Die Skizzierung der Sinus- und
Kosinus
funktionen der Form
y = a sin( k ( x - d)) + c und y = a cos( k ( x - d)) + c
wird mit Beispielen einschließlich detaillierter Lösungen besprochen.
Skizzierungsparameter
Amplitude = |a|
Periode = 2π/|k|
Horizontale Verschiebung (Translation) = d , nach links, wenn (- d) positiv ist, und nach rechts, wenn (- d) negativ ist.
Vertikale Verschiebung (Translation) = c , nach oben, wenn c positiv ist, und nach unten, wenn c negativ ist.
Einheitskreis
Um transformierte Sinus- und Kosinusfunktionen zu skizzieren, müssen wir wissen, wie man grundlegende Sinus- und Kosinusfunktionen skizziert. Der Einheitskreis (Radius = 1) gibt die Werte von sin(x) und cos(x) an 5 Schlüsselpunkten an, die verwendet werden können, um komplexere Sinus- und Kosinusfunktionen zu zeichnen. Die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Einheitskreis geben den Kosinus und den Sinus des Winkels in Standardposition an, der diesem Punkt entspricht.
Beispiele
Dem Drehwinkel von 0° entspricht der Punkt (1,0) = (cos(0),sin(0))
Dem Drehwinkel von 90° entspricht der Punkt (0,1) = (cos(90°),sin(90°))
Dem Drehwinkel von 180° entspricht der Punkt (-1,0) = (cos(180°),sin(180°))
Dem Drehwinkel von 270° entspricht der Punkt (0,-1) = (cos(270°), sin(270°))
Dem Drehwinkel von 360° entspricht der Punkt (1,0) = (cos(360°),sin(360°)), wie unten gezeigt.
Skizzierung der Sinus- und Kosinusfunktionen: Beispiele mit detaillierten Lösungen
Beispiel 1
Skizzieren Sie den Graphen von y = 2 cos(x) + 1 über eine Periode.
Lösung Skizzierungsparameter
Amplitude = |2| = 2
Periode = 2π
Vertikale Verschiebung (Translation) = 1 , um 1 Einheit nach oben.
Horizontale Verschiebung (Translation) = 0
Wir beginnen, indem wir y = cos(x) unter Verwendung der Werte von x und y aus dem Einheitskreis zeichnen (blauer Graph unten).
x = 0
π/2
π
3π/2
2π
y = 1
0
-1
0
1
Dann zeichnen wir y = 2 cos(x), indem wir y = cos(x) um den Faktor 2 strecken (grüner Graph unten) und schließlich y = 2 cos(x) + 1, indem wir um 1 Einheit nach oben verschieben (roter Graph unten).
Beispiel 2
Skizzieren Sie den Graphen von y = - 2 sin(x) - 1 über eine Periode.
Lösung Skizzierungsparameter
Amplitude = |-2| = 2
Periode = 2π
Vertikale Verschiebung (Translation) = - 1 , um 1 Einheit nach unten.
Horizontale Verschiebung (Translation) = 0
Wir beginnen, indem wir y = sin(x) unter Verwendung der Werte von x und y aus dem Einheitskreis zeichnen (blauer Graph unten).
x = 0
π/2
π
3π/2
2π
y = 0
1
0
- 1
0
Dann zeichnen wir y = - 2 sin(x), indem wir y = sin(x) um den Faktor 2 strecken und es an der x-Achse spiegeln (grüner Graph unten) und schließlich y = - 2 sin(x) - 1, indem wir um 1 Einheit nach unten verschieben (roter Graph unten).
Beispiel 3
Skizzieren Sie den Graphen von y = 3 cos(2 x + π/3) - 1 über eine Periode.
Lösung Skizzierungsparameter
Amplitude = |3| = 3
Periode = 2π/2 = π
Vertikale Verschiebung (Translation) = - 1, um 1 Einheit nach unten.
Horizontale Verschiebung: Aufgrund des Terms π/3 wird der Graph horizontal verschoben. Wir schreiben die gegebene Funktion zunächst um als: y = 3 cos [2( x + π/6)] - 1 und können die Verschiebung nun als gleich π/6 nach links schreiben.
Wir beginnen mit der Skizzierung von 3 cos(2 x) mit den Minimal- und Maximalwerten - 3 und + 3 über eine Periode = π (blauer Graph unten).
Dann zeichnen wir y = 3 cos(2 x) - 1, indem wir den vorherigen Graphen um 1 Einheit nach unten verschieben (grüner Graph unten). Wir verschieben nun den vorherigen Graphen um π/6 nach links (roter Graph unten), sodass die skizzierte Periode bei - π/6 beginnt und bei - π/6 + π = 5π/6 endet, was einer Periode = π entspricht.
Beispiel 4
Skizzieren Sie den Graphen von y = - 0.2 sin(0.5 x - π/6) + 0.1 über eine Periode.
Lösung Skizzierungsparameter
Amplitude = |- 0.2| = 0.2
Periode = 2π/0.5 = 4π
Vertikale Verschiebung (Translation) = 0.1, um 0.1 Einheit nach oben.
Horizontale Verschiebung: Aufgrund des Terms - π/6 wird der Graph horizontal verschoben. Wir schreiben die gegebene Funktion zunächst um als: y = - 0.2 cos [0.5( x - π/3)] + 0.1 und können die Verschiebung nun als gleich π/3 nach rechts schreiben.
Wir beginnen mit der Skizzierung von - 0.2 sin(0.5 x) mit den Minimal- und Maximalwerten - 0.2 und + - 0.2 über eine Periode = 4 π (blauer Graph unten).
Dann zeichnen wir y = - 0.2 sin(0.5 x) + 0.1, indem wir den vorherigen Graphen um 0.1 Einheit nach oben verschieben (grüner Graph unten). Wir verschieben dann den vorherigen Graphen um π/3 nach rechts (roter Graph unten), sodass die skizzierte Periode bei π/3 beginnt und bei π/3 + 4π endet, was einer Periode = 4π entspricht.
Beispiel 5
Skizzieren Sie den Graphen von y = 2 cos(2 x - 60°) - 2 über eine Periode.
Lösung Skizzierungsparameter
Amplitude = |2| = 2
Vertikale Verschiebung (Translation) = - 2, um 2 Einheiten nach unten.
Periode = 360/2 = 180°
Horizontale Verschiebung: Aufgrund des Terms - 60° wird der Graph horizontal verschoben. Wir schreiben die gegebene Funktion zunächst um als: y = 2 cos[2( x - 30°)] - 2 und können die Verschiebung nun als gleich 30° nach rechts schreiben.
Wir beginnen mit der Skizzierung von y = 2 cos(2 x) mit den Minimal- und Maximalwerten - 2 und + 2 über eine Periode = 180° (blauer Graph unten).
Dann zeichnen wir y = 2 cos(2 x) - 2, indem wir den vorherigen Graphen um 2 Einheiten nach unten verschieben (grüner Graph unten). Wir verschieben dann den vorherigen Graphen um 30° nach rechts (roter Graph unten), sodass die skizzierte Periode bei 30° beginnt und bei 30° + 180° = 210° endet, was einer Periode = 180° entspricht.
Beispiel 6
Skizzieren Sie den Graphen von y = - 2 sin(x/3 + π/3) - 1 über eine Periode.
Lösung Skizzierungsparameter
Amplitude = |- 2| = 2
Periode = 2π/(1/3) = 6π
Vertikale Verschiebung (Translation) = - 1, um 1 Einheit nach unten.
Horizontale Verschiebung: Aufgrund des Terms π/3 wird der Graph horizontal verschoben. Wir schreiben die gegebene Funktion zunächst um als: y = - 2 sin[(1/3)(x + π)] - 1 und können die Verschiebung nun als gleich π nach links schreiben.
Wir beginnen mit der Skizzierung von - 2 sin(x/3) mit den Minimal- und Maximalwerten - 2 und + 2 über eine Periode = 6 π (blauer Graph unten).
Dann zeichnen wir y = - 2 sin(x/3) - 1, indem wir den vorherigen Graphen um 1 Einheit nach unten verschieben (grüner Graph unten). Wir verschieben dann den vorherigen Graphen um π nach links (roter Graph unten), sodass die skizzierte Periode bei -π beginnt und bei 5π endet, was einer Periode = 6π entspricht.
