Massimo Comun Divisore (MCD) dei monomi

Tutorial passo dopo passo, Esempi svolti e Soluzioni dettagliate

In algebra, il Massimo Comun Divisore (MCD) di due o più monomi è il monomio più grande che li divide esattamente tutti. Questa è un'abilità cruciale per raccogliere polinomi a fattor comune e semplificare espressioni razionali.

Il metodo della scomposizione in fattori primi

Per trovare il MCD, usiamo la scomposizione in fattori primi per scomporre ciascun monomio nei suoi componenti fondamentali (coefficienti e variabili).

  1. Scrivi la scomposizione in fattori primi di ciascun coefficiente numerico.
  2. Elenca le variabili con gli esponenti minori con cui compaiono nell'insieme.
  3. Moltiplica insieme i fattori numerici comuni e i fattori letterali comuni.

Esempi svolti

Esempio 1: Due monomi

Trova il MCD di \( 12x \) e \( 18x^2 \).

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1. Scomposizione in fattori primi di \( 12x \):
\[ 12x = \color{red}{2} \cdot 2 \cdot \color{red}{3} \cdot \color{red}{x} \]

2. Scomposizione in fattori primi di \( 18x^2 \):
\[ 18x^2 = \color{red}{2} \cdot \color{red}{3} \cdot 3 \cdot \color{red}{x} \cdot x \]

3. Identifica i fattori comuni: \( 2, 3 \text{ e } x \).

\[ \text{MCD}(12x, 18x^2) = \color{red}{2 \cdot 3 \cdot x = 6x} \]

Esempio 2: Variabili multiple

Trova il MCD di \( 30x^2y^3 \), \( 42x^3y^2 \) e \( 18x^2y^2 \).

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Scomposizioni in fattori primi:

  • \( 30x^2y^3 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 5 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \cdot y \)
  • \( 42x^3y^2 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 7 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \cdot \color{red}{y \cdot y} \)
  • \( 18x^2y^2 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 3 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \)

Il MCD è il prodotto dei fattori comuni:

\[ \text{MCD} = 2 \cdot 3 \cdot x^2 \cdot y^2 = \color{red}{6x^2y^2} \]

Domande di pratica con soluzioni dettagliate

Applica il metodo della scomposizione in fattori primi per risolvere i seguenti problemi.

Domanda 1: Trova il MCD di \( 36x^2 \) e \( 42x^3 \).

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\[ 36x^2 = \color{red}{2} \cdot 2 \cdot \color{red}{3} \cdot 3 \cdot \color{red}{x \cdot x} \] \[ 42x^3 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 7 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \]

MCD: \( 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x = \color{red}{6x^2} \)

Domanda 2: Trova il MCD di \( 45x^3 \), \( 60x^2 \) e \( 75x^4 \).

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\[ 45x^3 = \color{red}{3} \cdot 3 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \] \[ 60x^2 = \color{red} 2 \cdot 2 \cdot {3} \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \] \[ 75x^4 = \color{red}{3 \cdot 5} \cdot 5 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \cdot x \]

MCD: \( 3 \cdot 5 \cdot x^2 = \color{red}{15x^2} \)

Domanda 3: Trova il MCD di \( 50x^2y^3 \), \( 75x^2y^2 \) e \( 125x^4y^3 \).

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\[ 50x^2y^3 = \color{red} 2 \cdot {5 \cdot 5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \cdot y \] \[ 75x^2y^2 = \color{red} 3 \cdot {5 \cdot 5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \] \[ 125x^4y^3 = \color{red} 5 \cdot {5 \cdot 5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \cdot x \cdot \color{red}{y \cdot y} \cdot y \]

MCD: \( 5 \cdot 5 \cdot x^2 \cdot y^2 = \color{red}{25x^2y^2} \)

Domanda 4: Semplifica l'espressione razionale utilizzando il MCD: \[ \dfrac{35x^3y^2}{42x^2y^3} \]

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Per prima cosa, trova la scomposizione in fattori primi sia per il numeratore che per il denominatore:

\[ 35x^3y^2 = 5 \cdot \color{red}{7 \cdot x^2 \cdot y^2} \cdot x \] \[ 42x^2y^3 = 2 \cdot 3 \cdot \color{red}{7 \cdot x^2 \cdot y^2} \cdot y \]

Semplifica i fattori comuni del MCD \( (7x^2y^2) \):

\[ \dfrac{35x^3y^2}{42x^2y^3} = \dfrac{5 \cdot \color{red}{7 \cdot x^2 \cdot y^2} \cdot x}{2 \cdot 3 \cdot \color{red}{7 \cdot x^2 \cdot y^2} \cdot y} = \dfrac{5x}{6y} \]

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