Spezielle Winkel am Einheitskreis

Exakte trigonometrische Werte mittels Symmetrie finden

Wie findet man exakte Werte von Sinus und Kosinus ohne Taschenrechner? Durch Auswendiglernen des ersten Quadranten des Einheitskreises und die Anwendung grundlegender geometrischer Symmetrie können Sie die trigonometrischen Werte für jeden zugehörigen Winkel leicht bestimmen.

Die Symmetrie des Einheitskreises verstehen

Jede Linie durch den Mittelpunkt eines Kreises ist eine Symmetrieachse. Wir betrachten einen Einheitskreis mit dem Mittelpunkt im Ursprung \( (0,0) \). Wir interessieren uns für drei spezifische Arten der Symmetrie:

Der Einheitskreis unten zeigt den Kosinus (x-Koordinate) und Sinus (y-Koordinate) für die speziellen Winkel in Bogenmaß und Grad: \( 0, \dfrac{\pi}{6} (30^\circ), \dfrac{\pi}{4} (45^\circ), \dfrac{\pi}{3} (60^\circ) \text{ und } \dfrac{\pi}{2} (90^\circ) \).

Einheitskreis mit speziellen Winkeln im 1. Quadranten
Abbildung 1. Der Einheitskreis und spezielle Winkel im 1. Quadranten

Winkel bezogen auf \( \dfrac{\pi}{3} \) (60°)

Betrachten Sie die Winkel: \( \dfrac{2\pi}{3} \), \( \dfrac{4\pi}{3} \) und \( \dfrac{5\pi}{3} \). Sie alle haben einen Referenzwinkel von \( \dfrac{\pi}{3} \).

Basiswerte: \( \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

1. Symmetrie zur y-Achse (II. Quadrant)

\[ \dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3} \]

Im II. Quadranten ist x negativ und y positiv.

\[ \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

2. Symmetrie zum Ursprung (III. Quadrant)

\[ \dfrac{4\pi}{3} = \pi + \dfrac{\pi}{3} \]

Im III. Quadranten sind sowohl x als auch y negativ.

\[ \cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

3. Symmetrie zur x-Achse (IV. Quadrant)

\[ \dfrac{5\pi}{3} = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} \]

Im IV. Quadranten ist x positiv und y negativ.

\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{\dfrac{1}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

Winkel bezogen auf \( \dfrac{\pi}{6} \) (30°)

Betrachten Sie die Winkel: \( \dfrac{5\pi}{6} \), \( \dfrac{7\pi}{6} \) und \( \dfrac{11\pi}{6} \). Sie alle haben einen Referenzwinkel von \( \dfrac{\pi}{6} \).

Basiswerte: \( \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} \)

1. Symmetrie zur y-Achse (II. Quadrant)

\[ \dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6} \]

\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{\dfrac{1}{2}} \]

2. Symmetrie zum Ursprung (III. Quadrant)

\[ \dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6} \]

\[ \cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]

3. Symmetrie zur x-Achse (IV. Quadrant)

\[ \dfrac{11\pi}{6} = 2\pi - \dfrac{\pi}{6} \]

\[ \cos\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]

Winkel bezogen auf \( \dfrac{\pi}{4} \) (45°)

Betrachten Sie die Winkel: \( \dfrac{3\pi}{4} \), \( \dfrac{5\pi}{4} \) und \( \dfrac{7\pi}{4} \). Sie alle haben einen Referenzwinkel von \( \dfrac{\pi}{4} \).

Basiswerte: \( \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

1. Symmetrie zur y-Achse (II. Quadrant)

\[ \dfrac{3\pi}{4} = \pi - \dfrac{\pi}{4} \]

\[ \cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

2. Symmetrie zum Ursprung (III. Quadrant)

\[ \dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4} \]

\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

3. Symmetrie zur x-Achse (IV. Quadrant)

\[ \dfrac{7\pi}{4} = 2\pi - \dfrac{\pi}{4} \]

\[ \cos\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

Herausforderungsaufgaben

Wenden Sie Ihr Wissen über den Einheitskreis, Referenzwinkel und koterminale Winkel an, um die folgenden Probleme ohne Taschenrechner zu lösen.

Frage 1 (Negative Winkel): Finden Sie den exakten Wert von \( \cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) \) und \( \sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) \).

Lösung anzeigen

Schritt 1: Ein negativer Winkel bedeutet eine Rotation im Uhrzeigersinn. Um einen positiven koterminalen Winkel zu finden, addieren Sie \( 2\pi \).

\[ -\dfrac{3\pi}{4} + \dfrac{8\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} \]

Schritt 2: Der Winkel \( \dfrac{5\pi}{4} \) liegt im III. Quadranten. Sowohl Sinus als auch Kosinus sind negativ.

Antwort: \( \cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \) und \( \sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \)

Frage 2 (Winkel größer als \(2\pi\)): Finden Sie den exakten Sinus- und Kosinuswert von \( \dfrac{16\pi}{3} \).

Lösung anzeigen

Schritt 1: Finden Sie einen koterminalen Winkel zwischen \( 0 \) und \( 2\pi \), indem Sie wiederholt volle Kreise (\( 2\pi \) oder \( \dfrac{6\pi}{3} \)) subtrahieren.

\[ \dfrac{16\pi}{3} - \dfrac{6\pi}{3} = \dfrac{10\pi}{3} \]

\[ \dfrac{10\pi}{3} - \dfrac{6\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} \]

Schritt 2: Der Winkel \( \dfrac{4\pi}{3} \) liegt im III. Quadranten mit einem Referenzwinkel von \( \dfrac{\pi}{3} \).

Antwort: \( \cos\left(\dfrac{16\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \) und \( \sin\left(\dfrac{16\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \)

Frage 3 (Reziproke Funktionen): Finden Sie den exakten Wert von \( \sec\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \) und \( \csc\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \).

Lösung anzeigen

Schritt 1: Identifizieren Sie die grundlegenden Sinus- und Kosinuswerte. Der Winkel \( \dfrac{11\pi}{6} \) liegt im IV. Quadranten.

\[ \cos\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{und} \quad \sin\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} \]

Schritt 2: Verwenden Sie die reziproken Identitäten: \( \sec(\theta) = \dfrac{1}{\cos(\theta)} \) und \( \csc(\theta) = \dfrac{1}{\sin(\theta)} \).

\[ \sec\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \mathbf{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}} \]

\[ \csc\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{-1/2} = \mathbf{-2} \]

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