Massimizzare il volume di una scatola problema di ottimizzazione
Come massimizzare il volume di una scatola utilizzando il primo derivato del volume. Un problema di ottimizzazione del volume con soluzione.
Problema
Un foglio di metallo di 12 pollici per 10 pollici deve essere utilizzato per creare una scatola aperta. Da ciascun angolo si ritagliano dei quadrati di lato uguale x, quindi i lati vengono piegati per formare la scatola. Trova il valore di x che rende massimo il volume.
Soluzione al problema
Usiamo innanzitutto la formula del volume di una scatola rettangolare.
V = L × W × H
La scatola da realizzare ha le seguenti dimensioni:
L = 12 - 2 x
W = 10 - 2 x
H = x
Scriviamo ora il volume della scatola da realizzare come segue:
V(x) = x (12 - 2 x) (10 - 2 x) = 4 x (6 - x) (5 - x)
= 4x (x 2 -11 x + 30)
Determiniamo ora il dominio della funzione V(x). Tutte le dimensioni della scatola devono essere positive o zero, da qui le condizioni
x ≥ 0 and 6 - x ≥ 0 and 5 - x ≥ 0
Risolvi il sistema di disequazioni di cui sopra per trovare il dominio della funzione V(x)
0 ≤ x ≤ 5
Cerchiamo ora la derivata prima di V(x) utilizzando la sua ultima espressione.
dV / dx = 4 [ (x 2 -11 x + 3) + x (2x - 11) ]
= 3 x 2 -22 x + 30
Troviamo ora tutti i valori di x che rendono dV / dx = 0 risolvendo l'equazione quadratica
3 x 2 -22 x + 30 = 0
Due valori rendono dV/dx = 0:
x = 5.52 and x = 1.81, arrotondato ad una cifra decimale.
x = 5.52 è esterno al dominio e pertanto viene rifiutato.
Esaminiamo ora i valori di V(x) in x = 1,81 e gli estremi del dominio.
V(0) = 0 , V(5) = 0 e V(1,81) = 96,77 (arrotondato a due cifre decimali)
Quindi V(x) è massimo per x ≈ 1,81 pollici. Di seguito è riportato il grafico della funzione V(x) e si vede chiaramente che esiste un massimo molto vicino a 1,8.
