Parabelaufgaben und Probleme mit detaillierten Lösungen

Die x-Achsenabschnitte sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse. Da es sich um Punkte auf der x-Achse handelt, sind ihre y-Koordinaten gleich 0. Wir müssen daher die Gleichung lösen:

$$0 = - x^2 + 2x + 3$$

Faktorisieren Sie die rechte Seite der Gleichung: $-(x - 3)(x + 1) = 0$

Lösen Sie nach $x$ auf: $x = 3$ und $x = -1$

Die y-Achsenabschnitte sind die Schnittpunkte der Parabel mit der y-Achse. Da es sich um einen Punkt auf der y-Achse handelt, ist die x-Koordinate gleich 0.

Der y-Achsenabschnitt ist: $y = - (0)^2 + 2 (0) + 3 = 3$

Der Scheitelpunkt wird gefunden, indem die Gleichung der Parabel in die Scheitelpunktform $y = a(x - h)^2 + k$ gebracht wird, indem man quadratisch ergänzt und die Koordinaten des Scheitelpunkts $h$ und $k$ identifiziert.

Quadratische Ergänzung: $y = - x^2 + 2 x + 3 = -( x^2 - 2 x - 3) = -( (x - 1)^2 - 1 - 3) = -(x - 1 )^2 + 4$

Scheitelpunkt am Punkt $(1, 4)$

Sie können alle oben gefundenen Punkte anhand des unten dargestellten Graphen von $y = - x^2 + 2 x + 3$ überprüfen.

Die Schnittpunkte sind Lösungen des simultanen Gleichungssystems $2x + 3y = 7$ und $y = - 2 x^2 + 2 x + 5$.

Ersetzen Sie $y$ in der Gleichung $2x + 3y = 7$ durch $- 2 x^2 + 2 x + 5$:

$$2x + 3(- 2x^2 + 2x + 5) = 7$$

Schreiben Sie die resultierende quadratische Gleichung in die Standardform:

$$-6x^2 + 8x + 8 = 0$$

Teilen Sie alle Terme der Gleichung durch 2:

$$-3x^2 + 4x + 4 = 0$$

Lösung für $x$:

$$x = 2 \quad \text{und} \quad x = -2/3$$

Setzen Sie $x$ in $2x + 3y = 7$ ein, um $y$ zu finden.

$$x = 2, y = 1 \quad \text{und} \quad x = -2/3, y = 25/9$$

Die Schnittpunkte sind:

$$(2, 1) \quad \text{und} \quad (-\frac{2}{3}, \frac{25}{9})$$

Die Schnittpunkte sind Lösungen des Gleichungssystems:

$$y = -(x - 3)^2 + 2 \quad \text{und} \quad y = x^2 - 4x + 1$$

Setzen Sie $y$ durch $-(x - 3)^2 + 2$ in der zweiten Gleichung ein:

$$-(x - 3)^2 + 2 = x^2 - 4x + 1$$

Ausmultiplizieren, zusammenfassen und in Standardform bringen:

$$-2x^2 + 10x - 8 = 0$$

Teilen Sie alle Terme durch $-2$:

$$x^2 - 5x + 4 = 0$$

Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind:

$$x = 1 \quad \text{und} \quad x = 4$$

Verwenden Sie eine der Gleichungen, um $y$ zu finden:

$x = 1$ in $y = -(x - 3)^2 + 2 \implies y = -(1 - 3)^2 + 2 = -2$

$x = 4$ in $y = -(x - 3)^2 + 2 \implies y = -(4 - 3)^2 + 2 = 1$

Die Schnittpunkte sind: $(1, -2)$ und $(4, 1)$

Die Punkte $(-1, -5)$ und $(2, 10)$ liegen auf dem Graphen der Parabel. Durch Einsetzen der Koordinaten erhalten wir das Gleichungssystem:

$$-5 = 2 (-1)^2 + b (-1) + c \quad \text{und} \quad 10 = 2 (2)^2 + b (2) + c$$

Schreiben Sie das System in Standardform:

$$- b + c = - 7$$ $$2b + c = 2$$

Lösen Sie das System: $c = -4$ und $b = 3$

Die Gleichung der Parabel lautet: $y = 2 x^2 + 3 x - 4$

Die Gleichung der Parabel kann in faktorisierter Form geschrieben werden:

$$y = a(x - 2)(x + 3)$$

Wir verwenden den y-Achsenabschnitt (0, 5) zur Bestimmung von $a$:

$$5 = a(0 - 2)(0 + 3)$$

Lösen Sie nach $a$ auf: $a = - \frac{5}{6}$

Gleichung: $y = - \frac{5}{6} (x - 2)(x + 3)$

Wir stellen das Gleichungssystem auf:

$$(0, 3) \implies c = 3$$ $$(1, -4) \implies a + b + c = -4$$ $$(-1, 4) \implies a - b + c = 4$$

Einsetzen von $c=3$ in die anderen Gleichungen:

$$a + b = -7$$ $$a - b = 1$$

Lösung des Systems: $a = -3, b = -4$

Die Gleichung der Parabel lautet: $y = -3 x^2 - 4x + 3$

Da die Parabel die Gerade $y = 3$ bei $x = -2$ berührt, liegt der Scheitelpunkt bei $(-2, 3)$. Die Scheitelpunktform lautet:

$$y = a(x + 2)^2 + 3$$

Durch den Punkt $(0, 5)$ erhalten wir:

$$5 = a(0 + 2)^2 + 3 \implies 5 = 4a + 3 \implies a = 0,5$$

Gleichung: $y = 0,5(x + 2)^2 + 3$

Gleichsetzen von Gerade und Parabel:

$$mx - 3 = 3 x^2 - x \implies 3 x^2 - x(1 + m) + 3 = 0$$

Für eine Tangente muss die Diskriminante Null sein:

$$\Delta = (1 + m)^2 - 4(3)(3) = 0$$ $$(1 + m)^2 = 36 \implies m + 1 = \pm 6$$

Lösungen: $m = 5$ und $m = -7$

Gleichsetzen:

$$2x + b = - x^2 - 2x + 1 \implies x^2 + 4x + b - 1 = 0$$

Zwei Schnittpunkte bedeuten $\Delta > 0$:

$$\Delta = 4^2 - 4(1)(b - 1) = 16 - 4b + 4 = 20 - 4b$$ $$20 - 4b > 0 \implies b < 5$$

Gleichsetzen: $3x + 1 = ax^2 + x \implies ax^2 - 2x - 1 = 0$

Tangente bedeutet $\Delta = 0$:

$$\Delta = (-2)^2 - 4(a)(-1) = 4 + 4a = 0 \implies a = -1$$

Gleichung: $y = -x^2 + x$

Start: $y = x^2$

Links (3): $y = (x + 3)^2$

Spiegelung: $y = -(x + 3)^2$

Oben (4): $y = -(x + 3)^2 + 4$

Quadratische Ergänzung von $y = - x^2 + 4 x + 6$: $y = -(x - 2)^2 + 10$

Transformation: Rechts (2), Spiegelung an x-Achse, Oben (10).

Mit den Nullstellen $x=-5$ und $x=-1$ und dem y-Abschnitt $(0, -5)$ ergibt sich:

$$y = a(x+5)(x+1) \implies -5 = a(5)(1) \implies a = -1$$

Gleichung: $y = -(x+5)(x+1) = -x^2 - 6x - 5$