Größter gemeinsamer Faktor von Monomen

Wie findet man den größten gemeinsamen Faktor (GCF) von zwei oder mehr Monomen in der Mathematik? Es werden Mathematikfragen der 11. Klasse zusammen mit detaillierten Lösungen und Erklärungen vorgestellt.

Was ist der größte gemeinsame Faktor (GCF) von Monomen?

Der größte gemeinsame Faktor zweier oder mehrerer Monome ist das größte Monom, das alle diese Monome gleichmäßig teilt. Er wird ermittelt, indem man zuerst die Primfaktorzerlegung Primfaktorzerlegung jedes Monoms durchführt.

Beispiel 1

Finden Sie den größten gemeinsamen Faktor der Monome \( 12x \) und \( 18x^2 \).

Lösung

1) Schreiben Sie die Primfaktorzerlegung des Monoms \( 12 x \) : \( \quad 12 x = \color{red}{2} \cdot \color{black}{2} \cdot \color{red}{3} \cdot \color{red}{x} \)

2) Schreiben Sie die Primfaktorzerlegung des Monoms \( 18 x^2 \) : \( \quad 18 x^2 = \color{red}{2} \cdot \color{red}{3} \cdot \color{black}{3} \cdot \color{red}{x}\cdot \color{black}{x} \)

Der größte gemeinsame Faktor (GCF) von \( 12 x \) und \( 18 x^2 \) ist das Produkt aller gemeinsamen Faktoren in der obigen Primfaktorzerlegung:

\[ \text{GCF} (12 x , 18 x^2) = \color{red}{2 \cdot 3 \cdot x = 6 x } \]

Beispiel 2

Finden Sie den größten gemeinsamen Faktor der Monome:

\[ 30x^2 y^3,\quad 42x^3 y^2,\quad \text{und } 18x^2 y^2 \]

Lösung

1) Schreiben Sie die Primfaktorzerlegung des Monoms \( 30x^2 y^3 \):

\[ 30x^2 y^3 = \color{red}{2 \times 3} \times \color{black} 5 \times \color{red} {{x \times x} \times \color{red}{y \times y} \times \color{black}y} \]

2) Schreiben Sie die Primfaktorzerlegung des Monoms \( 42 x^3 y^2 \) :

\[ 42 x^3 y^2 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot \color{black} 7 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{black} {x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \]

3) Schreiben Sie die Primfaktorzerlegung des Monoms \( 18 x^2 y^2 \) :

\[ 18 x^2 y^2 = \color{red} { 2 \cdot 3 \cdot {\color{black}3} \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y } \]

Der größte gemeinsame Faktor der drei Monome ist das Produkt aller gemeinsamen Faktoren in der obigen Primfaktorzerlegung:

\[ \text{GCF}( 30x^2 y^3 , 42 x^3 y^2 , 18 x^2 y^2 ) = \color{red}{ 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y = 6 x^2 y^2} \]

Beantworten Sie die folgenden Fragen

Detaillierte Lösungen und Erklärungen sind enthalten.

  1. Finden Sie den größten gemeinsamen Faktor der Monome \( 36 x^2 \; \text{und} \; 42 x^3 \).
  2. Finden Sie den größten gemeinsamen Faktor von \( 45 x^3 \; , \; 60 x^2 \; \text{und} \; 75 x^4 \).
  3. Was ist der größte gemeinsame Faktor von \( 50 x^2 y^3 \; , \; 75 x^2 y^2 \; \text{und} \; 125 x^4 y^3 \)?
  4. a) Finden Sie die Primfaktorzerlegung der Monome \( 35 x^3 y^2 \; \text{und} \; 42 x^2 y^3 \).
    b) Vereinfachen Sie den rationalen Ausdruck \( \dfrac{35 x^3 y^2 }{42 x^2 y^3} \).

Detaillierte Lösungen und Erklärungen sind enthalten.

Weitere Referenzen und Links