Identità, esempi svolti e soluzioni passo dopo passo
Le forme polinomiali speciali, come la differenza di due quadrati, i trinomi quadrati perfetti e la somma o differenza di due cubi, offrono scorciatoie per scomporre espressioni algebriche complesse. Identificare questi pattern è essenziale per una risoluzione efficiente dei problemi.
Scomponi il polinomio: \[ 16x^2 - 9y^2 \]
Riscrivi i termini come quadrati: \( 16x^2 = (4x)^2 \) e \( 9y^2 = (3y)^2 \).
\[ 16x^2 - 9y^2 = (4x)^2 - (3y)^2 \]Applica \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \):
\[ = (4x - 3y)(4x + 3y) \]Scomponi: \[ 4x^2 + 20xy + 25y^2 \]
Identifica i quadrati e il termine centrale: \( (2x)^2 \), \( (5y)^2 \) e \( 2(2x)(5y) = 20xy \).
\[ 4x^2 + 20xy + 25y^2 = (2x)^2 + 2(2x)(5y) + (5y)^2 \]Applica \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \):
\[ = (2x + 5y)^2 \]Scomponi: \[ 8 - 27x^3 \]
Riscrivi come cubi: \( 8 = 2^3 \) e \( 27x^3 = (3x)^3 \).
\[ 8 - 27x^3 = 2^3 - (3x)^3 \]Applica \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \):
\[ = (2 - 3x)(2^2 + (2)(3x) + (3x)^2) \] \[ = (2 - 3x)(4 + 6x + 9x^2) \]Scomponi completamente i seguenti polinomi speciali.
Pratica A: \( -25x^2 + 9 \)
Riorganizza come differenza di quadrati: \( 9 - 25x^2 \).
\[ 3^2 - (5x)^2 = (3 - 5x)(3 + 5x) \]Pratica B: \( 16y^4 - x^4 \)
Scomponi due volte come differenza di quadrati:
\[ (4y^2)^2 - (x^2)^2 = (4y^2 - x^2)(4y^2 + x^2) \]Scomponi la rimanente differenza di quadrati:
\[ = (2y - x)(2y + x)(4y^2 + x^2) \]Pratica C: \( \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2} \)
Metti in evidenza \( 1/2 \):
\[ \frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1) \]Riconosci il trinomio quadrato perfetto:
\[ = \frac{1}{2}(x + 1)^2 \]Pratica D: \( x^6 - 1 \)
Tratta come differenza di quadrati: \( (x^3)^2 - 1^2 \).
\[ = (x^3 - 1)(x^3 + 1) \]Applica le formule della differenza e della somma di cubi:
\[ = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1) \]