Trovare le funzioni quadratiche dati i loro grafici

1. Identifica il vertice dal grafico: $(h, k) = (0, 2)$.

2. Imposta la forma canonica: \[ f(x) = a(x - 0)^2 + 2 = ax^2 + 2 \]

3. Usa il punto $(1, 3)$ per ricavare $a$: \[ f(1) = a(1)^2 + 2 = 3 \Rightarrow a = 1 \]

Funzione finale: \[ f(x) = x^2 + 2 \]

1. Vertice: $(0, -1)$. Forma canonica: $g(x) = ax^2 - 1$.

2. Usa il punto $(1, -2)$: \[ a(1)^2 - 1 = -2 \Rightarrow a = -1 \]

3. Equazione: $g(x) = -x^2 - 1$.

4. Valuta $g(-3)$: \[ g(-3) = -(-3)^2 - 1 = -9 - 1 = -10 \]

1. Vertice $(2, 1) \Rightarrow l(x) = a(x - 2)^2 + 1$.

2. Usa l'intercetta y $(0, -7)$: \[ a(0 - 2)^2 + 1 = -7 \Rightarrow 4a = -8 \Rightarrow a = -2 \]

3. Trova le intercette x (poni $l(x) = 0$): \[ -2(x - 2)^2 + 1 = 0 \Rightarrow (x - 2)^2 = 1/2 \]

\[ x = 2 \pm \sqrt{1/2} \]

1. Usa la forma fattorizzata con le intercette $(-1, 0)$ e $(2, 0)$: \[ s(x) = a(x + 1)(x - 2) \]

2. Usa l'intercetta y $(0, -4)$: \[ a(0 + 1)(0 - 2) = -4 \Rightarrow -2a = -4 \Rightarrow a = 2 \]

3. Forma standard: \[ s(x) = 2(x^2 - x - 2) = 2x^2 - 2x - 4 \]

1. Forma canonica: $m(x) = a(x + 3)^2 + k$.

2. Imposta un sistema di equazioni usando i punti $(-5, 0)$ e $(-2, -1,5)$:

\[ \begin{cases} a(-5 + 3)^2 + k = 0 \Rightarrow 4a + k = 0 \\ a(-2 + 3)^2 + k = -1,5 \Rightarrow a + k = -1,5 \end{cases} \]

3. Sottraendo le equazioni: $3a = 1,5 \Rightarrow a = 0,5$. Quindi $k = -2$.

4. Forma standard: \[ m(x) = 0,5(x + 3)^2 - 2 = 0,5x^2 + 3x + 2,5 \]

Usando $w(x) = ax^2 + bx + c$:

• Punto $(0, -1/6) \Rightarrow c = -1/6$.
• Punto $(1, 0) \Rightarrow a + b - 1/6 = 0 \Rightarrow a + b = 1/6$.
• Punto $(3, 10/3) \Rightarrow 9a + 3b - 1/6 = 10/3 \Rightarrow 9a + 3b = 7/2$.

Risolvendo il sistema: $a = 1/2, b = -1/3$.

Funzione finale: \[ w(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{6} \]