Sinus- und Kosinusfunktionen zeichnen

Skizzieren Sie den Graphen von $y = 2 \cos(x) + 1$ über eine Periode.

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Lösung:

Grafische Parameter

• Amplitude: $|2| = 2$
• Periode: $2\pi$
• Vertikale Verschiebung: $1$ (1 Einheit nach oben)
• Horizontale Verschiebung: $0$

Drei Schritte zum Zeichnen der Funktion $y = 2 \cos(x) + 1$:

1) Wir beginnen mit dem Skizzieren von $y = \cos(x)$ unter Verwendung der Werte von $x$ und $y$ aus dem Einheitskreis (blauer Graph unten).

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \dfrac{\pi}{2} & \pi & \dfrac{3\pi}{2} & 2\pi \\ \hline y & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \hline \end{array} $$

2) Dann skizzieren wir $y = 2 \cos(x)$, indem wir $y = \cos(x)$ um den Faktor 2 strecken (grüner Graph unten).

3) Zum Schluss zeichnen wir $y = 2 \cos(x) + 1$, indem wir den Graphen um 1 Einheit nach oben verschieben (roter Graph unten).

Skizzieren Sie den Graphen von $y = - 2 \sin(x) - 1$ über eine Periode.

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Lösung:

Grafische Parameter

• Amplitude: $|-2| = 2$
• Periode: $2\pi$
• Vertikale Verschiebung: $-1$ (1 Einheit nach unten)
• Horizontale Verschiebung: $0$

Drei Schritte zum Zeichnen der Funktion $y = - 2 \sin(x) - 1$:

1) Wir beginnen mit dem Skizzieren von $y = \sin(x)$ unter Verwendung der Werte von $x$ und $y$ aus dem Einheitskreis (blauer Graph unten).

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \dfrac{\pi}{2} & \pi & \dfrac{3\pi}{2} & 2\pi \\ \hline y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ \hline \end{array} $$

2) Dann skizzieren wir $y = - 2 \sin(x)$, indem wir $y = \sin(x)$ um den Faktor 2 strecken und an der x-Achse spiegeln (grüner Graph unten).

3) Zum Schluss zeichnen wir $y = - 2 \sin(x) - 1$, indem wir den Graphen um 1 Einheit nach unten verschieben (roter Graph unten).

Skizzieren Sie den Graphen von $y = 3 \cos(2x + \dfrac{\pi}{3}) - 1$ über eine Periode.

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Lösung:

Grafische Parameter

• Amplitude: $|3| = 3$
• Periode: $\dfrac{2\pi}{2} = \pi$
• Vertikale Verschiebung: $-1$ (1 Einheit nach unten)

Horizontale Verschiebung: Aufgrund des Terms $\dfrac{\pi}{3}$ ist der Graph horizontal verschoben. Wir schreiben die gegebene Funktion zunächst um als:
$$ y = 3 \cos\left[ 2\left( x + \dfrac{\pi}{6} \right) \right] - 1 $$
und wir können die Verschiebung nun als $\dfrac{\pi}{6}$ nach links angeben.

Drei Schritte zum Zeichnen der Funktion $y = 3 \cos(2x + \dfrac{\pi}{3}) - 1$:

1) Wir beginnen mit dem Skizzieren von $3 \cos(2x)$ mit Minimal- und Maximalwerten von -3 und +3 über eine Periode $= \pi$ (blauer Graph unten).

2) Dann skizzieren wir $y = 3 \cos(2x) - 1$, indem wir den vorherigen Graphen um 1 Einheit nach unten verschieben (grüner Graph unten).

3) Nun verschieben wir den vorherigen Graphen um $\dfrac{\pi}{6}$ nach links (roter Graph unten), sodass die skizzierte Periode bei $-\dfrac{\pi}{6}$ beginnt und bei $-\dfrac{\pi}{6} + \pi = \dfrac{5\pi}{6}$ endet, was einer Periode $= \pi$ entspricht.

Skizzieren Sie den Graphen von $y = -0.2 \sin\left(0.5x - \dfrac{\pi}{6} \right) + 0.1$ über eine Periode.

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Lösung:

Grafische Parameter

• Amplitude: $|-0.2| = 0.2$
• Periode: $\dfrac{2\pi}{0.5} = 4\pi$
• Vertikale Verschiebung: $0.1$ (0.1 Einheit nach oben)

Horizontale Verschiebung: Aufgrund des Terms $- \dfrac{\pi}{6}$ ist der Graph horizontal verschoben. Wir schreiben die gegebene Funktion zunächst um als:
$$ y = -0.2 \sin\left( 0.5\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) \right) + 0.1 $$
und wir können die Verschiebung nun als $\dfrac{\pi}{3}$ nach rechts angeben.

Drei Schritte zum Zeichnen der Funktion $y = -0.2 \sin\left(0.5x - \dfrac{\pi}{6} \right) + 0.1$:

1) Wir beginnen mit dem Skizzieren von $y = -0.2 \sin(0.5x)$ mit Minimal- und Maximalwerten von $-0.2$ und $0.2$ über eine Periode $= 4\pi$ (blauer Graph unten).

2) Dann skizzieren wir $y = -0.2 \sin(0.5x) + 0.1$, indem wir den vorherigen Graphen um 0.1 Einheiten nach oben verschieben (grüner Graph unten).

3) Danach verschieben wir den vorherigen Graphen um $\dfrac{\pi}{3}$ nach rechts (roter Graph unten), sodass die skizzierte Periode bei $\dfrac{\pi}{3}$ beginnt und bei $\dfrac{\pi}{3} + 4\pi$ endet, was einer Periode $= 4\pi$ entspricht.

Skizzieren Sie den Graphen von $y = 2 \cos(2x - 60^\circ) - 2$ über eine Periode.

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Lösung:

Grafische Parameter

• Amplitude: $|2| = 2$
• Periode: $\dfrac{360^\circ}{2} = 180^\circ$
• Vertikale Verschiebung: $-2$ (2 Einheiten nach unten)

Horizontale Verschiebung: Aufgrund des Terms $-60^\circ$ ist der Graph horizontal verschoben. Wir schreiben die gegebene Funktion zunächst um als:
$$ y = 2 \cos\left[ 2 \left( x - 30^\circ \right) \right] - 2 $$
und wir können die Verschiebung nun als $30^\circ$ nach rechts angeben.

Drei Schritte zum Zeichnen der Funktion $y = 2 \cos(2x - 60^\circ) - 2$:

1) Wir beginnen mit dem Skizzieren von $y = 2 \cos(2x)$ mit Minimal- und Maximalwerten von $-2$ und $+2$ über eine Periode $= 180^\circ$ (blauer Graph unten).

2) Dann skizzieren wir $y = 2 \cos(2x) - 2$, indem wir den vorherigen Graphen um 2 Einheiten nach unten verschieben (grüner Graph unten).

3) Zum Schluss verschieben wir den vorherigen Graphen um $30^\circ$ nach rechts (roter Graph unten), sodass die skizzierte Periode bei $30^\circ$ beginnt und bei $30^\circ + 180^\circ = 210^\circ$ endet, was einer Periode $= 180^\circ$ entspricht.

Skizzieren Sie den Graphen von $y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{\pi}{3}\right) - 1$ über eine Periode.

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Lösung:

Grafische Parameter

• Amplitude: $|-2| = 2$
• Periode: $\dfrac{2\pi}{\dfrac{1}{3}} = 6\pi$
• Vertikale Verschiebung: $-1$ (1 Einheit nach unten)

Horizontale Verschiebung: Aufgrund des Terms $\dfrac{\pi}{3}$ ist der Graph horizontal verschoben. Wir schreiben die gegebene Funktion zunächst um als:
$$ y = -2 \sin\left(\dfrac{1}{3}(x + \pi)\right) - 1 $$
und wir können die Verschiebung nun als $\pi$ nach links angeben.

Drei Schritte zum Zeichnen der Funktion $y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{\pi}{3}\right) - 1$:

1) Wir beginnen mit dem Skizzieren von $-2 \sin\left(\dfrac{x}{3}\right)$ mit Minimal- und Maximalwerten von $-2$ und $+2$ über eine Periode $= 6\pi$ (blauer Graph unten).

2) Dann skizzieren wir $y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) - 1$, indem wir den vorherigen Graphen um 1 Einheit nach unten verschieben (grüner Graph unten).

3) Danach verschieben wir den vorherigen Graphen um $\pi$ nach links (roter Graph unten), sodass die skizzierte Periode bei $-\pi$ beginnt und bei $5\pi$ endet, was einer Periode $= 6\pi$ entspricht.