6) + 1
2) y = - sin(0.5 x + π/6) - 1

Lösungen zu den obigen Übungen

1) Eine Periode: π/18 ≤ x ≤ 13π/18 , Wertebereich : [1/2 , 3/2]. Siehe Graph unten

Weitere Referenzen und Links

Sinus-Funktion
Cosinus-Funktion
Einheitskreis
Winkel in Standardposition
Wertebereich von sin(x)
Periode trigonometrischer Funktionen
Phasenverschiebung einer Sinusfunktion
Eigenschaften der sechs trigonometrischen Funktionen