Tutorial completo con soluzioni passo dopo passo
Scomporre un polinomio significa scriverlo come prodotto di polinomi più semplici. Questa è un'abilità fondamentale in algebra utilizzata per risolvere equazioni e semplificare espressioni complesse.
La scomposizione a fattor comune si basa sull'utilizzo della Legge Distributiva al contrario:
Distribuzione standard:
\[ a(b + c) = a \cdot b + a \cdot c \]Inverso (Scomposizione):
\[ a \cdot b + a \cdot c = a(b + c) \]In questo metodo, identifichiamo un fattore $a$ che è comune a tutti i termini e lo portiamo fuori dalle parentesi.
Nota: Per verificare la tua scomposizione, basta sviluppare il risultato per vedere se ritorni al polinomio originale.
Identifica il Massimo Comun Divisore (MCD) e scomponi completamente i seguenti polinomi.
Esempio A: \( 9x - 6 \)
Soluzione: Utilizza la scomposizione in fattori primi per trovare i fattori comuni: \( \color{red}{3} \cdot 3 \cdot x - 2 \cdot \color{red}{3} \). L'MCD è 3. Risultato: \( 3(3x - 2) \).
Esempio B: \( 16x^3 + 8x^2y + 4xy^2 \)
Soluzione: L'MCD dei coefficienti (16, 8, 4) è 4. La variabile condivisa è $x$. L'MCD è $4x$. Risultato: \( 4x(4x^2 + 2xy + y^2) \).
Esempio C: \( 2x^4(x + 5) + x^2(x + 5) \)
Soluzione: Nota che $(x + 5)$ è un fattore binomiale comune. Raccoglilo prima: \( (x + 5)(2x^4 + x^2) \). Quindi raccogli $x^2$ dalla parte rimanente. Risultato: \( x^2(x + 5)(2x^2 + 1) \).
Usa i fattori comuni per scomporre completamente i seguenti polinomi. Ogni domanda include una soluzione dettagliata.
Domanda 1: Scomponi \[ -3x + 9 \]
Esprimi entrambi i termini usando la scomposizione in fattori primi:
\[ -3x + 9 = -\color{red}{3} \cdot x + \color{red}{3} \cdot 3 \]Il massimo comun divisore è \( \color{red}{3} \). Raccogliendolo otteniamo:
\[ = \color{red}{3}(-x + 3) \]Per avere un termine principale positivo all'interno delle parentesi, possiamo raccogliere $-3$:
\[ = -3(x - 3) \]Domanda 2: Scomponi \[ 28x + 2x^2 \]
Identifica i fattori comuni tramite la scomposizione in fattori primi:
\[ 28x + 2x^2 = \color{red}{2} \cdot 2 \cdot 7 \cdot \color{red}{x} + \color{red}{2} \cdot \color{red}{x} \cdot x \]Il massimo comun divisore è \( \color{red}{2x} \):
\[ = \color{red}{2x}(14 + x) \text{ oppure } 2x(x + 14) \]Domanda 3: Scomponi \[ 11xy + 55x^2y \]
Scrivi la scomposizione in fattori primi di ciascun termine:
\[ 11xy + 55x^2y = \color{red}{11} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} + 5 \cdot \color{red}{11} \cdot \color{red}{x} \cdot x \cdot \color{red}{y} \]Il massimo comun divisore è \( \color{red}{11xy} \):
\[ = \color{red}{11xy}(1 + 5x) \]Domanda 4: Scomponi \[ 20xy + 35x^2y - 15xy^2 \]
Determina l'MCD analizzando tutti e tre i termini:
\[ 20xy = 2^2 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} \] \[ 35x^2y = 7 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot x \cdot \color{red}{y} \] \[ -15xy^2 = -3 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} \cdot y \]Il massimo comun divisore è \( \color{red}{5xy} \):
\[ = \color{red}{5xy}(4 + 7x - 3y) \]Domanda 5: Scomponi \[ 5y(x + 1) + 10y^2(x + 1) - 15xy(x + 1) \]
1. Per prima cosa, raccogli il fattore binomiale comune \( (x + 1) \):
\[ (x + 1)(5y + 10y^2 - 15xy) \]2. Ora, individua l'MCD per i restanti termini all'interno delle seconde parentesi ($5y, 10y^2, -15xy$). L'MCD è \( \color{red}{5y} \):
\[ 5y + 10y^2 - 15xy = \color{red}{5y}(1 + 2y - 3x) \]3. Combina entrambi i passaggi per ottenere la forma fattorizzata finale:
\[ = 5y(x + 1)(1 + 2y - 3x) \]