Lösungen zu Fragen zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV)

Ausführliche Lösungen und Erklärungen zu den Fragen zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen werden vorgestellt.

Ein Rechner für das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV), mit dem Antworten überprüft werden können.

Beantworten Sie die folgenden Fragen


  1. Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von 5 und 15.
    Lösung
    Die Primfaktorzerlegung von 5 und 15 ist:
    5 = 5
    15 = 3 × 5
    Das kgV ergibt sich aus dem Produkt aller Primzahlen in der Primfaktorzerlegung mit der höchsten Potenz. Daher
    kgV von 5 und 15 = 5 1 × 3 1 = 15

  2. Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von 8, 12 und 18.
    Lösung
    Die Primfaktorzerlegung von 8, 12 und 18 ist:
    8 = 2 × 2 × 2 = 2 3
    12 = 2 × 2 × 3 = 2 2 × 3
    18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3 2
    Das kgV ergibt sich aus dem Produkt aller Primzahlen in der Primfaktorzerlegung mit der höchsten Potenz.
    kgV von 8, 12 und 18 = 2 3 × 3 2 = 72

  3. Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von 70 und 90.
    Lösung
    Die Primfaktorzerlegung von 70 und 90 ist:
    70 = 2 × 5 × 7 = 2 × 5 × 7
    90 = 2 × 3 × 3 × 5 = 2 × 3 2 × 5
    Das kgV ergibt sich aus dem Produkt aller Primzahlen in der Primfaktorzerlegung mit der höchsten Potenz.
    kgV von 70 und 90 = 2 × 5 × 7 × 3 2 = 630

  4. Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 180, 216 und 450?
    Die Primfaktorzerlegung von 180, 216 und 450:
    180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2 2 × 3 2 × 5
    216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 2 3 × 3 3
    450 = 2 × 3 × 3 × 5 × 5 = 2 × 3 2 × 5 2
    Das kgV ergibt sich aus dem Produkt aller Primzahlen in der Primfaktorzerlegung mit der höchsten Potenz.
    kgV von 180, 216 und 450 = 2 3 × 3 3 × 5 2 = 5400

  5. a) Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) und den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von 12 und 16 und vergleichen Sie die Produkte kgV(12,16)×ggT(12,16) und 12×16.
    b) Finden Sie kgV und ggT von 30 und 45 und vergleichen Sie die Produkte kgV(30,45)×ggT(30,45) und 30×45.
    c) Finden Sie kgV und ggT von 60 und 160 und vergleichen Sie die Produkte kgV(60,160)×ggT(60,160) und 60×160.
    Lösung
    a) Die Primfaktorzerlegung von 12 und 16 ist:
    12 = 2 × 2 × 3
    16 = 2 × 2 × 2 × 2
    ggT von 12 und 16 = 4
    kgV von 12 und 16 = 48
    Produkt: kgV(12,16)×ggT(12,16) = 48 × 4 = 192
    Produkt der gegebenen Zahlen: 12 × 16 = 192
    Die beiden Produkte sind gleich.
    b) Die Primfaktorzerlegung von 30 und 45 ist:
    30 = 2 × 3 × 5
    45 = 3 × 3 × 5
    ggT von 30 und 45 = 15
    kgV von 30 und 45 = 90
    Produkt: kgV(30,45)×ggT(30,45) = 90 × 15 = 1350
    Produkt der gegebenen Zahlen: 30 × 45 = 1350
    Die beiden Produkte sind gleich.
    c) Die Primfaktorzerlegung von 60 und 160 ist:
    60 = 2 × 2 × 3 × 5
    160 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5
    ggT von 60 und 160 = 20
    kgV von 60 und 160 = 480
    Produkt: kgV(60,160)×ggT(60,160) = 480 × 20 = 9600
    Produkt der gegebenen Zahlen: 60 × 160 = 9600
    Die beiden Produkte sind gleich.
    Es gilt immer
    Gegeben zwei ganze Zahlen M und N sowie deren ggT und kgV, besteht die Beziehung
    ggT × kgV = M × N

Links und Referenzen