Wie nutzt man die Symmetrie eines Einheitskreises, um Werte der Sinus- und Kosinusfunktionen für Winkel zu finden, die durch Symmetrie mit den besonderen Winkeln \( \dfrac{\pi}{6} \), \( \dfrac{\pi}{4} \), und \( \dfrac{\pi}{3} \) zusammenhängen?
Jede Linie durch den Mittelpunkt eines Kreises ist eine Symmetrielinie. Der Mittelpunkt des Kreises ist ein Symmetriepunkt. Wir betrachten nun einen Einheitskreis mit Mittelpunkt im Ursprung eines x- und y-Achsen-Systems. Uns interessieren hier die Symmetrien in Bezug auf den Ursprung, die x-Achse und die y-Achse.
Kennt man die Werte von Sinus und Kosinus der Winkel im ersten Quadranten, ist es einfacher, die Symmetrie des Einheitskreises zu nutzen, um Sinus und Kosinus der Winkel in den anderen Quadranten zu erhalten.
Der Einheitskreis unten zeigt die Werte der Kosinus- und Sinusfunktionen (Koordinaten in blau, wobei die x-Koordinate der Kosinus und die y-Koordinate der Sinus ist) für die besonderen Winkel:
Winkel im Bogenmaß und Grad: \( 0 \), \( \dfrac{\pi}{6} \) (30°), \( \dfrac{\pi}{4} \) (45°), \( \dfrac{\pi}{3} \) (60°), \( \dfrac{\pi}{2} \) (90°), \( \dfrac{2\pi}{3} \) (120°), \( \dfrac{5\pi}{4} \) (135°) ...
Betrachten Sie die Winkel: \( \dfrac{2\pi}{3} \), \( \dfrac{4\pi}{3} \), und \( \dfrac{5\pi}{3} \). Sie alle beziehen sich auf \( \dfrac{\pi}{3} \):
1 -Daher:
\[ \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \] 2 -Daher:
\[ \cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \] 3 -Daher:
\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]Hinweis: Sinus und Kosinus von \( \dfrac{\pi}{3} \), \( \dfrac{2\pi}{3} \), \( \dfrac{4\pi}{3} \), und \( \dfrac{5\pi}{3} \) haben alle die gleichen Absolutwerte. Die Vorzeichen hängen vom Quadranten ab, in dem ihre Endseiten liegen. Wenn man also weiß, dass:
\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]können wir leicht Sinus und Kosinus von \( \dfrac{2\pi}{3} \), \( \dfrac{4\pi}{3} \), und \( \dfrac{5\pi}{3} \) bestimmen, indem wir die Symmetrie des Einheitskreises anwenden und die Vorzeichen entsprechend anpassen.
Betrachten Sie die Winkel: \( \dfrac{5\pi}{6} \), \( \dfrac{7\pi}{6} \), und \( \dfrac{11\pi}{6} \). Sie alle haben eine Beziehung zu \( \dfrac{\pi}{6} \):
1 -Daher:
\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} \] 2 -Daher:
\[ \cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} \] 3 -Daher:
\[ \cos\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} \]HINWEIS: Sinus und Kosinus von \( \dfrac{\pi}{6} \), \( \dfrac{5\pi}{6} \), \( \dfrac{7\pi}{6} \), und \( \dfrac{11\pi}{6} \) haben alle die gleichen Absolutwerte. Ihre Vorzeichen hängen vom Quadranten ab, in dem die Endseiten der Winkel liegen.
Betrachten Sie die Winkel \( \dfrac{3\pi}{4} \), \( \dfrac{5\pi}{4} \), und \( \dfrac{7\pi}{4} \). Jeder dieser Winkel ist durch Symmetrie mit \( \dfrac{\pi}{4} \) verbunden:
1 -Daher:
\[ \cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \] 2 -Daher:
\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \] 3 -Daher:
\[ \cos\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \]Hinweis: Die Sinus- und Kosinuswerte der Winkel \( \dfrac{\pi}{4} \), \( \dfrac{3\pi}{4} \), \( \dfrac{5\pi}{4} \), und \( \dfrac{7\pi}{4} \) haben den gleichen Absolutwert. Ihre Vorzeichen hängen vom Quadranten ab, in dem die Endseite jedes Winkels liegt.