Exponentialgleichungen lösen

Beachten Sie, dass 27, 9 und 3 wie folgt als Potenzen von 3 geschrieben werden können:

$$ 27 = 3^3, \quad 9 = 3^2, \quad \text{und} \quad 3 = 3^1 $$

Mit diesen Werten und der Formel für negative Exponenten $\dfrac{1}{x^n} = x^{-n}$ schreiben wir die gegebene Gleichung um:

$$ (3^3)^{2x} \cdot (3^{-2})^{x - 2} = (3^2)^{-x} \cdot (3^{-1})^{2 - x} $$

Wir verwenden nun die Formel $(x^m)^n = x^{mn}$:

$$ 3^{6x} \cdot 3^{-2x + 4} = 3^{-2x} \cdot 3^{-2 + x} $$

Verwenden Sie die Formel $x^m \cdot x^n = x^{m + n}$, um die Exponenten auf jeder Seite zusammenzufassen:

$$ 3^{6x - 2x + 4} = 3^{-2x - 2 + x} $$

Vereinfachen Sie die Exponenten, um Folgendes zu erhalten:

$$ 3^{4x + 4} = 3^{-x - 2} $$

Wir nutzen die Tatsache, dass eine Exponentialfunktion eine injektive (eindeutige) Funktion ist. Wenn $3^m = 3^n$, dann ist $m = n$. Wir können die Exponenten gleichsetzen:

$$ 4x + 4 = -x - 2 $$

Lösen Sie die obige Gleichung nach $x$ auf:

$$ 5x = -6 \implies x = \dfrac{-6}{5} = -1.2 $$

Unten sehen Sie den Graphen der linken Seite der gegebenen Gleichung, wenn die rechte Seite gleich null gesetzt wird. Der $x$-Achsenabschnitt ist eine Näherung der analytischen Lösung.

Beachten Sie, dass $\sqrt{16^x} = (16^x)^{1/2} = 16^{(1/2)x}$ und verwenden Sie dies, um die gegebene Gleichung umzuschreiben:

$$ 16^{(1/2)x} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2 - 1} $$

Beachten Sie, dass $\dfrac{1}{2} = 2^{-1}$ und $16 = 2^4$. Verwenden Sie dies, um die Gleichung zur Basis 2 umzuschreiben:

$$ (2^4)^{(1/2)x} = (2^{-1})^{x^2 - 1} $$

Verwenden Sie die Formel $(x^m)^n = x^{mn}$ zum Vereinfachen:

$$ 2^{2x} = 2^{-x^2 + 1} $$

Da die Basen identisch sind, können wir die Exponenten gleichsetzen:

$$ 2x = -x^2 + 1 $$

Schreiben Sie die Gleichung in die quadratische Standardform um und lösen Sie sie:

$$ x^2 + 2x - 1 = 0 $$

Mit der Mitternachtsformel (pq-Formel oder abc-Formel) ergibt sich $\Delta = 2^2 - 4(1)(-1) = 8$. Dies liefert zwei Lösungen:

$$ x_1 = -1 - \sqrt{2} \approx -2.41 \quad \text{und} \quad x_2 = -1 + \sqrt{2} \approx 0.41 $$

Sei $u = 2^x$. Das bedeutet, $2^{-x} = \dfrac{1}{2^x} = \dfrac{1}{u}$. Schreiben Sie die Gleichung in Abhängigkeit von $u$ um:

$$ u - \dfrac{6}{u} = 6 $$

$u$ darf nicht null sein (da $2^x > 0$). Multiplizieren Sie alle Terme mit $u$ und vereinfachen Sie:

$$ u \left( u - \dfrac{6}{u} \right) = 6u $$ $$ u^2 - 6 = 6u $$ $$ u^2 - 6u - 6 = 0 $$

Lösen Sie die quadratische Gleichung nach $u$ mithilfe der Mitternachtsformel:

$$ u_1 = 3 + \sqrt{15} \quad \text{und} \quad u_2 = 3 - \sqrt{15} $$

Wir lösen nun nach $x$ auf, indem wir die Substitution $u = 2^x$ verwenden.

Erste Gleichung: $2^x = 3 + \sqrt{15}$

$$ \ln(2^x) = \ln(3 + \sqrt{15}) $$ $$ x \ln(2) = \ln(3 + \sqrt{15}) $$ $$ x = \dfrac{\ln(3 + \sqrt{15})}{\ln 2} \approx 2.78 $$

Zweite Gleichung: $2^x = 3 - \sqrt{15}$. Diese hat keine Lösung, da $3 - \sqrt{15}$ eine negative Zahl ist und $2^x$ streng positiv sein muss.

Wenden Sie den natürlichen Logarithmus ($\ln$) auf beide Seiten der gegebenen Gleichung an:

$$ \ln(5^{x + 1}) = \ln(100 \cdot 3^x) $$

Verwenden Sie die Logarithmusregeln, um zu vereinfachen und die Exponenten nach unten zu bringen:

$$ (x + 1) \ln 5 = \ln 100 + x \ln 3 $$

Multiplizieren Sie die linke Seite aus und fassen Sie alle Terme, die $x$ enthalten, auf einer Seite zusammen:

$$ x \ln 5 + \ln 5 = \ln 100 + x \ln 3 $$ $$ x \ln 5 - x \ln 3 = \ln 100 - \ln 5 $$

Klammern Sie $x$ aus und lösen Sie:

$$ x (\ln 5 - \ln 3) = \ln 100 - \ln 5 $$ $$ x = \dfrac{\ln 100 - \ln 5}{\ln 5 - \ln 3} \approx 5.86 $$

Sei $u = e^x$, was $e^{-x} = \dfrac{1}{u}$ ergibt. Setzen Sie dies in die Gleichung ein:

$$ \dfrac{u - \dfrac{1}{u}}{2} = 3 $$

Multiplizieren Sie beide Seiten mit 2 und vereinfachen Sie:

$$ u - \dfrac{1}{u} = 6 $$

Multiplizieren Sie die gesamte Gleichung mit $u$, um den Bruch aufzulösen:

$$ u^2 - 1 = 6u \implies u^2 - 6u - 1 = 0 $$

Lösen Sie nach $u$ auf, indem Sie die Mitternachtsformel verwenden:

$$ u_1 = 3 + \sqrt{10} \quad \text{und} \quad u_2 = 3 - \sqrt{10} $$

Substituieren Sie nun wieder $u = e^x$.

Erste Gleichung: $e^x = 3 + \sqrt{10}$

$$ \ln(e^x) = \ln(3 + \sqrt{10}) \implies x = \ln(3 + \sqrt{10}) \approx 1.82 $$

Zweite Gleichung: $e^x = 3 - \sqrt{10}$. Diese hat keine Lösung, da $3 - \sqrt{10} < 0$.

Wenden Sie den natürlichen Logarithmus ($\ln$) auf beide Seiten an:

$$ \ln(3^{2 - 3x}) = \ln(4^{2x + 1}) $$

Verwenden Sie die Logarithmusregeln, um die Exponenten nach vorne zu bringen:

$$ (2 - 3x)\ln 3 = (2x + 1)\ln 4 $$

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung aus und gruppieren Sie die Terme mit $x$:

$$ 2\ln 3 - 3x\ln 3 = 2x\ln 4 + \ln 4 $$ $$ 2\ln 3 - \ln 4 = 3x\ln 3 + 2x\ln 4 $$ $$ x(3\ln 3 + 2\ln 4) = 2\ln 3 - \ln 4 $$ $$ x = \dfrac{2\ln 3 - \ln 4}{3\ln 3 + 2\ln 4} \approx 0.13 $$

Beachten Sie, dass $9^x = (3^2)^x = 3^{2x} = (3^x)^2$. Schreiben Sie die gegebene Gleichung damit um und zerlegen Sie $3^{x+1}$ in $3 \cdot 3^x$:

$$ (3^x)^2 - 3 \cdot 3^x + 2 = 0 $$

Setzen Sie $u = 3^x$ und schreiben Sie die Gleichung in eine quadratische Standardform in Abhängigkeit von $u$ um:

$$ u^2 - 3u + 2 = 0 $$

Lösen Sie nach $u$ auf, indem Sie faktorisieren:

$$ (u - 2)(u - 1) = 0 $$

Dies liefert zwei Lösungen für $u$: $u_1 = 2$ und $u_2 = 1$. Setzen Sie nun $3^x$ wieder ein.

Erste Gleichung: $3^x = 2$

$$ \ln(3^x) = \ln 2 \implies x \ln 3 = \ln 2 \implies x = \dfrac{\ln 2}{\ln 3} \approx 0.63 $$

Zweite Gleichung: $3^x = 1$. Der einzige Exponent, der 1 ergibt, ist 0, also $x = 0$.

1. Basis vereinheitlichen:
Drücken Sie $4^x$ als $(2^2)^x = (2^x)^2$ aus. Zerlegen Sie $2^{x+2}$ mithilfe der Potenzgesetze: $2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$.

$$ (2^x)^2 - 4(2^x) - 32 = 0 $$

2. Substituieren:
Setzen Sie $u = 2^x$. Die Gleichung wird zu einer einfachen quadratischen Gleichung:

$$ u^2 - 4u - 32 = 0 $$

3. Faktorisieren und nach $u$ auflösen:
Wir suchen zwei Zahlen, deren Produkt $-32$ und deren Summe $-4$ ergibt. Diese sind $-8$ und $+4$.

$$ (u - 8)(u + 4) = 0 $$

Dies ergibt $u = 8$ oder $u = -4$.

4. Nach $x$ auflösen:
Substituieren Sie $2^x$ wieder für $u$.

• Fall 1: $2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies \mathbf{x = 3}$
• Fall 2: $2^x = -4$. Dies hat keine Lösung, da $2^x$ streng positiv sein muss.

Die einzige Lösung ist $\mathbf{x = 3}$.

Für eine Gleichung der Form $A^B = 1$ gibt es drei verschiedene mathematische Bedingungen, unter denen dies wahr ist. Wir verwenden eine Tabelle, um systematisch alle drei Fälle zu prüfen.

Bedingung für $A^B = 1$	Anwendung auf $x^{x^2 - 5x + 6} = 1$
Fall 1: Die Basis ist 1 ($A = 1$, $B$ kann beliebig sein)	Setzen Sie die Basis gleich 1: $x = 1$. (Probe: $1^{(1-5+6)} = 1^2 = 1$. Gültig.) Lösung: $x = 1$
Fall 2: Der Exponent ist 0 ($B = 0$, $A \neq 0$)	Setzen Sie den Exponenten gleich 0: $x^2 - 5x + 6 = 0$ $(x - 2)(x - 3) = 0 \implies x = 2, x = 3$. (Basen prüfen: Keine Basis ist 0. Gültig.) Lösungen: $x = 2, x = 3$
Fall 3: Die Basis ist -1 ($A = -1$ und $B$ muss eine gerade ganze Zahl sein)	Setzen Sie die Basis gleich -1: $x = -1$. Überprüfen Sie nun, ob der Exponent gerade ist, wenn $x = -1$: $B = (-1)^2 - 5(-1) + 6 = 1 + 5 + 6 = 12$. Da 12 gerade ist, gilt $(-1)^{12} = 1$. Gültig. Lösung: $x = -1$

Gesamte Lösungsmenge:
Die vollständige Menge der reellen Lösungen ist $\mathbf{x \in \{-1, 1, 2, 3\}}$.

1. Linke Seite zusammenfassen:
Da sowohl 2 als auch 5 mit genau demselben Exponenten potenziert werden, können wir die Regel $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ anwenden, um sie zusammenzufassen:

$$ (2 \cdot 5)^{3x} = 10000^{x-1} $$ $$ 10^{3x} = 10000^{x-1} $$

2. Gemeinsame Basis schaffen:
Erkennen Sie, dass 10000 eine Zehnerpotenz ist. Genauer gesagt, $10000 = 10^4$. Setzen Sie dies auf der rechten Seite ein:

$$ 10^{3x} = (10^4)^{x-1} $$

3. Exponenten multiplizieren:
Verwenden Sie die Potenzregel $(x^m)^n = x^{mn}$:

$$ 10^{3x} = 10^{4(x-1)} $$ $$ 10^{3x} = 10^{4x - 4} $$

4. Gleichsetzen und lösen:
Da die Basen gleich sind, müssen auch die Exponenten gleich sein:

$$ 3x = 4x - 4 $$ $$ 3x - 4x = -4 $$ $$ -x = -4 \implies \mathbf{x = 4} $$