Dieses Tutorial bietet einen schrittweisen Ansatz zur graphischen Darstellung von Transformationen von \( y = a \sin(b x + c) + d \) und \( y = a \cos(b x + c) + d \). Wir konzentrieren uns auf die Intervallmethode, um Periode und Phasenverschiebung effizient zu bestimmen.
Anhand des Einheitskreises ermitteln wir fünf wichtige Punkte für eine Periode \( [0, 2\pi] \). Wertebereich: \( [-1, 1] \).
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Ähnlich wie der Sinus, beginnt aber bei seinem Maximum. Periode: \( 2\pi \). Wertebereich: \( [-1, 1] \).
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Vertikale Streckung um den Faktor 3. Wertebereich: \( [-3, 3] \).
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Vertikale Streckung um 2. Das negative Vorzeichen zeigt eine Spiegelung an der x-Achse an. Wertebereich: \( [-2, 2] \).
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Finden Sie einen Zyklus jeder transformierten trigonometrischen Funktion, indem Sie die folgende Doppelungleichung lösen: \[ 0 \le \text{Argument} \le 2\pi \]
Intervall: \( 0 \le 2x \le 2\pi \implies \mathbf{0 \le x \le \pi} \). Die Periode ist \( \pi \).
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Lösen Sie: \( 0 \le 2x - \frac{\pi}{4} \le 2\pi \)
Addieren Sie \( \pi/4 \): \( \frac{\pi}{4} \le 2x \le \frac{9\pi}{4} \)
Durch 2 dividieren: \( \mathbf{\frac{\pi}{8} \le x \le \frac{9\pi}{8}} \).
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Lösen Sie: \( 0 \le 3x + \frac{\pi}{3} \le 2\pi \)
Subtrahieren Sie \( \pi/3 \): \( -\frac{\pi}{3} \le 3x \le \frac{5\pi}{3} \)
Durch 3 dividieren: \( \mathbf{-\frac{\pi}{9} \le x \le \frac{5\pi}{9}} \).
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1. Intervall: Lösen Sie \( 0 \le 2x - \pi/5 \le 2\pi \implies \mathbf{\frac{\pi}{10} \le x \le \frac{11\pi}{10}} \).
2. Spiegelung und Amplitude: Die Amplitude ist 2. Das negative Vorzeichen führt zu einer Spiegelung an der x-Achse (oder Mittellinie).
3. Wertebereich: Um 1 Einheit nach oben verschoben. \( [-2+1, 2+1] = \mathbf{[-1, 3]} \).
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Bestimmen Sie den Wertebereich und das x-Intervall für eine Periode von: \[ y = \frac{1}{2} \cos(3x - \pi/6) + 1 \]
Intervall: Lösen Sie \( 0 \le 3x - \pi/6 \le 2\pi \implies \mathbf{\frac{\pi}{18} \le x \le \frac{13\pi}{18}} \).
Wertebereich: \( [1 - 0.5, 1 + 0.5] = \mathbf{[0.5, 1.5]} \).
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