Di seguito vengono presentate le domande della 10ª classe su come semplificare le espressioni radicali. Rivedi le regole e le proprietà dei radicali, prova a risolvere i problemi di pratica e clicca sulle frecce per visualizzare le soluzioni passo dopo passo.
Per semplificare le espressioni radicali, è necessario conoscere le seguenti regole e proprietà dei radicali.
A) $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ se $n$ è pari
B) $\sqrt[n]{x^n} = x$ se $n$ è dispari
Esempi:
Altri esempi su Radici di numeri reali e radicali.
La formula del prodotto per i radicali con indici uguali è data da:
Altri esempi su come Moltiplicare le espressioni radicali.
La formula della divisione per i radicali con indici uguali è data da:
Altri esempi su come Dividere le espressioni radicali.
È possibile sommare o sottrare solo radicali simili.
Esempio:
Altri esempi su come Sommare le espressioni radicali.
È possibile riscrivere le espressioni senza radicali al denominatore (razionalizzazione) utilizzando identità quali:
Altri esempi su come Razionalizzare i denominatori delle espressioni radicali.
Razionalizza e semplifica le espressioni date:
Semplifica: $\sqrt{128} \cdot \sqrt{32}$
Scrivi 128 e 32 come prodotti di fattori primi: $128 = 2^7$, $32 = 2^5$.
$$ \sqrt{128} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2^7} \cdot \sqrt{2^5} = \sqrt{2^7 \cdot 2^5} $$
$$ = \sqrt{2^{12}} = \sqrt{(2^6)^2} = |2^6| = 64 $$
Semplifica: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + 3\sqrt{12}$
Usa la regola del prodotto per scrivere $\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{12}$.
$$ \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + 3\sqrt{12} = \sqrt{2 \cdot 6} + 3\sqrt{12} = \sqrt{12} + 3\sqrt{12} $$
$$ = \sqrt{12}(1 + 3) = 4\sqrt{12} $$
$$ = 4\sqrt{4 \cdot 3} = 4\sqrt{4}\sqrt{3} = 4 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3} $$
Semplifica: $\dfrac{3\sqrt{14} + 4\sqrt{63}}{3\sqrt{7}}$
Scrivi 14 e 63 come prodotti di numeri primi ($14 = 2 \times 7$, $63 = 3^2 \times 7$) e sostituisci:
$$ \dfrac{3\sqrt{14} + 4\sqrt{63}}{3\sqrt{7}} = \dfrac{3\sqrt{2 \cdot 7} + 4\sqrt{3^2 \cdot 7}}{3\sqrt{7}} $$
$$ = \dfrac{3\sqrt{2}\sqrt{7} + 4 \cdot 3\sqrt{7}}{3\sqrt{7}} $$
$$ = \dfrac{\sqrt{7}(3\sqrt{2} + 12)}{3\sqrt{7}} $$
$$ = \dfrac{3\sqrt{2} + 12}{3} = \sqrt{2} + 4 $$
Semplifica: $\sqrt[3]{32} \sqrt[3]{16}$
Scrivi 32 e 16 come prodotti di numeri primi ($32 = 2^5$, $16 = 2^4$) e sostituisci:
$$ \sqrt[3]{32} \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^5} \sqrt[3]{2^4} = \sqrt[3]{2^5 \cdot 2^4} $$
$$ = \sqrt[3]{2^9} = \sqrt[3]{(2^3)^3} = 2^3 = 8 $$
Semplifica: $\sqrt[3]{\dfrac{64}{7}}$
Scrivi 64 come un prodotto di numeri primi ($64 = 2^6$) e sostituisci:
$$ \sqrt[3]{\dfrac{64}{7}} = \sqrt[3]{\dfrac{2^6}{7}} = \sqrt[3]{\dfrac{(2^2)^3}{7}} = \dfrac{4}{\sqrt[3]{7}} $$
Razionalizza il denominatore moltiplicando il numeratore e il denominatore per $\left(\sqrt[3]{7}\right)^2$:
$$ = \dfrac{4}{\sqrt[3]{7}} \cdot \dfrac{\left(\sqrt[3]{7}\right)^2}{\left(\sqrt[3]{7}\right)^2} = \dfrac{4\left(\sqrt[3]{7}\right)^2}{7} = \dfrac{4\sqrt[3]{49}}{7} $$
Semplifica: $\dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{54x}}{\sqrt[3]{2}}$
Scrivi 54 come un prodotto di numeri primi ($54 = 2 \times 3^3$) e sostituisci:
$$ \dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{54x}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{2 \cdot 3^3 x}}{\sqrt[3]{2}} $$
$$ = \dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{2x} \cdot \sqrt[3]{3^3}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{\sqrt[3]{2x} - 3\sqrt[3]{2x}}{\sqrt[3]{2}} $$
$$ = \dfrac{-2\sqrt[3]{2x}}{\sqrt[3]{2}} = -2\sqrt[3]{\dfrac{2x}{2}} = -2\sqrt[3]{x} $$
Semplifica: $\dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}}$
Moltiplica il denominatore e il numeratore per il coniugato del denominatore:
$$ \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}} \cdot \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} $$
Sviluppa e semplifica:
$$ = \dfrac{(\sqrt{x})^2 + (\sqrt{x+1})^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{x+1})^2} $$
$$ = \dfrac{x + (x + 1) + 2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}{x - (x + 1)} $$
$$ = \dfrac{2x + 1 + 2\sqrt{x(x+1)}}{-1} $$
$$ = -2x - 1 - 2\sqrt{x(x+1)} $$
Usa tutte le regole e le proprietà dei radicali per razionalizzare e semplificare le seguenti espressioni.
Semplifica: $\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{125}$
$$ \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{3125} = \sqrt[3]{125 \cdot 25} = 5\sqrt[3]{25} $$
Semplifica: $(5\sqrt[3]{64})(-3\sqrt[3]{16})$
Innanzitutto, semplifica le radici cubiche note ($\sqrt[3]{64} = 4$):
$$ (5 \cdot 4)(-3\sqrt[3]{16}) = 20(-3\sqrt[3]{16}) = -60\sqrt[3]{16} $$
Semplifica $\sqrt[3]{16}$ come $\sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$:
$$ -60(2\sqrt[3]{2}) = -120\sqrt[3]{2} $$
Semplifica: $(7\sqrt{\dfrac{2}{5}})(2\sqrt{10})$
$$ (7\sqrt{\dfrac{2}{5}})(2\sqrt{10}) = 14\sqrt{\dfrac{20}{5}} $$
$$ = 14\sqrt{4} = 14 \cdot 2 = 28 $$
Semplifica: $\sqrt[3]{2\dfrac{10}{27}}$
Converti il numero misto in una frazione impropria:
$$ \sqrt[3]{2\dfrac{10}{27}} = \sqrt[3]{\dfrac{64}{27}} = \dfrac{4}{3} $$
Semplifica: $(\sqrt{17x})(\sqrt{34x})$
$$ (\sqrt{17x})(\sqrt{34x}) = \sqrt{578x^2} = x\sqrt{578} $$
$$ = x\sqrt{289 \cdot 2} = 17x\sqrt{2} $$
(Supponendo $x \ge 0$ come richiesto dall'espressione originale).
Semplifica: $\sqrt{4y^2}$
$$ \sqrt{4y^2} = 2|y| $$
Semplifica: $\sqrt{8y^4}$
$$ \sqrt{8y^4} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot (y^2)^2} = 2y^2\sqrt{2} $$
Semplifica: $\sqrt{25+144}$
$$ \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13 $$
Semplifica: $\sqrt[2n]{x^{2n}}$, dove $n$ è un intero positivo
Poiché $2n$ rappresenta un indice pari:
$$ \sqrt[2n]{x^{2n}} = |x| $$
Semplifica: $(\sqrt{x-2})(4\sqrt{x-2})$
$$ (\sqrt{x-2})(4\sqrt{x-2}) = 4(x-2) $$
Semplifica: $\dfrac{\sqrt[3]{27a^3b^5}}{\sqrt[3]{8a^6b^2}}$
Combina usando la regola del quoziente per i radicali:
$$ \dfrac{\sqrt[3]{27a^3b^5}}{\sqrt[3]{8a^6b^2}} = \sqrt[3]{\dfrac{27a^3b^5}{8a^6b^2}} $$
Semplifica la frazione all'interno del radicale:
$$ = \sqrt[3]{\dfrac{27b^3}{8a^3}} $$
Estrai i cubi perfetti:
$$ = \dfrac{3b}{2a} $$
Semplifica: $\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-2}}$
Moltiplica il numeratore e il denominatore per il coniugato del denominatore, $\sqrt{x}-\sqrt{x-2}$:
$$ \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-2}} = \dfrac{(\sqrt{x}-\sqrt{x-2})^2}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{x-2})^2} $$
Sviluppa il numeratore e semplifica il denominatore:
$$ = \dfrac{x + (x-2) - 2\sqrt{x(x-2)}}{x - (x-2)} $$
$$ = \dfrac{2x - 2 - 2\sqrt{x(x-2)}}{2} $$
Dividi tutti i termini del numeratore per 2:
$$ = x - 1 - \sqrt{x(x-2)} $$