Größter gemeinsamer Teiler (ggT) von Monomen

Schritt-für-Schritt-Anleitung, gelöste Beispiele und detaillierte Lösungen

In der Algebra ist der größte gemeinsame Teiler (ggT) von zwei oder mehr Monomen das größte Monom, das alle ohne Rest teilt. Dies ist eine entscheidende Fähigkeit zum Faktorisieren von Polynomen und zum Vereinfachen rationaler Ausdrücke.

Die Methode der Primfaktorzerlegung

Um den ggT zu finden, verwenden wir die Primfaktorzerlegung, um jedes Monom in seine Bausteine (Koeffizienten und Variablen) zu zerlegen.

  1. Schreiben Sie die Primfaktorzerlegung jedes numerischen Koeffizienten auf.
  2. Listen Sie die Variablen mit ihren niedrigsten vorkommenden Exponenten in der Menge auf.
  3. Multiplizieren Sie die gemeinsamen numerischen Faktoren und Variablenfaktoren miteinander.

Gelöste Beispiele

Beispiel 1: Zwei Monome

Finden Sie den ggT von \( 12x \) und \( 18x^2 \).

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1. Primfaktorzerlegung von \( 12x \):
\[ 12x = \color{red}{2} \cdot 2 \cdot \color{red}{3} \cdot \color{red}{x} \]

2. Primfaktorzerlegung von \( 18x^2 \):
\[ 18x^2 = \color{red}{2} \cdot \color{red}{3} \cdot 3 \cdot \color{red}{x} \cdot x \]

3. Identifizieren Sie die gemeinsamen Faktoren: \( 2, 3 \text{ und } x \).

\[ \text{ggT}(12x, 18x^2) = \color{red}{2 \cdot 3 \cdot x = 6x} \]

Beispiel 2: Mehrere Variablen

Finden Sie den ggT von \( 30x^2y^3 \), \( 42x^3y^2 \) und \( 18x^2y^2 \).

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Primfaktorzerlegungen:

  • \( 30x^2y^3 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 5 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \cdot y \)
  • \( 42x^3y^2 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 7 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \cdot \color{red}{y \cdot y} \)
  • \( 18x^2y^2 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 3 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \)

Der ggT ist das Produkt der gemeinsamen Faktoren:

\[ \text{ggT} = 2 \cdot 3 \cdot x^2 \cdot y^2 = \color{red}{6x^2y^2} \]

Übungsaufgaben mit detaillierten Lösungen

Wenden Sie die Methode der Primfaktorzerlegung an, um die folgenden Probleme zu lösen.

Frage 1: Finden Sie den ggT von \( 36x^2 \) und \( 42x^3 \).

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\[ 36x^2 = \color{red}{2} \cdot 2 \cdot \color{red}{3} \cdot 3 \cdot \color{red}{x \cdot x} \] \[ 42x^3 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 7 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \]

ggT: \( 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x = \color{red}{6x^2} \)

Frage 2: Finden Sie den ggT von \( 45x^3 \), \( 60x^2 \) und \( 75x^4 \).

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\[ 45x^3 = \color{red}{3} \cdot 3 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \] \[ 60x^2 = \color{red} 2 \cdot 2 \cdot {3} \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \] \[ 75x^4 = \color{red}{3 \cdot 5} \cdot 5 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \cdot x \]

ggT: \( 3 \cdot 5 \cdot x^2 = \color{red}{15x^2} \)

Frage 3: Finden Sie den ggT von \( 50x^2y^3 \), \( 75x^2y^2 \) und \( 125x^4y^3 \).

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\[ 50x^2y^3 = \color{red} 2 \cdot {5 \cdot 5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \cdot y \] \[ 75x^2y^2 = \color{red} 3 \cdot {5 \cdot 5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \] \[ 125x^4y^3 = \color{red} 5 \cdot {5 \cdot 5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \cdot x \cdot \color{red}{y \cdot y} \cdot y \]

ggT: \( 5 \cdot 5 \cdot x^2 \cdot y^2 = \color{red}{25x^2y^2} \)

Frage 4: Vereinfachen Sie den rationalen Ausdruck mithilfe des ggT: \[ \dfrac{35x^3y^2}{42x^2y^3} \]

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Finden Sie zuerst die Primfaktorzerlegung für Zähler und Nenner:

\[ 35x^3y^2 = 5 \cdot \color{red}{7 \cdot x^2 \cdot y^2} \cdot x \] \[ 42x^2y^3 = 2 \cdot 3 \cdot \color{red}{7 \cdot x^2 \cdot y^2} \cdot y \]

Kürzen Sie die gemeinsamen ggT-Faktoren \( (7x^2y^2) \):

\[ \dfrac{35x^3y^2}{42x^2y^3} = \dfrac{5 \cdot \color{red}{7 \cdot x^2 \cdot y^2} \cdot x}{2 \cdot 3 \cdot \color{red}{7 \cdot x^2 \cdot y^2} \cdot y} = \dfrac{5x}{6y} \]

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