Wie verwendet man die Symmetrie eines Einheitskreises, um die Werte der Sinus- und Kosinus-Funktionen für Winkel im Zusammenhang mit den speziellen Winkeln π/6, π/4 und π/3 zu finden?
Spezielle Winkel im Einheitskreis
Jede Linie durch das Zentrum eines Kreises ist eine Symmetrielinie. Das Zentrum des Kreises ist der Symmetriepunkt. Wir betrachten nun einen Einheitskreis mit dem Zentrum im Ursprung eines Koordinatensystems mit den Achsen x und y. Wir interessieren uns hier für die Symmetrien bezüglich des Ursprungs, der x-Achse und der y-Achse.
Indem man die Werte des Sinus und Kosinus der Winkel im ersten Quadranten kennt, ist es einfacher, die Symmetrie des Einheitskreises zu nutzen, um die Sinus- und Kosinuswerte der Winkel in den anderen Quadranten zu erhalten.
Der Einheitskreis unten zeigt die Werte der Kosinus- und Sinusfunktionen (Koordinaten in Blau, wobei die x-Koordinate der Kosinus und die y-Koordinate der Sinus ist) für die speziellen Winkel:
0, π/6 (30°), π/4 (45°), π/3 (60°), π/2 (90°), 2π/3 (120°), 5π/4 (135°) ...
Abbildung 1. Einheitskreis mit speziellen Winkeln
Frage: Wie findet man den Sinus und Kosinus eines Winkels zwischen 0 und 2π, der durch Symmetrie mit einem der Winkel π/6, π/4 oder π/3 zusammenhängt?
Beispiel 1
Betrachten Sie die Winkel: 2π/3, 4π/3 und 5π/3. Sie haben alle eine Beziehung zu π/3:
2π/3 = π - π/3 (Symmetrie bezüglich der y-Achse, siehe Einheitskreis oben)
Daher: cos(2π/3) = - cos(π/3) = -1/2 und sin(2π/3) = sin(π/3) = √3/2
4π/3 = π + π/3 (Symmetrie bezüglich des Ursprungs)
Daher: cos(4π/3) = - cos(π/3) = -1/2 und sin(4π/3) = - sin(π/3) = -√3/2
5π/3 = 2π - π/3 (Symmetrie bezüglich der x-Achse)
Daher: cos(5π/3) = cos(π/3) = 1/2 und sin(5π/3) = - sin(π/3) = -√3/2
HINWEIS: Der Sinus und Kosinus von π/3, 2π/3, 4π/3 und 5π/3 sind alle im absoluten Wert gleich, und ihre Vorzeichen hängen vom Quadranten ihrer Endseiten ab. Daher können die Sinus- und Kosinuswerte von 2π/3, 4π/3 und 5π/3 leicht aus cos(π/3) = 1/2 und sin(π/3) = √3/2 durch Verwendung der Symmetrie des Einheitskreises und Ändern des Vorzeichens erhalten werden.
Beispiel 2
Betrachten Sie die Winkel: 5π/6, 7π/6 und 11π/6. Sie haben alle eine Beziehung zu π/6:
5π/6 = π - π/6 (Symmetrie bezüglich der y-Achse)
Daher: cos(5π/6) = - cos(π/6) = -√3/2 und sin(5π/6) = sin(π/6) = 1/2
7π/6 = π + π/6 (Symmetrie bezüglich des Ursprungs)
Daher: cos(7π/6) = - cos(π/6) = -√3/2 und sin(7π/6) = - sin(π/6) = -1/2
11π/6 = 2π - π/6 (Symmetrie bezüglich der x-Achse)
Daher: cos(11π/6) = cos(π/6) = √3/2 und sin(11π/6) = - sin(π/6) = -1/2
HINWEIS: Der Sinus und Kosinus von π/6, 5π/6, 7π/6 und 11π/6 sind alle im absoluten Wert gleich, und ihre Vorzeichen hängen vom Quadranten ihrer Endseiten ab.
Beispiel 3
Betrachten Sie die Winkel: 3π/4, 5π/4 und 7π/4. Sie haben alle eine Beziehung zu π/4:
3π/4 = π - π/4 (Symmetrie bezüglich der y-Achse)
Daher: cos(3π/4) = - cos(π/4) = -√2/2 und sin(3π/4) = sin(π/4) = √2/2
5π/4 = π + π/4 (Symmetrie bezüglich des Ursprungs)
Daher: cos(5π/4) = - cos(π/4) = -√2/2 und sin(5π/4) = - sin(π/4) = - √2/2
7π/4 = 2π - π/4 (Symmetrie bezüglich der x-Achse)
Daher: cos(7π/4) = cos(π/4) = √2/2 und sin(7π/4) = - sin(π/4) = - √2/2
HINWEIS: Der Sinus und Kosinus von π/4, 3π/4, 5π/4 und 7π/4 sind alle im absoluten Wert gleich, und ihre Vorzeichen hängen vom Quadranten ihrer Endseiten ab.
