Parabelfragen und -probleme mit detaillierten Lösungen
Parabel-Probleme mit Antworten und detaillierten Lösungen unten der Seite werden angezeigt.
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Fragen und Probleme
Finden Sie die x- und y-Achsenabschnitte, den Scheitelpunkt und die Symmetrieachse der Parabel mit der Gleichung \( y = - x^2 + 2 x + 3 \)?
Was sind die Schnittpunkte der Geraden mit Gleichung \( 2x + 3y = 7 \) und der Parabel mit Gleichung \( y = - 2 x^2 + 2 x + 5\)?
Finden Sie die Schnittpunkte der beiden Parabeln mit der Gleichung \( y = -(x - 3)^2 + 2\) und \( y = x^2 - 4x + 1\).
Finden Sie die Gleichung der Parabel \( y = 2 x^2 + b x + c\), die durch die Punkte \( (-1,-5)\) und \( (2,10)\) verläuft.
Wie lautet die Gleichung der Parabel mit x-Achsenabschnitten bei \( x = 2\) und \( x = -3\) und einem y-Achsenabschnitt bei \( y = 5\)?
Finden Sie die Gleichung der Parabel \( y = a x^2 + b x + c \), die durch die Punkte \( (0,3) \) , \( (1,-4)\) und \( (-1, 4)\).
Finden Sie die Gleichung der Parabel mit vertikaler Symmetrieachse, die die Gerade \( y = 3 \) bei \( x = -2 \) tangiert und deren Graph durch den Punkt \((0,5) \ verläuft ).
Für welchen Wert der Steigung m ist die Gerade mit der Gleichung \( y = m x - 3 \) tangential zur Parabel mit der Gleichung \( y = 3 x^2 - x \)?
Für welche Werte des Parameters b schneidet die Gerade mit Gleichung \( y = 2 x + b \) die Parabel mit Gleichung \( y = - x^2 - 2 x + 1\) an zwei Punkten?
Finden Sie die Gleichung \( y = a x^2 + x\) der Parabel, die die Gerade mit der Gleichung \( y = 3 x + 1\) tangiert.
Verschieben Sie den Graphen der Parabel \( y = x^2 \) um 3 Einheiten nach links, spiegeln Sie dann den erhaltenen Graphen auf der x-Achse und verschieben Sie ihn dann um 4 Einheiten nach oben. Wie lautet die Gleichung der neuen Parabel nach diesen Transformationen?
Welche Transformationen sind erforderlich, um den Graphen der Parabel \( y = x^2 \) in den Graphen der Parabel \( y = - x^2 + 4 x + 6 \) zu transformieren?
Schreiben Sie die Gleichung der in der folgenden Grafik gezeigten Parabel.
Lösungen für die oben genannten Fragen und Probleme
Die x-Achsenabschnitte sind der Schnittpunkt der Parabel mit der x-Achse, die Punkte auf der x-Achse sind und daher sind ihre y-Koordinaten gleich 0. Daher müssen wir die Gleichung lösen:
\( 0 = - x^2 + 2 x + 3 \)
Faktorisieren Sie die rechte Seite der Gleichung: \( -(x - 3)(x + 1) = 0\)
x-Achsenabschnitte sind: Nach x auflösen: \(x = 3\) und \(x = -1\) ,
Der y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse, der ein Punkt auf der y-Achse ist und daher sind seine x-Koordinaten gleich 0
y-Achsenabschnitt ist:\( y = - (0)^2 + 2 (0) + 3 = 3 \),
Der Scheitelpunkt wird gefunden, indem die Gleichung der Parabel in der Scheitelpunktform \(y = a(x - h)^2 + k \) geschrieben wird, indem das Quadrat vervollständigt und die Koordinaten des Scheitelpunkts h und k identifiziert werden.
Vervollständige das Quadrat: \(y = - x^2 + 2 x + 3 = -( x^2 - 2 x - 3) = -( (x - 1)^2 - 1 - 3) = -(x - 1 )^2 + 4 \)
Scheitelpunkt im Punkt \( (1 , 4) \)
Sie können alle oben gefundenen Punkte mithilfe des unten gezeigten Diagramms von \( y = - x^2 + 2 x + 3 \) überprüfen.
Die Schnittpunkte sind Lösungen der simultanen Gleichungen \( 2x + 3y = 7 \) und \( y = - 2 x^2 + 2 x + 5 \).
Da \( y = - 2 x^2 + 2 x + 5 \), ersetzen Sie y durch \( - 2 x^2 + 2 x + 5 \) in der Gleichung \( 2x + 3y = 7 \) wie folgt
\( 2x + 3(- 2 x^2 + 2 x + 5) = 7 \)
Schreiben Sie die oben erhaltene quadratische Gleichung in Standardform
\( -6x^2 + 8x + 8 = 0 \)
Teilen Sie alle Terme der Gleichung durch 2.
\( -3x^2 + 4x + 4 = 0 \)
Lösen Sie nach x auf
\( x = 2 , x = -2/3 \)
Ersetzen Sie x durch die obigen Lösungen in \( 2x + 3y = 7 \), um y zu finden.
\( x = 2 , y = 1 \) und \( x = -2/3 , y = 25/9 \)
Die Schnittpunkte sind: \( (2 , 1) \) und \( (-2/3 , 25/9) \).
Überprüfen Sie die Antwort unten grafisch.
Die Schnittpunkte der beiden Parabeln sind Lösungen der Simultangleichungen
\( y = -(x - 3)^2 + 2 \) und \( y = x^2 - 4x + 1 \).
Eliminieren Sie \( y \) und leiten Sie die Gleichung mit einer Unbekannten ab
\( -(x - 3)^2 + 2 = x^2 - 4x + 1 \)
\( -2x^2 + 10 x - 8 = 0 \)
\( -x^2 + 5 x - 4 = 0 \)
Lösungen der obigen quadratischen Gleichung sind:
\(x = 1 \) und \(x = 4 \)
Verwenden Sie eine der Gleichungen, um y zu finden:
\(x = 1 \) in der Gleichung \(y = -(x - 3)^2 + 2 \), um \( y = -(1 - 3)^2 + 2 = -2 \) zu erhalten
\( x = 4 \) in der Gleichung \( y = -(x - 3)^2 + 2 \), um \( y = -(4 - 3)^2 + 2 = 1 \) zu erhalten
Punkte: \( (1 , -2) \) und \( (4 , 1) \)
Überprüfen Sie die Antwort unten grafisch.
Die Punkte \((-1,-5)\) und \((2,10) \) liegen daher auf dem Graphen der Parabel \( y = 2 x^2 + b x + c\).
\( -5 = 2 (-1)^2 + b (-1) + c\)
\( 10 = 2 (2)^2 + b (2) + c\)
Schreiben Sie das obige System in b und c in Standardform um.
\( - b + c = - 7\)
\( 2 b + c = 2\)
Lösen Sie das obige Gleichungssystem und erhalten Sie: \( c = - 4 \) und \( b = 3\)
Die Gleichung der Parabel, die durch die Punkte \( (-1,-5)\) und \( (2,10)\) verläuft, lautet: \( y = 2 x^2 + b x + c = 2 x^2 + 3 x - 4\)
Verwenden Sie einen Graphplotter, um die Antwort zu überprüfen, indem Sie die Graphen von \( y = 2 x^2 + 3 x - 4 \) zeichnen und prüfen, ob der Graph durch die Punkte \( (-1,-5) \) und \ verläuft. ( (2,10) \).
Die Gleichung einer Parabel mit x-Achsenabschnitten bei \( x = 2 \) und \( x = -3 \) kann wie folgt als Produkt zweier Faktoren geschrieben werden, deren Nullstellen die x-Achsenabschnitte sind:
\( y = a(x - 2)(x + 3) \)
Wir verwenden nun den y-Achsenabschnitt bei (0 , 5), einem Punkt, durch den die Parabel verläuft, um zu schreiben:
\( 5 = a(0 - 2)(0 + 3) \)
Auflösen nach \( a \)
\( a = - 5 / 6 \)
Gleichung: \( y = (-5/6)(x - 2)(x + 3)\)
Zeichnen Sie \( y = (-5/6)(x - 2)(x + 3)\) und prüfen Sie, ob der Graph einen x-Achsenabschnitt bei \( x = 2 , x = -3 \) und einen y-Achsenabschnitt bei \( y = 5 \).
Die Punkte \( (0,3), (1,-4) \)und \( (-1,4) \) liegen auf dem Graphen der Parabel \( y = a x^2 + b x + c \) und sind daher Lösungen der Parabelgleichung. Daher schreiben wir das System aus 3 Gleichungen wie folgt:
Punkt \( (0,3) \) ergibt die Gleichung: \( 3 = a (0)^2 + b (0) + c \quad (I) \)
Punkt \( (1,-4) \) ergibt die Gleichung: \( - 4 = a (1)^2 + b (1) + c \quad (II) \)
Punkt \( (-1,4) \) ergibt die Gleichung: \( 4 = a (-1)^2 + b (-1) + c \quad (III) \)
Gleichung (I) ergibt:
\( c = 3 \)
Ersetzen Sie c durch 3 in den Gleichungen (II) und (III).
\( a + b = -7 \)
\( a - b = 1 \)
Lösen Sie das System in a und b
\( a = - 3 \) und \( b = - 4 \)
Gleichung: \( y = a x^2 + b x + c = -3 x^2 - 4x + 3 \)
Zeichnen Sie die Graphen von \( y = -3 x^2 - 4x + 3 \) und prüfen Sie, ob der Graph durch die Punkte \( (0,3), (1,-4) \) und \( (-1) verläuft ,4) \).
Die Gleichung der Parabel mit vertikaler Symmetrieachse hat die Form \( y = a x^2 + b x + c \) oder in Scheitelpunktform \( y = a(x - h)^2 + k \), wobei die Der Scheitelpunkt liegt am Punkt \( (h , k)\) .
In diesem Fall ist es tangential zu einer horizontalen Linie \( y = 3 \) bei \( x = -2 \), was bedeutet, dass sein Scheitelpunkt im Punkt \( (h , k) = (-2 , 3) \) liegt ). Daher kann die Gleichung dieser Parabel wie folgt geschrieben werden:
\( y = a(x - h)^2 + k = a(x - (-2))^2 + 3 = a(x + 2)^2 + 3 \)
Sein Graph passiert den Punkt \( (0 , 5) \). Somit
\( 5 = a(0 + 2)^2 + 3 = 4 a + 3 \)
Lösen Sie das Obige nach \( a \)
\( a = 1 / 2 \)
Gleichung: \( y = (1/2)(x + 2)^2 + 3 \)
Zeichnen Sie die Graphen von \( y = (1/2)(x + 2)^2 + 3 \) und prüfen Sie, ob der Graph die horizontale Linie \( y = 3 \) bei \( x = -2 \) tangiert. ) und auch der Graph geht durch den Punkt \( (0 , 5) \).
Eine Gerade und eine Parabel sind Tangente, wenn sie nur einen Schnittpunkt haben, nämlich den Punkt, an dem sie sich berühren.
Die Schnittpunkte werden durch Lösen des Systems gefunden
\( y = m x - 3 \) und \( y = 3 x^2 - x \)
\( mx - 3 = 3 x^2 - x \)
Schreiben Sie als quadratische Standardgleichung:
\( 3 x^2 - x(1 + m) + 3 = 0 \)
Die Diskriminante der obigen quadratischen Gleichung ist gegeben durch:
\( \Delta = (1 + m)^2 - 4(3)(3) \)
Die Linie tangiert die Parabel der Graphen der beiden Kurven und hat einen Schnittpunkt, wenn:
\( \Delta = 0 \) (Fall für eine Lösung einer quadratischen Gleichung)
Daher die Gleichung:
\( (1 + m)^2 - 4(3)(3) = 0 \)
Lösen Sie nach m auf
\( (1 + m)^2 = 36 \)
Lösungen: \( m = 5 \) und \( m = -7 \)
Verwenden Sie einen Diagrammplotter, um die Antwort zu überprüfen, indem Sie die Diagramme der Linien zeichnen: \( y = 5 x - 3 \) (m = 5-Lösung), \( y = -7 x - 3 \) (m = 7-Lösung) und die Parabel \( y = 3 x^2 - x\) und überprüfen Sie, ob die beiden Linien den Graphen der Parabel \( y = 3 x^2 - x \) tangieren.
Die Schnittpunkte werden durch Lösen des Systems gefunden
\( y = 2 x + b \) und \( y = - x^2 - 2 x + 1 \)
\( 2 x + b = - x^2 - 2 x + 1 \)
Schreiben Sie als quadratische Standardgleichung:
\( - x^2 - 4 x + 1 - b = 0 \)
Die Diskriminante der obigen Gleichung ist gegeben durch: \( \Delta = (-4)^2 - 4(-1)(1 - b) = 20 - 4b \)
Die Graphen von \( y = 2 x + b \) und \( y = - x^2 - 2 x + 1 \) haben zwei Schnittpunkte, wenn \( \Delta \gt 0 \) (Fall für zwei reelle Lösungen). einer quadratischen Gleichung)
\( 20 - 4 b \gt 0 \)
Lösen Sie nach b auf
\( b \lt 5 \)
Verwenden Sie einen Graphenplotter, um die Antwort zu überprüfen, indem Sie die Graphen von \( y = - x^2 - 2 x + 1 \) und Linien mit Gleichungen \( y = 2 x + b \) für Werte von \( b \gt 5 \) , \( b \lt 5 \) und \( b = 5 \), um zu sehen, wie viele Schnittpunkte der Parabel und der Geraden für jeden dieser Werte von \( b \) vorhanden sind.
Die Schnittpunkte werden durch Lösen des Systems gefunden
\( y = a x^2 + x \) und \( y = 3 x + 1 \)
\( 3 x + 1 = a x^2 + x \)
Schreiben Sie als quadratische Standardgleichung:
\( a x^2 - 2 x - 1 = 0 \)
Diskriminante: \( \Delta = (-2)^2 - 4(a)(-1) = 4 + 4 a \)
Die Graphen sind tangential, wenn sie einen Schnittpunkt haben (Fall für eine Lösung einer quadratischen Gleichung), wenn \( \Delta = 0 \). Somit
\( 4 + 4 a = 0 \)
Auflösen nach \( a \)
\( a = -1 \)
Parabelgleichung: \( y = -x^2 + x \)
Stellen Sie \( y = - x^2 + x \) und \( y = 3 x + 1 \) grafisch dar, um die oben gefundene Antwort zu überprüfen.
Start: \( y = x^2 \)
3 Einheiten nach links verschieben: \( y = (x + 3)^2 \)
Auf der x-Achse spiegeln: \( y = -(x + 3)^2 \)
4 Einheiten nach oben verschieben: \( y = -(x + 3)^2 + 4 \)
Gegeben: \( y = - x^2 + 4 x + 6 \)
Schreiben Sie in Scheitelpunktform um, indem Sie das Quadrat vervollständigen: \( y = - x^2 + 4 x + 6 = - (x - 2)^2 + 10\)
Anfang: \( y = x^2\)
2 Einheiten nach rechts verschieben: \( y = (x - 2)^2\)
Auf der x-Achse spiegeln: \( y = -(x - 2)^2 \)
10 Einheiten nach oben verschieben: \( y = -(x - 2)^2 + 10\)
Alle in der gegebenen Grafik identifizierten Punkte können verwendet werden, um die Gleichung der Parabel zu finden. Allerdings sind die Verwendung von x-, y-Achsenabschnitten und des Scheitelpunkts bessere Möglichkeiten, die Gleichung der Parabel zu finden, deren Diagramm unten dargestellt ist.
Es werden zwei Methoden zur Lösung des Problems vorgestellt:
Methode 1:
Der Graph hat zwei x-Achsenabschnitte: (-5 , 0) und (-1 , 0)
Verwenden Sie die beiden x-Achsenabschnitte bei (-5, 0) und (-1, 0), um die Gleichung der Parabel wie folgt zu schreiben:
\( y = a(x + 1)(x + 5)\)
Verwenden Sie zum Schreiben den y-Achsenabschnitt bei (0, -5).
\( - 5 = a(0 + 1)(0 + 5) = 5 a\)
Auflösen nach \(a \)
\( a = -1\)
Schreiben Sie die Gleichung der Parabel:
\( y = -(x + 1)(x + 5) = - x^2 -6 x - 5\)
Methode 2:
Verwenden Sie den Scheitelpunkt bei \( ( h , k) = (-3 , 4) \), um die Gleichung der Parabel wie folgt in Scheitelpunktform zu schreiben:
\( y = a(x - h)^2 + k = a(x + 3)^2 + 4 \)
Verwenden Sie den y-Achsenabschnitt (0, -5), um \(a\) zu finden.
\( - 5 = a(0 + 3)^2 + 4 \)
Lösen Sie das Obige nach \(a\): \( a = -1 \)
Die Gleichung der Parabel ist gegeben durch
\(y = -(x + 3)^2 + 4 = - x^2 -6 x - 5 \)
