Parabel-Fragen und Probleme mit detaillierten Lösungen

Die x-Achsenabschnitte sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse, das sind Punkte auf der x-Achse, und daher sind ihre y-Koordinaten gleich 0. Daher müssen wir die Gleichung lösen: \[ 0 = - x^2 + 2x + 3 \] Faktorisieren Sie die rechte Seite der Gleichung: \[ -(x - 3)(x + 1) = 0\] Lösen Sie nach x auf, um zu finden: \[ x = 3 \quad \text{und} \quad x = -1\] , Der y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse, ein Punkt auf der y-Achse, und daher ist seine x-Koordinate gleich 0. Der y-Achsenabschnitt ist :\( y = - (0)^2 + 2 (0) + 3 = 3 \), Der Scheitelpunkt wird gefunden, indem die Gleichung der Parabel in Scheitelpunktform \(y = a(x - h)^2 + k \) geschrieben wird, indem man die quadratische Ergänzung durchführt und die Koordinaten des Scheitelpunkts \( h \) und \( k \) identifiziert. Quadratische Ergänzung: \[ y = - x^2 + 2 x + 3 = -( x^2 - 2 x - 3) = -( (x - 1)^2 - 1 - 3) = -(x - 1 )^2 + 4 \] Scheitelpunkt am Punkt \[ (1 , 4) \] Sie können alle oben gefundenen Punkte anhand des Graphen von \[ y = - x^2 + 2 x + 3 \] unten überprüfen.

Die Schnittpunkte sind Lösungen des simultanen Gleichungssystems \[ 2x + 3y = 7 \quad \text{und} \quad y = - 2 x^2 + 2 x + 5 \]. Ersetzen Sie \( y \) durch \( - 2 x^2 + 2 x + 5 \) in der Gleichung \( 2x + 3y = 7 \), um zu erhalten \[ 2x + 3(- 2x^2 + 2x + 5) = 7 \] Schreiben Sie die oben erhaltene quadratische Gleichung in Standardform \[ -6x^2 + 8x + 8 = 0 \] Teilen Sie alle Terme der Gleichung durch 2. \[ -3x^2 + 4x + 4 = 0 \] Lösung für x \[ x = 2 \quad , \quad x = -2/3 \] Setzen Sie x für die vorherigen Lösungen in \( 2x + 3y = 7 \) ein, um y zu finden. \[ x = 2 , y = 1 \quad \text{und} \quad x = -\frac{2}{3}, \quad y = \frac{25}{9} \] Die Schnittpunkte sind: \[ (2 , 1) \quad \text{und} \quad (-\frac{2}{3} , \frac{25}{9} ) \]. Überprüfen Sie die Antwort unten grafisch.

Die Schnittpunkte der beiden Parabeln sind Lösungen des simultanen Gleichungssystems \[ y = -(x - 3)^2 + 2 \quad und \quad y = x^2 - 4x + 1 \].
Ersetzen Sie \( y \) durch \( -(x - 3)^2 + 2 \) in der zweiten Gleichung: \[ -(x - 3)^2 + 2 = x^2 - 4x + 1 \] Expandieren, zusammenfassen und in Standardform schreiben \[ -2x^2 + 10x - 8 = 0 \] Teilen Sie alle Terme durch \( -2 \) \[ x^2 - 5x + 4 = 0 \] Die Lösungen der obigen quadratischen Gleichung sind: \[ x = 1 \quad und \quad x = 4 \] Verwenden Sie eine der Gleichungen, um y zu finden:

\( x = 1 \) in die Gleichung \(y = -(x - 3)^2 + 2 \) eingesetzt ergibt \( y = -(1 - 3)^2 + 2 = -2 \)

\( x = 4 \) in die Gleichung \( y = -(x - 3)^2 + 2 \) eingesetzt ergibt \( y = -(4 - 3)^2 + 2 = 1 \)

Schnittpunkte sind: \[ (1 , -2) \quad \text{und} \quad (4 , 1) \] Überprüfen Sie die Antwort unten grafisch.

Die Punkte \((-1,-5)\) und \((2,10) \) liegen auf dem Graphen der Parabel \( y = 2 x^2 + b x + c\) und sind daher Lösungen der Parabelgleichung. Durch Einsetzen der Koordinaten der beiden Punkte erhalten wir die Gleichungen:
\[ -5 = 2 (-1)^2 + b (-1) + c\] und \[10 = 2 (2)^2 + b (2) + c\] Schreiben Sie das obige System mit den Unbekannten \( b \) und \( c \) in Standardform. \[ - b + c = - 7\]
\[ 2b + c = 2\] Lösen Sie das obige Gleichungssystem, um zu erhalten: \( c = - 4 \) und \( b = 3\) Die Gleichung der Parabel, die durch die Punkte \( (-1,-5)\) und \( (2,10)\) verläuft, ist gegeben durch: \[ y = 2 x^2 + b x + c = 2 x^2 + 3 x - 4\] Verwenden Sie einen Funktionsplotter, um Ihre Antwort zu überprüfen, indem Sie \( y = 2 x^2 + 3 x - 4 \) grafisch darstellen und prüfen, ob der Graph durch die Punkte \( (-1,-5) \) und \((2,10)\) verläuft.

Die Gleichung einer Parabel mit x-Achsenabschnitten bei \( x = 2 \) und \( x = -3 \) kann als Produkt zweier Faktoren geschrieben werden, deren Nullstellen die x-Achsenabschnitte sind, wie folgt: \[ y = a(x - 2)(x + 3) \] Wir verwenden nun den y-Achsenabschnitt bei (0, 5), einen Punkt, durch den die Parabel verläuft, um zu schreiben: \[ 5 = a(0 - 2)(0 + 3) \] Lösen Sie nach \(a\) auf \[ a = - \dfrac{5}{6} \] Gleichung: \[ y = - \dfrac{5}{6} (x - 2)(x + 3)\] Zeichnen Sie \( y = - \dfrac{5}{6} (x - 2)(x + 3)\) und verifizieren Sie, dass der Graph x-Achsenabschnitte bei \( x = 2 , x = -3 \) und einen y-Achsenabschnitt bei \( y = 5\) hat.

Die Punkte \( (0,3), (1,-4) \) und \( (-1,4) \) liegen auf dem Graphen der Parabel \( y = a x^2 + b x + c \) und sind daher Lösungen der Parabelgleichung. Daher schreiben wir das System der 3 Gleichungen wie folgt: \[ (0,3) \Rightarrow c = 3 \quad (I) \] \[ (1,-4) \Rightarrow a + b + 3 = -4 \Rightarrow a + b = -7 \quad (II) \] \[ (-1,4) \Rightarrow a - b + 3 = 4 \Rightarrow a - b = 1 \quad (III) \] Gleichung (I) ergibt: \[ c = 3 \] Setzen Sie 3 für c in die Gleichungen (II) und (III) ein \[ a + b = -7 \] \[ a - b = 1 \] Lösen Sie das System nach \( a \) und \( b \) auf, um zu erhalten \[a = - 3 \; , \; b = - 4 \] Die Gleichung der Parabel ist gegeben durch: \[ y = a x^2 + b x + c = -3 x^2 - 4x + 3 \] Zeichnen Sie die Graphen von \( y = -3 x^2 - 4x + 3 \) und verifizieren Sie, dass der Graph durch die Punkte \( (0,3), (1,-4) \) und \( (-1 ,4) \) verläuft.

Die Gleichung der Parabel mit vertikaler Symmetrieachse hat die Form \( y = a x^2 + b x + c \) oder in Scheitelpunktform \( y = a(x - h)^2 + k \), wobei der Scheitelpunkt am Punkt \( (h , k)\) liegt.

In diesem Fall tangiert sie eine horizontale Gerade \( y = 3 \) bei \( x = -2 \), was bedeutet, dass ihr Scheitelpunkt am Punkt \( (h , k) = (-2 , 3) \) liegt. Daher kann die Gleichung dieser Parabel wie folgt geschrieben werden: \[ y = a(x - h)^2 + k = a(x - (-2))^2 + 3 = a(x + 2)^2 + 3 \] Ihr Graph verläuft durch den Punkt \( (0 , 5) \), der die Gleichung erfüllen muss: \[ 5 = a(0 + 2)^2 + 3 = 4 a+ 3 \] Lösen Sie das Obige nach \( a \) auf \[ a = \dfrac{1}{2} \] Die Gleichung der Parabel ist gegeben durch: \[ y = \dfrac{1}{2}(x + 2)^2 + 3 \] Skizzieren Sie die Graphen von \( y = \dfrac{1}{2} (x + 2)^2 + 3 \) und verifizieren Sie, dass der Graph die horizontale Gerade \( y = 3 \) bei \( x = -2 \) tangiert und dass der Graph durch den Punkt \( (0 , 5) \) verläuft.

Eine Gerade und eine Parabel sind tangential, wenn sie nur einen Schnittpunkt haben, den Berührungspunkt. Die Schnittpunkte werden durch Lösen des Systems \( y = m x - 3 \quad und \quad y = 3 x^2 - x \) gefunden. Ersetzen Sie \( y \) durch \( m x - 3 \) in der zweiten Gleichung: \[ mx - 3 = 3 x^2 - x \] Schreiben Sie als standardmäßige quadratische Gleichung: \[ 3 x^2 - x(1 + m) + 3 = 0 \] Die Diskriminante der obigen quadratischen Gleichung ist gegeben durch: \[ \Delta = (1 + m)^2 - 4(3)(3) \] Die Gerade ist tangential zur Parabel, wenn sie nur einen Schnittpunkt haben, das heißt wenn: \[\Delta = 0 \] Daher die Gleichung: \[(1 + m)^2 - 4(3)(3) = 0 \] Lösen Sie nach \( m \) auf \[(1 + m)^2 = 36 \] Lösungen sind: \[ m = 5 \quad und \quad m = -7 \] Verwenden Sie einen Funktionsplotter, um Ihre Antwort zu überprüfen, indem Sie die Graphen der Geraden: \( y = 5 x - 3 \) ( \( m = 5 \) Lösung ), \( y = -7 x - 3 \) ( \( m = -7 \) Lösung) und der Parabel \( y = 3 x^2 - x\) zeichnen und prüfen, ob die beiden Geraden den Graphen der Parabel \( y = 3 x^2 - x\) tangieren.

Die Schnittpunkte werden durch Lösen des Systems \[ y = 2 x + b \quad und \quad y = - x^2 - 2x + 1 \] gefunden. Ersetzen Sie \( y \) durch \( 2 x + b \) in der zweiten Gleichung \[ 2x + b = - x^2 - 2x + 1 \] Schreiben Sie als standardmäßige quadratische Gleichung: \[ - x^2 - 4x + 1 - b = 0 \] Die Diskriminante der obigen Gleichung ist gegeben durch: \[ \Delta = (-4)^2 - 4(-1)(1 - b) = 20 - 4b \] Die Graphen von \( y = 2 x + b \) und \( y = - x^2 - 2 x + 1 \) haben zwei Schnittpunkte, wenn \( \Delta \gt 0 \) (Fall von zwei reellen Lösungen einer quadratischen Gleichung), daher die Ungleichung \[ 20 - 4 b \gt 0 \] Lösen Sie nach \( b \) auf \[ b \lt 5 \] Verwenden Sie einen Funktionsplotter, um Ihre Antwort zu überprüfen, indem Sie Graphen von \( y = - x^2 - 2 x + 1 \) und Geraden durch Gleichungen \( y = 2 x + b \) für Werte von \( b \gt 5 \) , \( b \lt 5 \) und \( b = 5 \) zeichnen, um zu sehen, wie viele Schnittpunkte der Parabel und der Geraden es für jeden dieser Werte von \( b \) gibt.

Die Schnittpunkte werden durch Lösen des Systems \[ y = a x^2 + x \quad und \quad y = 3 x + 1 \] gefunden. Ersetzen Sie \( y \) durch \( 3 x + 1 \) in der Gleichung \( y = a x^2 + x \) \[ 3 x + 1 = a x^2 + x \] Schreiben Sie als standardmäßige quadratische Gleichung: \[ a x^2 - 2 x - 1 = 0 \] Diskriminante der quadratischen Gleichung: \[ \Delta = (-2)^2 - 4(a)(-1) = 4 + 4 a \] Die Graphen sind tangential, wenn sie einen Schnittpunkt haben (Fall einer Lösung einer quadratischen Gleichung), wenn \( \Delta = 0 \). Daher \[ 4 + 4 a = 0 \] Lösen Sie nach \(a\) auf \[ a = -1 \] Parabelgleichung: \[ y = -x^2 + x \] Zeichnen Sie \( y = - x^2 + x \) und \( y = 3 x + 1 \), um die obige Antwort zu überprüfen.

Beginnen Sie mit: \[ y = x^2 \] Verschiebung um 3 Einheiten nach links: \[ y = (x + 3)^2 \] Spiegelung an der x-Achse: \[ y = -(x + 3)^2 \] Verschiebung um 4 Einheiten nach oben: \[ y = -(x + 3)^2 + 4 \]

Gegeben: \[ y = - x^2 + 4 x + 6 \] Durch quadratische Ergänzung in Scheitelpunktform umschreiben: \[ y = - x^2 + 4 x + 6 = - (x - 2)^2 + 10\] Beginnend: \[ y = x^2\] Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts: \[ y = (x - 2)^2\] Spiegelung an der x-Achse: \[ y = -(x - 2)^2 \] Verschiebung um 10 Einheiten nach oben: \[ y = -(x - 2)^2 + 10 \]

Jeder im gegebenen Graphen identifizierte Punkt kann verwendet werden, um die Gleichung der Parabel zu finden. Die Verwendung der \( x \)- und \( y \)-Achsenabschnitte und des Scheitelpunkts sind jedoch bessere Wege, um die Gleichung der Parabel zu finden, deren Graph unten gezeigt wird.

Zwei Methoden werden zur Lösung des Problems vorgestellt:

Methode 1:
Der Graph hat zwei x-Achsenabschnitte: (-5, 0) und (-1, 0)
Verwenden Sie die zwei x-Achsenabschnitte bei (-5, 0) und (-1, 0), um die Gleichung der Parabel als Produkt von zwei linearen Faktoren zu schreiben: \[ y = a(x + 1)(x + 5)\] Verwenden Sie den y-Achsenabschnitt bei (0, -5), um zu schreiben \[ - 5 = a(0 + 1)(0 + 5) = 5 a\] Lösen Sie nach \(a \) auf \[ a = -1 \] Schreiben Sie die Gleichung der Parabel: \[ y = -(x + 1)(x + 5) = - x^2 - 6 x - 5 \]

Methode 2:

Verwenden Sie den Scheitelpunkt bei \( ( h , k) = (-3 , 4) \), um die Gleichung der Parabel in Scheitelpunktform wie folgt zu schreiben: \[ y = a(x - h)^2 + k = a(x + 3)^2 + 4 \] Verwenden Sie den y-Achsenabschnitt (0, -5), um \(a\) zu finden. \[ - 5 = a(0 + 3)^2 + 4 \] Lösen Sie das Obige nach \(a\) auf: \[ a = -1 \] Die Gleichung der Parabel ist gegeben durch \[ y = -(x + 3)^2 + 4 = - x^2 -6 x - 5 \]