Questa lezione è progettata per gli studenti della classe 9 per padroneggiare le operazioni che coinvolgono i monomi. Un monomio è un singolo termine algebrico costituito da un numero reale moltiplicato per variabili elevate a potenze intere non negative.
Qui sotto troverai chiari esempi che mostrano come identificare i coefficienti, nonché come addizionare, sottrarre, moltiplicare e dividere i monomi. Una volta esaminati gli esempi, metti alla prova la tua comprensione con le domande di pratica, che includono soluzioni interattive passo dopo passo.
1. Comprendere i coefficienti dei monomi
Prendi un numero, come \(-2\), e una variabile con un esponente, come \(x^2\), e moltiplicali insieme: \(-2 \times x^2\). Per semplicità, rimuoviamo il simbolo di moltiplicazione e lo scriviamo come un monomio: \(-2x^2\).
Esempi di monomi standard includono: \( x \), \( 2x \), \( 3x^2 \), \( -0.1x \), \( -\dfrac{3}{4}x^2y^2 \), \( -y \).
Definizione: Coefficiente
Il coefficiente di un monomio è la parte numerica situata all'inizio del termine.
Esempio 1: Identificazione dei coefficienti
- Il coefficiente di \( \color{red}{2}x \) è \(2\).
- Il coefficiente di \( \color{red}{-3}x^2 \) è \(-3\).
- Il coefficiente di \( \color{red}{-\dfrac{5}{2}}y^3x \) è \(-\dfrac{5}{2}\).
- Il coefficiente di \( x \) (che è \( \color{red}{1}x \)) è \(1\). Nota: Scriviamo \(x\), non \(1x\).
- Il coefficiente di \( -x^2 \) (che è \( \color{red}{-1}x^2 \)) è \(-1\). Nota: Scriviamo \(-x^2\), non \(-1x^2\).
2. Addizione e sottrazione di monomi
Possiamo addizionare e sottrarre solo monomi che sono termini simili (il che significa che hanno esattamente le stesse variabili elevate esattamente alle stesse potenze).
- \( -3x^2 \), \( 4x^2 \) e \( -x^2 \) sono termini simili e possono essere addizionati.
- \( -y^2x \), \( 4y^2x \) e \( -xy^2 \) sono termini simili e possono essere addizionati. (Nota: \(xy^2\) e \(y^2x\) sono identici).
Esempio 2: Addizione e sottrazione
a) \( 2x + 4x \)
\[ \begin{aligned} \color{red}{2}x + \color{red}{4}x &= \color{red}{(2 + 4)}x \quad && \text{(raccogli a fattor comune la variabile } x\text{)} \\ &= 6x \quad && \text{(somma i coefficienti)} \end{aligned} \]
b) \( 3x^2 - x^2 \)
\[ \begin{aligned} \color{red}{3}x^2 \color{red}{- 1}x^2 &= \color{red}{(3 - 1)}x^2 \quad && \text{(raccogli a fattor comune la variabile } x^2\text{)} \\ &= 2x^2 \quad && \text{(sottrai i coefficienti)} \end{aligned} \]
c) \( 3x^2y - x^2y + 4yx^2 \)
\[ \begin{aligned} 3x^2y - 1x^2y + 4x^2y &= \color{red}{(3 - 1 + 4)}x^2y \quad && \text{(raggruppa i coefficienti)} \\ &= 6x^2y \end{aligned} \]
3. Moltiplicazione di monomi
Regola della moltiplicazione degli esponenti
Puoi moltiplicare qualsiasi coppia di monomi; non è necessario che siano termini simili. Usa la regola del prodotto per gli esponenti:
\( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \)
Esempio 3: Moltiplicazione
a) \( (x)(6x) \)
\[ \begin{aligned} (\color{red}{1}\color{blue}{x})(\color{red}{6}\color{blue}{x}) &= \color{red}{(1 \cdot 6)}\color{blue}{(x \cdot x)} \quad && \text{(raggruppa coefficienti e variabili)} \\ &= 6x^{1+1} = 6x^2 \quad && \text{(applica la regola degli esponenti)} \end{aligned} \]
b) \( (5x^2y)(-y^2x) \)
\[ \begin{aligned} (5x^2y)(-1y^2x) &= (5 \cdot -1)(x^2 \cdot x)(y \cdot y^2) \\ &= -5 x^{2+1} y^{1+2} \\ &= -5x^3y^3 \end{aligned} \]
4. Divisione di monomi
Regola della divisione degli esponenti
Puoi dividere due monomi qualsiasi purché il divisore non sia zero. Usa la regola del quoziente per gli esponenti:
\( \dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \)
Esempio 4: Divisione
a) \( \dfrac{-x^2}{x} \)
\[ \begin{aligned} \dfrac{\color{red}{-1}\color{blue}{x^2}}{\color{red}{1}\color{blue}{x}} &= \color{red}{\dfrac{-1}{1}} \cdot \color{blue}{\dfrac{x^2}{x}} \\ &= -1 \cdot x^{2-1} \\ &= -x \end{aligned} \]
b) \( \dfrac{-2x^4y^3}{6x^2y^2} \)
\[ \begin{aligned} \dfrac{-2x^4y^3}{6x^2y^2} &= \color{red}{\dfrac{-2}{6}} \cdot \color{blue}{\dfrac{x^4}{x^2}} \cdot \color{green}{\dfrac{y^3}{y^2}} \\ &= -\dfrac{1}{3} \cdot x^{4-2} \cdot y^{3-2} \\ &= -\dfrac{1}{3}x^2y \end{aligned} \]