Logarithmische und exponentielle Funktionen sind grundlegend für die Algebra. Da es sich um Umkehrfunktionen handelt, können wir komplexe Gleichungen lösen, indem wir zwischen ihren Formen umwandeln. Dieser Leitfaden bietet umfassende Regeln und gelöste Übungsaufgaben für Mathematikkurse der 11. Klasse.
Logarithmische und exponentielle Ausdrücke sind äquivalent:
$$\log_b(x) = y \iff x = b^y$$Wobei $b > 0$, $b \neq 1$ und $x > 0$.
a) $\log_x(a) = c$
b) $\log_b(2x + 1) = 3$
Unter Verwendung von $\log_b(x) = y \iff x = b^y$:
a) $\mathbf{a = x^c}$
b) $\mathbf{2x + 1 = b^3}$
a) $3^x = m$
b) $x^2 = a$
Unter Verwendung von $x = b^y \iff y = \log_b(x)$:
a) $\mathbf{x = \log_3(m)}$
b) $\mathbf{2 = \log_x(a)}$
Bestimmen Sie den Wert von: a) $\log_2(16)$ | b) $\log_3(27)$ | c) $\log_{25}(5)$
a) Sei $y = \log_2(16) \implies 2^y = 16$. Da $16 = 2^4$, ist $y = \mathbf{4}$.
b) Sei $y = \log_3(27) \implies 3^y = 27$. Da $27 = 3^3$, ist $y = \mathbf{3}$.
c) Sei $y = \log_{25}(5) \implies 25^y = 5$. Da $5 = \sqrt{25} = 25^{1/2}$, ist $y = \mathbf{1/2}$.
Lösen Sie nach $x$ auf: $\log_2(3x + 1) = 4$
In Exponentialform umwandeln:
$$3x + 1 = 2^4$$ $$3x + 1 = 16$$ $$3x = 15 \implies \mathbf{x = 5}$$Lösen Sie nach $x$ auf: $\log_4 \frac{x+1}{2x-1} = 0$
In Exponentialform umwandeln:
$$\frac{x+1}{2x-1} = 4^0 = 1$$ $$x + 1 = 2x - 1$$ $$\mathbf{x = 2}$$Lösen Sie nach $x$ auf: $4^{2x+1} = 16$
Schreiben Sie beide Seiten mit Basis 4:
$$4^{2x+1} = 4^2$$Setzen Sie die Exponenten gleich:
$$2x + 1 = 2 \implies 2x = 1 \implies \mathbf{x = 0,5}$$Lösen Sie: $2^{2x} - 6(2^x) = -8$
Beachten Sie, dass $2^{2x} = (2^x)^2$. Sei $u = 2^x$:
$$u^2 - 6u + 8 = 0$$Quadratische Gleichung faktorisieren:
$$(u - 2)(u - 4) = 0 \implies u = 2, u = 4$$Rücksubstitution für $x$:
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