c) Lass \( y = \log_2 (1/32) \)
Umwandeln in exponentielle Form: \( 2^y = \dfrac{1}{32} \)
Verwende die Tatsache, dass \( \dfrac{1}{32} = \dfrac{1}{2^5} = 2^{-5} \) um \( 2^y = 2^{-5} \) zu schreiben
Und die Eigenschaft der Eindeutigkeit der Exponentialfunktion ergibt: \( y = -5 \)
Also \( y = \log_2 (1/32) = -5 \)
d) Lass \( y = \log_{25} 5 \)
Umwandeln in exponentielle Form: \( 25^y = 5 \)
Verwende die Tatsache, dass \( 5 = \sqrt{25} = 25^{1/2} \) um \( 25^y = 25^{1/2} \) zu schreiben
Also \( y = \log_{25} 5 = 1/2 \)
e) Lass \( y = \log \sqrt{10} \) ( beachte den Logarithmus zur Basis 10 ); umwandeln in exponentielle Form: \( 10^y = \sqrt{10} = 10^{1/2} \), daher \( y = \log \sqrt{10} = 1/2 \)
f) Lass \( y = \log_b 1 \) ; umwandeln in exponentielle Form: \( b^y = 1 = b^0 \), daher \( y = log_b 1 = 0 \)
g) Lass \( y = \log_{0.1} 10 \) ; umwandeln in exponentielle Form: \( 0.1^y = 10 \)
Verwende \( 10 = 1 / 0.1 = 0.1^{-1} \) , daher \( 0.1^y = 0.1^{-1} \) was \( y = \log_{0.1} 10 = - 1 \) ergibt
Lösung
Verwende die äquivalenten Ausdrücke: \( y = \log_b(x) \iff x = b^y \) um die folgenden logarithmischen Gleichungen nach \( x \) zu lösen:
a) \( \log_2 x = 3 \) ; umwandeln in exponentielle Form: \( x = 2^3 = 8 \)
b) \( \log_x 8 = 3 \) ; umwandeln in exponentielle Form: \( 8 = x^3 \) , schreibe 8 als \( 8 = 2^3 = x^3\) ; daher ist \( x = 2 \)
c)\( \log_3 x = 1 \) ; umwandeln in exponentielle Form: \( x = 3^1 = 3 \)
d) \( \log_{5.6} x = 0 \) ; umwandeln in exponentielle Form: \( x = 5.6^0 = 1 \)
e) \( \log_2 (3x + 1) = 4 \) ; umwandeln in exponentielle Form: \( 3x + 1 = 2^4 = 16 \) , löse nach \( x \): \( 3x + 1 = 16 , 3x = 15 , x = 5 \)
f) \( \log_3 \dfrac{1}{x+1} = 2 \) ; umwandeln in exponentielle Form: \( \dfrac{1}{x+1} = 3^2 = 9 \) , löse nach \( x \): \( 1 = 9 (x + 1) , x = - 8 / 9 \)
g) \( \log_4 \dfrac{x+1}{2x-1} = 0 \) ; umwandeln in exponentielle Form: \( \dfrac{x+1}{2x-1} = 4^0 = 1 \) , löse nach \( x \): \( x + 1 = 2x - 1 , x = 2 \)
h) \( \log ( 1/x + 1 ) = 2 \) ; umwandeln in exponentielle Form: \( 1/x + 1 = 10^2 = 100 \), löse nach \( x \): \( 1/x + 1 = 100 , 1/x = 99 , x = 1/99 \)
i) \( \log_x 0.0001 = 4 \) ; umwandeln in exponentielle Form: \( x^4 = 0.0001 = 1/10000 = 1/10^4 = (1/10)^4 \)
was \( x^4 = (1/10)^4 \) ergibt
daher \( x = 1/10 \).
Lösung
Verwende die Eigenschaft der Eindeutigkeit: wenn \( b^x = b^y \) dann \( x = y \) um die Exponentialfunktionen zu lösen:
Beachte, dass in der obigen Gleichung die Basen der beiden Exponentialfunktionen beide gleich \( b \) sind.
a) \( 3^x = 9 = 3^2 \) , daher \( x = 2 \)
b) \( 4^{2x + 1} = 16 = 4^2 \), was \( 4^{2x + 1} = 4^2 \) ergibt, daher \( 2x + 1 = 2 , x = 1 / 2 \)
c) \( \left(\dfrac{1}{2} \right)^x = 2 \) , schreibe \( 2 \) als \( 2 = \left(\dfrac{1}{2} \right)^{-1} \), was \( \left(\dfrac{1}{2} \right)^x = \left(\dfrac{1}{2} \right)^{-1} \) ergibt, daher \( x = - 1 \)
d) \( 10^x = 5 \) , wandele die Exponentialfunktion in einen Logarithmus zur Basis 10 um: \( \quad x = \log_{10} 5 \) (hier haben wir die Umwandlung verwendet, um die gegebene Gleichung zu lösen)
e) \( \left(\dfrac{1}{3} \right)^{x/2 - 2} = 9 = 3^2 \). Schreibe \( 3^2 \) als \( \left(\dfrac{1}{3} \right)^{-2} \) , was \( \left(\dfrac{1}{3} \right)^{x/2 - 2} = \left(\dfrac{1}{3} \right)^{-2} \) ergibt. Daher \( x/2 - 2 = - 2 \) , löse, um \( x = 0 \) zu erhalten
f) \( 0.01^x = 100 \). Schreibe : \( 100 = \dfrac{1}{0.01} = 0.01^{-1} \) , was \( 0.01^x = 0.01^{-1} \) ergibt, daher \( x = -1 \)
g) \( 2^{2x} - 6 \cdot 2^x = - 8 \)
Beachte, dass \( 2^{2x} = (2^x)^2 \).
Setze \( u = 2^x \) und schreibe \( u^2 = (2^x)^2 = 2^{2x} \)
Wir substituieren nun \( 2^x \) durch \( u \) und \( 2^{2x} \) durch \( u^2 \) in der gegebenen Gleichung und schreiben die Gleichung nur in Bezug auf \( u \) und in Standardform wie folgt um
\( u^2 - 6 u + 8 = 0 \)
Löse die obige quadratische Gleichung durch Faktorisierung:
\( (u - 2)(u - 4) = 0 \)
Lösungen für \( u = 2 \) und \( u = 4 \)
Wir lösen nun für \( x \), indem wir die oben gemachte Substitution verwenden:
\( u = 2 = 2^x \) , ergibt die Lösung: \( x = 1 \)
\( u = 4 = 2^x = 2^2\) , ergibt die Lösung: \( x = 2 \)
