Lösung
Beachten Sie, dass 27, 9 und 3 als Potenzen von 3 geschrieben werden können wie folgt:
27 = 33 , 9 = 32 und 3 = 31
Verwenden Sie das Obige und auch die Formel für den negativen Exponenten
um die gegebene Gleichung wie folgt umzuschreiben:
(33)2x (3-2)x - 2 = (32)-x (3-1)2 - x
Verwenden Sie nun die Formel (xm)n = x m n, um die obige Gleichung wie folgt umzuschreiben.
36x 3-2x + 4 = 3-2x 3- 2 + x
Verwenden Sie die Formel xm xn = xm + n, um die Gleichung wie folgt umzuschreiben
36x- 2x + 4 = 3- 2x - 2 + x
Vereinfachen Sie die Exponenten, um zu erhalten
34x + 4 = 3- x - 2
Verwenden Sie die Tatsache, dass eine exponentielle Funktion der Form ax eine eineindeutige Funktion ist, was bedeutet, dass, wenn 3m = 3n, dann m = n ist, um eine algebraische Gleichung mit der obigen Gleichung zu schreiben:
4x + 4 = - x - 2
Lösen Sie die obige Gleichung nach x, um die Lösung der gegebenen Gleichung zu erhalten.
5x = - 6 ergibt die Lösung x = - 6 / 5 = - 1,2
Unten wird der Graph der linken Seite der gegebenen Gleichung gezeigt, wenn sie mit der rechten Seite gleich null geschrieben wird:
Der x-Achsenabschnitt ist eine Annäherung an die analytische Lösung oben. Überprüfen Sie, ob sie nahe beieinander liegen.
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Lösung
Beachten Sie, dass √(16x) = (16x)1/2 = 16(1/2)x und verwenden Sie es, um die gegebene Gleichung wie folgt umzuschreiben:
16(1/2)x = (1/2)x2-1
Beachten Sie, dass 1/2 = 2-1 und 16 = 24 und verwenden Sie es, um die obige Gleichung wie folgt umzuschreiben
(24)(1/2)x = (2-1)x2-1
Verwenden Sie die Formel (xm)n = x m n, um die obige Gleichung wie folgt umzuschreiben
22x = 2-x2 + 1
Verwenden Sie die Tatsache, dass eine exponentielle Funktion der Form ax eine eineindeutige Funktion ist, um zu schreiben.
2x = - x2 + 1
Schreiben Sie die obige quadratische Gleichung in Normalform und lösen Sie sie.
x2 + 2x - 1 = 0
Δ = 22 - 4 (1)(-1) = 8
Zwei Lösungen: x1 = - 1 - √ 2 ≈ -2,41 und x2 = - 1 + √ 2 ≈ 0,41
Der Graph der linken Seite der gegebenen Gleichung, wenn sie mit der rechten Seite gleich null geschrieben wird, ist wie folgt dargestellt:
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2 x - 6 · 2 - x = 6 ?
Lösung
Sei u = 2x, was auch 1/u = 2- x ergibt, und schreiben Sie die Gleichung in Bezug auf u um.
u - 6/u = 6
u kann nicht null sein (weil 2x nicht kleiner oder gleich null sein kann), wir multiplizieren daher alle Terme der obigen Gleichung mit u und vereinfachen
u(u - 6/u) = 6 u
u2 - 6 = 6 u
u2 - 6u - 6 = 0
Lösen Sie für u
Δ = (-6)2 - 4(1)(-6) = 60
Zwei Lösungen: u1 = 3 + √15 und u2 = 3 - √15
Jetzt lösen wir für x unter Verwendung der obigen Substitution u = 2x.
Erste Gleichung: 2x = 3 + √15
ln(2x) = ln(3 + √15)
x ln(2) = ln(3 + √15)
Lösung: x = ln(3 + √15) / ln 2 ≈ 2,78
Zweite Gleichung: 2x = 3 - √15 hat keine Lösung, weil 3 - √15 kleiner als null ist.
Unten wird der Graph der linken Seite der gegebenen Gleichung gezeigt, wenn sie mit der rechten Seite gleich null geschrieben wird: 2 x - 6 · 2 - x - 6 = 0 . Der x-Achsenabschnitt ist eine Annäherung an die Lösung der gefundenen analytischen Lösung.
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5 x+1 = 100 · 3x
Lösung
Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus (ln) beider Seiten
ln (5x + 1) = ln (100 ⋅ 3x )
Verwenden Sie Logarithmusregeln zur Vereinfachung.
(x + 1) ln 5 = ln 100 + x ln 3
Erweitern Sie die linke Seite und gruppieren Sie die Terme mit x.
x ln 5 + ln 5 = ln 100 + x ln 3
x (ln 5 - ln 3) = ln 100 - ln 5
x = (ln 100 - ln 5) / (ln 5 - ln 3) ≈ 5,86
Unten wird der Graph der linken Seite der gegebenen Gleichung gezeigt, wenn sie mit der rechten Seite gleich null geschrieben wird: 5 x+1 - 100 · 3x = 0 . Der x-Achsenabschnitt ist eine Annäherung an die Lösung der gefundenen analytischen Lösung.
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Lösung
Sei u = ex, was auch 1/u = e- x ergibt, und schreiben Sie die Gleichung in u. (u = ex kann nicht kleiner oder gleich null sein)
(u - 1/u) / 2 = 3
Multiplizieren Sie beide Seiten mit 2 und vereinfachen Sie
u - 1 / u = 6
Multiplizieren Sie beide Seiten mit u und vereinfachen Sie
u2 - 1 = 6 u
u2 - 6u - 1 = 0
Lösen Sie für u
Δ = (-6)2 - 4(1)(-1) = 40
Zwei Lösungen: u1 = 3 + √10 und u2 = 3 - √10
Jetzt lösen wir für x unter Verwendung der obigen Substitution u = ex.
Erste Gleichung: ex = 3 + √10
ln(ex) = ln(3 + √10)
Lösung: x = ln(3 + √10) ≈ 1,82
Zweite Gleichung: ex = 3 - √10 hat keine Lösung, weil 3 - √10 kleiner als null ist.
Unten wird der Graph der linken Seite der gegebenen Gleichung gezeigt, wenn sie mit der rechten Seite gleich null geschrieben wird:
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3 2 - 3x = 4 2x + 1
Lösung
Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus (ln) beider Seiten
ln (32 - 3x) = ln (42x + 1)
Verwenden Sie Logarithmusregeln zur Vereinfachung.
(2 - 3x) ln 3 = (2x + 1) ln 4
Erweitern Sie beide Seiten der Gleichung und gruppieren Sie die Terme mit x.
2 ln 3 - 3 x ln 3 = 2 x ln 4 + ln 4
x (-3 ln 3 - 2 ln 4) = ln 4 - 2 ln 3
x = (2 ln 3 - ln 4) / (3 ln 3 + 2 ln 4) ≈ 0,13
Unten wird der Graph der linken Seite der gegebenen Gleichung gezeigt, wenn sie mit der rechten Seite gleich null geschrieben wird: 3 2 - 3x - 4 2x + 1 = 0. Der x-Achsenabschnitt ist eine Annäherung an die Lösung der gefundenen analytischen Lösung.
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9 x - 3 x + 1 + 2 = 0
Lösung
Beachten Sie, dass
9x = (32)x = 32 x = (3x)2
Schreiben Sie die gegebene Gleichung mit 9x = (3x)2 und auch 3x + 1 = 3⋅3x um
(3x)2 - 3⋅3x + 2 = 0
Setzen Sie u = 3x und schreiben Sie die Gleichung in u.
u2 - 3 u + 2 = 0
Lösen Sie u durch Faktorisierung
(u - 2)(u - 1) = 0
Zwei Lösungen: u1 = 2 und u2 = 1
Jetzt lösen wir für x unter Verwendung der obigen Substitution u = 3x.
Erste Gleichung: 3x = 2
ln( 3x) = ln 2
Lösung: x = ln 2 / ln 3 ≈ 0,63
Zweite Gleichung: 3x = 1 , Lösung x = 0.
Unten wird der Graph der linken Seite der gegebenen Gleichung gezeigt. Die x-Achsenabschnitte sind Annäherungen an die analytischen Lösungen, die oben gefunden wurden.
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