Gleichungen der quadratischen Form lösen
Erfahren Sie, wie man Gleichungen löst, die mit Substitutionsmethoden in quadratische Gleichungen umgewandelt werden können. Diese Seite bietet Matheaufgaben für die 12. Klasse mit Schritt-für-Schritt-Lösungen und grafischen Interpretationen, um Schülern zu helfen, die Techniken zum Lösen quadratischer Gleichungen zu meistern.
Aufgabe 1
Lösen Sie die Gleichung:
\[
0.1x^4 - 1.3x^2 + 3.6 = 0
\]
Lösung
Setze \( u = x^2 \), was \( u^2 = x^4 \) ergibt, und schreibe die gegebene Gleichung in Bezug auf \( u \) um:
\[
0.1u^2 - 1.3u + 3.6 = 0
\]
Löse die obige quadratische Gleichung, um \( u \) zu finden.
\[
u = 4 \quad \text{und} \quad u = 9
\]
Wir verwenden nun die Substitution \( u = x^2 \), um nach \( x \) aufzulösen.
\[
x = \pm 2, \quad x = \pm 3
\]
Die vier x-Achsenabschnitte des Graphen von \( y = 0.1x^4 - 1.3x^2 + 3.6 \) sind die grafischen Lösungen der Gleichung, wie unten gezeigt.
Aufgabe 2
Lösen Sie die Gleichung:
\[
\sqrt{x} = 3 - \dfrac{1}{4}x
\]
Lösung
Setze \( u = \sqrt{x} \), was \( u^2 = x \) ergibt, und schreibe die Gleichung in Bezug auf \( u \) um:
\[
u = 3 - \dfrac{u^2}{4}
\]
Multipliziere alle Terme mit 4, vereinfache, schreibe die quadratische Gleichung in Standardform und löse:
\[
u^2 + 4u - 12 = 0
\]
\[
u = -6 \quad \text{und} \quad u = 2
\]
Verwende die Substitution \( u = \sqrt{x} \), um nach \( x \) aufzulösen.
\[
u = -6 \Rightarrow \text{keine Lösung}, \quad u = 2 \Rightarrow x = 4
\]
Der x-Achsenabschnitt des Graphen ist die grafische Lösung der Gleichung, wie unten gezeigt.
Aufgabe 3
Lösen Sie die Gleichung:
\[
\left(3 - \dfrac{4}{x}\right)^2 - 6\left(3 - \dfrac{4}{x}\right) = 16
\]
Lösung
Setze \( y = 3 - \dfrac{4}{x} \), was \( y^2 = \left(3 - \dfrac{4}{x}\right)^2 \) ergibt, und schreibe die Gleichung in Bezug auf \( y \) um:
\[
y^2 - 6y = 16
\]
Vereinfache und löse:
\[
y^2 - 6y - 16 = 0
\]
\[
y = -2 \quad \text{und} \quad y = 8
\]
Löse nach \( x \) auf.
\[
y = - 2, \text{ergibt die Gleichung in x: } \quad 3 - \dfrac{4}{x} = -2 \Rightarrow x = \dfrac{4}{5}
\]
\[
y = 8, \text{ergibt die Gleichung in x: } \quad 3 - \dfrac{4}{x} = 8 \Rightarrow x = -\dfrac{4}{5}
\]
Die x-Achsenabschnitte des Graphen sind die grafischen Lösungen der Gleichung, wie unten gezeigt.
Aufgabe 4
Lösen Sie die Gleichung:
\[
2(x - 1)^{2/3} + 3(x - 1)^{1/3} - 2 = 0
\]
Lösung
Setze \( y = (x - 1)^{1/3} \), was \( y^2 = (x - 1)^{2/3} \) ergibt, und schreibe die Gleichung in Bezug auf \( y \) um:
\[
2y^2 + 3y - 2 = 0
\]
\[
y = -2 \quad \text{und} \quad y = \dfrac{1}{2}
\]
Löse nach \( x \) auf.
\[
(x - 1)^{1/3} = -2 \Rightarrow x = -7, \quad (x - 1)^{1/3} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{9}{8}
\]
Die x-Achsenabschnitte des Graphen sind die grafischen Lösungen der Gleichung, wie unten gezeigt.
Aufgabe 5
Finden Sie alle reellen Lösungen für die Gleichung:
\[
2\left(\dfrac{2}{x - 3}\right)^2 - \dfrac{2}{x - 3} - 3 = 0
\]
Lösung
Setze \( u = \dfrac{2}{x - 3} \), was \( u^2 = \left(\dfrac{2}{x - 3}\right)^2 \) ergibt, und schreibe die Gleichung in Bezug auf \( u \) um:
\[
2u^2 - u - 3 = 0
\]
\[
u = -1 \quad \text{und} \quad u = \dfrac{3}{2}
\]
Löse nach \( x \) auf.
\[
\dfrac{2}{x - 3} = -1 \Rightarrow x = 1, \quad \dfrac{2}{x - 3} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow x = \dfrac{13}{3}
\]
Die x-Achsenabschnitte des Graphen sind die grafischen Lösungen der Gleichung, wie unten gezeigt.
Weitere Referenzen und Links