Lernen Sie, wie man die Sinus- und Kosinusfunktionen der allgemeinen Formen \[ y = a \sin\bigl(k (x - d)\bigr) + c \quad \text{und} \quad y = a \cos\bigl(k (x - d)\bigr) + c \] mit klaren Erklärungen, Schritt-für-Schritt-Beispielen und detaillierten Lösungen. Diese Einführung behandelt Schlüsselkonzepte wie Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikale Verschiebung, um Ihnen das Zeichnen trigonometrischer Funktionen zu erleichtern.
Amplitude = \( |a| \)
Periode = \( \dfrac{2\pi}{|k|} \)
Horizontale Verschiebung = \( d \), nach links, wenn \(-d\) positiv ist, und nach rechts, wenn \(-d\) negativ ist.
Vertikale Verschiebung = \( c \), nach oben, wenn \(c\) positiv ist, und nach unten, wenn \(c\) negativ ist.
Um transformierte Sinus- und Kosinusfunktionen zu zeichnen, müssen wir wissen, wie man die grundlegenden Sinus- und Kosinusfunktionen skizziert. Der Einheitskreis (Radius = 1) liefert die Werte von \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\) an 5 Schlüsselpunkten, die verwendet werden können, um komplexere Sinus- und Kosinusfunktionen zu zeichnen. Die Koordinaten jedes Punktes auf dem Einheitskreis ergeben den Kosinus und Sinus des Winkels in Normalstellung, der diesem Punkt entspricht.
Der Winkel in Normalstellung \(x = 0\) entspricht dem Punkt \[ (1, 0) = (\cos(0), \sin(0)) \]
Der Winkel in Normalstellung \(x = \pi/2\) (oder 90°) entspricht dem Punkt \[ (0, 1) = (\cos(\pi/2), \sin(\pi/2)) \]
Der Winkel in Normalstellung \(x = \pi\) (oder 180°) entspricht dem Punkt \[ (-1, 0) = (\cos(\pi), \sin(\pi)) \]
Der Winkel in Normalstellung \(x = 3\pi/2\) (oder 270°) entspricht dem Punkt \[ (0, -1) = (\cos(3\pi/2), \sin(3\pi/2)) \]
Der Winkel in Normalstellung \(x = 2\pi\) (oder 360°) entspricht dem Punkt \[ (1, 0) = (\cos(2\pi), \sin(2\pi)) \] wie unten gezeigt.
Zeichnen Sie den Graphen von \[ y = 2 \cos(x) + 1 \] über eine Periode.
Amplitude = \( |2| = 2 \)
Periode = \( 2\pi \)
Vertikale Verschiebung = \( 1 \), um 1 Einheit nach oben.
Horizontale Verschiebung = \( 0 \)
Drei Schritte zum Zeichnen der Funktion \( y = 2 \cos(x) + 1 \)
1) Wir beginnen mit dem Zeichnen von \[ y = \cos(x) \] unter Verwendung der Werte von \( x \) und \( y \) aus dem Einheitskreis (blauer Graph unten).
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \dfrac{\pi}{2} & \pi & \dfrac{3\pi}{2} & 2\pi \\ \hline y & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \hline \end{array} \]2) Dann zeichnen wir \( y = 2 \cos(x) \), indem wir \( y = \cos(x) \) um den Faktor 2 strecken (grüner Graph unten).
3) und schließlich \( y = 2 \cos(x) + 1 \), indem wir den Graphen um 1 Einheit nach oben verschieben (roter Graph unten).
Zeichnen Sie den Graphen von \[ y = - 2 \sin(x) - 1 \] über eine Periode.
Amplitude = \( |-2| = 2 \)
Periode = \( 2\pi \)
Vertikale Verschiebung = \( -1 \), um 1 Einheit nach unten.
Horizontale Verschiebung = \( 0 \)
Drei Schritte zum Zeichnen der Funktion \( y = - 2 \sin(x) - 1 \)
1) Wir beginnen mit dem Zeichnen von \( y = \sin(x) \) unter Verwendung der Werte von \( x \) und \( y \) aus dem Einheitskreis (blauer Graph unten).
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \dfrac{\pi}{2} & \pi & \dfrac{3\pi}{2} & 2\pi \\ \hline y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ \hline \end{array} \]2) Dann zeichnen wir \( y = - 2 \sin(x) \), indem wir \( y = \sin(x) \) um den Faktor 2 strecken und ihn an der x-Achse spiegeln (grüner Graph unten).
3) und schließlich zeichnen wir \( y = - 2 \sin(x) - 1 \), indem wir den Graphen um 1 Einheit nach unten verschieben (roter Graph unten).
Zeichnen Sie den Graphen von \( y = 3 \cos(2x + \dfrac{\pi}{3}) - 1 \) über eine Periode.
Parameter beim Zeichnen
Amplitude = \( |3| = 3 \)
Periode = \( \dfrac{2\pi}{2} = \pi \)
Vertikale Verschiebung = \( -1 \), um 1 Einheit nach unten.
Horizontale Verschiebung: Aufgrund des Terms \( \dfrac{\pi}{3} \) wird der Graph horizontal verschoben. Wir schreiben die gegebene Funktion zunächst um als: \( y = 3 \cos\left[ 2\left( x + \dfrac{\pi}{6} \right) \right] - 1 \) und wir können die Verschiebung nun als gleich \( \dfrac{\pi}{6} \) nach links angeben.
Drei Schritte zum Zeichnen der Funktion \( y = 3 \cos(2x + \dfrac{\pi}{3}) - 1 \)
1) Wir beginnen mit dem Zeichnen von \( 3 \cos(2x) \) mit Minimal- und Maximalwerten -3 und +3 über eine Periode \( = \pi \) (blauer Graph unten).
2) Dann zeichnen wir \( y = 3 \cos(2x) - 1 \), indem wir den vorherigen Graphen um 1 Einheit nach unten verschieben (grüner Graph unten).
3) Wir verschieben nun den vorherigen Graphen um \( \dfrac{\pi}{6} \) nach links (roter Graph unten), so dass die gezeichnete Periode bei \( -\dfrac{\pi}{6} \) beginnt und bei \( -\dfrac{\pi}{6} + \pi = \dfrac{5\pi}{6} \) endet, was einer Periode \( = \pi \) entspricht.
Zeichnen Sie den Graphen von \[ y = -0.2 \sin\left(0.5x - \dfrac{\pi}{6} \right) + 0.1 \] über eine Periode.
Parameter beim Zeichnen
Amplitude = \( | -0.2 | = 0.2 \)
Periode = \( \dfrac{2\pi}{0.5} = 4\pi \)
Vertikale Verschiebung = 0.1, um 0.1 Einheit nach oben.
Horizontale Verschiebung: Aufgrund des Terms \(- \dfrac{\pi}{6}\) wird der Graph horizontal verschoben. Wir schreiben die gegebene Funktion zunächst um als:
\[ y = -0.2 \sin\left( 0.5(x - \dfrac{\pi}{3}) \right) + 0.1 \]
und wir können die Verschiebung nun als gleich \(\dfrac{\pi}{3}\) nach rechts angeben.
Drei Schritte zum Zeichnen der Funktion \( y = -0.2 \sin\left(0.5x - \dfrac{\pi}{6} \right) + 0.1 \)
1) Wir beginnen mit dem Zeichnen von \[ y = -0.2 \sin(0.5x) \] mit Minimal- und Maximalwerten \(-0.2\) und \(0.2\) über eine Periode \[ = 4\pi \] (blauer Graph unten).
2) Dann zeichnen wir \[ y = -0.2 \sin(0.5x) + 0.1 \], indem wir den vorherigen Graphen um 0,1 Einheiten nach oben verschieben (grüner Graph unten).
3) Dann verschieben wir den vorherigen Graphen um \(\dfrac{\pi}{3}\) nach rechts (roter Graph unten), so dass die gezeichnete Periode bei \(\dfrac{\pi}{3}\) beginnt und bei \(\dfrac{\pi}{3} + 4\pi\) endet, was einer Periode \[ = 4\pi \] entspricht.
Zeichnen Sie den Graphen von \[ y = 2 \cos(2x - 60^\circ) - 2 \] über eine Periode.
Parameter beim Zeichnen
Amplitude = \(\left| 2 \right| = 2\)
Vertikale Verschiebung = \(-2\), um 2 Einheiten nach unten.
Periode = \(\dfrac{360^\circ}{2} = 180^\circ\)
Horizontale Verschiebung: Aufgrund des Terms \(-60^\circ\) wird der Graph horizontal verschoben. Wir schreiben die gegebene Funktion zunächst um als \[ y = 2 \cos\left[ 2 \left( x - 30^\circ \right) \right] - 2 \] und wir können die Verschiebung nun als gleich \(30^\circ\) nach rechts angeben.
Drei Schritte zum Zeichnen der Funktion \( y = 2 \cos(2x - 60^\circ) - 2 \)
1) Wir beginnen mit dem Zeichnen von \[ y = 2 \cos(2x) \] mit Minimal- und Maximalwerten \(-2\) und \(+2\) über eine Periode \(= 180^\circ\) (blauer Graph unten).
2) Dann zeichnen wir \[ y = 2 \cos(2x) - 2 \] indem wir den vorherigen Graphen um 2 Einheiten nach unten verschieben (grüner Graph unten).
3) Schließlich verschieben wir den vorherigen Graphen um \(30^\circ\) nach rechts (roter Graph unten), so dass die gezeichnete Periode bei \(30^\circ\) beginnt und bei \[ 30^\circ + 180^\circ = 210^\circ \] endet, was einer Periode \(= 180^\circ\) entspricht.
Zeichnen Sie den Graphen von \[ y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{\pi}{3}\right) - 1 \] über eine Periode.
Amplitude = \(|-2| = 2\)
Periode = \(\dfrac{2\pi}{\dfrac{1}{3}} = 6\pi\)
Vertikale Verschiebung = \(-1\), um 1 Einheit nach unten.
Horizontale Verschiebung: Aufgrund des Terms \(\dfrac{\pi}{3}\) wird der Graph horizontal verschoben. Wir schreiben die gegebene Funktion zunächst um als: \[ y = -2 \sin\left(\dfrac{1}{3}(x + \pi)\right) - 1 \] und wir können die Verschiebung nun als gleich \(\pi\) nach links angeben.
Drei Schritte zum Zeichnen der Funktion \( y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{\pi}{3}\right) - 1 \)
1) Wir beginnen mit dem Zeichnen von \(-2 \sin\left(\dfrac{x}{3}\right)\) mit Minimal- und Maximalwerten \(-2\) und \(+2\) über eine Periode \(= 6 \pi\) (blauer Graph unten).
2) Dann zeichnen wir \[ y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) - 1 \] indem wir den vorherigen Graphen um 1 Einheit nach unten verschieben (grüner Graph unten).
3) Dann verschieben wir den vorherigen Graphen um \(\pi\) nach links (roter Graph unten), so dass die gezeichnete Periode bei \(-\pi\) beginnt und bei \(5\pi\) endet, was einer Periode \(= 6\pi\) entspricht.
