Diese Lektion ist für Schüler der 9. Klasse konzipiert, um Operationen mit Monomen zu beherrschen. Ein Monom ist ein einzelner algebraischer Ausdruck, der aus einer reellen Zahl multipliziert mit Variablen besteht, die mit nicht-negativen ganzzahligen Exponenten potenziert werden.
Im Folgenden finden Sie klare Beispiele, die zeigen, wie man Koeffizienten identifiziert sowie wie man Monome addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert. Sobald Sie die Beispiele durchgegangen sind, testen Sie Ihr Verständnis mit den Übungsaufgaben, die interaktive Schritt-für-Schritt-Lösungen enthalten.
1. Verständnis der Koeffizienten von Monomen
Nehmen Sie eine Zahl, wie \(-2\), und eine Variable mit Exponent, wie \(x^2\), und multiplizieren Sie diese: \(-2 \times x^2\). Zur Vereinfachung lassen wir das Multiplikationszeichen weg und schreiben es als Monom: \(-2x^2\).
Beispiele für Standard-Monome sind: \( x \), \( 2x \), \( 3x^2 \), \( -0,1x \), \( -\dfrac{3}{4}x^2y^2 \), \( -y \).
Definition: Koeffizient
Der Koeffizient eines Monoms ist der numerische Teil, der am Anfang des Terms steht.
Beispiel 1: Koeffizienten identifizieren
- Der Koeffizient von \( \color{red}{2}x \) ist \(2\).
- Der Koeffizient von \( \color{red}{-3}x^2 \) ist \(-3\).
- Der Koeffizient von \( \color{red}{-\dfrac{5}{2}}y^3x \) ist \(-\dfrac{5}{2}\).
- Der Koeffizient von \( x \) (was \( \color{red}{1}x \) entspricht) ist \(1\). Hinweis: Wir schreiben \(x\), nicht \(1x\).
- Der Koeffizient von \( -x^2 \) (was \( \color{red}{-1}x^2 \) entspricht) ist \(-1\). Hinweis: Wir schreiben \(-x^2\), nicht \(-1x^2\).
2. Monome addieren und subtrahieren
Wir können nur Monome addieren und subtrahieren, die gleichartige Terme sind (d. h. sie haben exakt die gleichen Variablen mit den exakt gleichen Exponenten).
- \( -3x^2 \), \( 4x^2 \) und \( -x^2 \) sind gleichartige Terme und können addiert werden.
- \( -y^2x \), \( 4y^2x \) und \( -xy^2 \) sind gleichartige Terme und können addiert werden. (Hinweis: \(xy^2\) und \(y^2x\) sind identisch).
Beispiel 2: Addition und Subtraktion
a) \( 2x + 4x \)
\[ \begin{aligned} \color{red}{2}x + \color{red}{4}x &= \color{red}{(2 + 4)}x \quad && \text{(Variable } x \text{ ausklammern)} \\ &= 6x \quad && \text{(Koeffizienten addieren)} \end{aligned} \]
b) \( 3x^2 - x^2 \)
\[ \begin{aligned} \color{red}{3}x^2 \color{red}{- 1}x^2 &= \color{red}{(3 - 1)}x^2 \quad && \text{(Variable } x^2 \text{ ausklammern)} \\ &= 2x^2 \quad && \text{(Koeffizienten subtrahieren)} \end{aligned} \]
c) \( 3x^2y - x^2y + 4yx^2 \)
\[ \begin{aligned} 3x^2y - 1x^2y + 4x^2y &= \color{red}{(3 - 1 + 4)}x^2y \quad && \text{(Koeffizienten gruppieren)} \\ &= 6x^2y \end{aligned} \]
3. Monome multiplizieren
Multiplikationsregel für Exponenten
Sie können jedes Paar von Monomen multiplizieren; sie müssen keine gleichartigen Terme sein. Verwenden Sie die Produktregel für Exponenten:
\( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \)
Beispiel 3: Multiplikation
a) \( (x)(6x) \)
\[ \begin{aligned} (\color{red}{1}\color{blue}{x})(\color{red}{6}\color{blue}{x}) &= \color{red}{(1 \cdot 6)}\color{blue}{(x \cdot x)} \quad && \text{(Koeffizienten und Variablen gruppieren)} \\ &= 6x^{1+1} = 6x^2 \quad && \text{(Potenzregel anwenden)} \end{aligned} \]
b) \( (5x^2y)(-y^2x) \)
\[ \begin{aligned} (5x^2y)(-1y^2x) &= (5 \cdot -1)(x^2 \cdot x)(y \cdot y^2) \\ &= -5 x^{2+1} y^{1+2} \\ &= -5x^3y^3 \end{aligned} \]
4. Monome dividieren
Divisionsregel für Exponenten
Sie können jedes Paar von Monomen dividieren, solange der Divisor nicht Null ist. Verwenden Sie die Quotientenregel für Exponenten:
\( \dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \)
Beispiel 4: Division
a) \( \dfrac{-x^2}{x} \)
\[ \begin{aligned} \dfrac{\color{red}{-1}\color{blue}{x^2}}{\color{red}{1}\color{blue}{x}} &= \color{red}{\dfrac{-1}{1}} \cdot \color{blue}{\dfrac{x^2}{x}} \\ &= -1 \cdot x^{2-1} \\ &= -x \end{aligned} \]
b) \( \dfrac{-2x^4y^3}{6x^2y^2} \)
\[ \begin{aligned} \dfrac{-2x^4y^3}{6x^2y^2} &= \color{red}{\dfrac{-2}{6}} \cdot \color{blue}{\dfrac{x^4}{x^2}} \cdot \color{green}{\dfrac{y^3}{y^2}} \\ &= -\dfrac{1}{3} \cdot x^{4-2} \cdot y^{3-2} \\ &= -\dfrac{1}{3}x^2y \end{aligned} \]