Trova una funzione sinusoidale dato il suo grafico

Passo 1: Trova la traslazione verticale e l'ampiezza
La scala sull'asse y è un'unità per ogni divisione grande. Il valore massimo è \( y_{\text{max}} = 1 \) e il minimo è \( y_{\text{min}} = -7 \).
Traslazione verticale (\(c\)): \[ c = \dfrac{y_{\text{max}} + y_{\text{min}}}{2} = \dfrac{1 + (-7)}{2} = -3 \] Ampiezza (\(a\)): \[ |a| = \dfrac{y_{\text{max}} - y_{\text{min}}}{2} = \dfrac{1 - (-7)}{2} = 4 \] Poiché tracceremo un punto di massimo per determinare lo spostamento, possiamo usare una funzione coseno positiva, quindi \( a = 4 \).

Passo 2: Trova il periodo e \(b\)
La scala sull'asse x è \( \pi \) per una divisione grande e \( \dfrac{\pi}{5} \) per una divisione piccola.
I punti A e B sono massimi consecutivi. La distanza orizzontale tra di essi è il Periodo \( P = 5\pi \).
\[ P = \dfrac{2\pi}{|b|} = 5\pi \implies |b| = \dfrac{2}{5} \]

Passo 3: Trova lo spostamento di fase (\(d\))
Usiamo la forma del coseno: \( y = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}(x - d) \right] - 3 \).
La funzione coseno non traslata ha un massimo a \( x = 0 \). Il nostro grafico ha un massimo nel punto A, che si trova a una divisione piccola a sinistra dell'asse y: \( x = -\dfrac{\pi}{5} \). Pertanto, \( d = -\dfrac{\pi}{5} \).

Conclusione:
Sostituendo tutti i valori, l'equazione è: \[ y = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}\left(x - \left(-\dfrac{\pi}{5}\right)\right) \right] - 3 \implies \mathbf{y = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}\left(x + \dfrac{\pi}{5} \right) \right] - 3} \]

Passo 1: Trova la traslazione verticale e l'ampiezza
Una divisione grande sull'asse y è 1 unità, quindi una divisione piccola è \( 0.2 \). Dal grafico, \( y_{\text{max}} = 0.2 \) e \( y_{\text{min}} = -1.4 \).
\[ c = \dfrac{0.2 + (-1.4)}{2} = -0.6 \] \[ |a| = \dfrac{0.2 - (-1.4)}{2} = 0.8 \] Useremo una funzione coseno positiva, quindi \( a = 0.8 \).

Passo 2: Trova il periodo e \(b\)
L'asse x ha divisioni grandi di \( \pi \). I punti A e B sono massimi consecutivi rispettivamente in \( A\left(\dfrac{\pi}{2}, 0.2\right) \) e \( B\left(\dfrac{9\pi}{2}, 0.2\right) \).
Il periodo è la distanza tra A e B: \( P = \dfrac{9\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2} = 4\pi \).
\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = 4\pi \implies |b| = \dfrac{1}{2} \]

Passo 3: Trova lo spostamento di fase (\(d\))
Usando la funzione coseno, il massimo si verifica nel punto A, dove \( x = \dfrac{\pi}{2} \). Ciò significa che il grafico è traslato a destra di \( \dfrac{\pi}{2} \), quindi \( d = \dfrac{\pi}{2} \).

Conclusione:
L'equazione per il grafico è: \[ \mathbf{y = 0.8 \cos\left[ \dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) \right] - 0.6} \]

Passo 1: Trova la traslazione verticale e l'ampiezza
Dal grafico, \( y_{\text{max}} = 0 \) e \( y_{\text{min}} = -2 \).
\[ c = \dfrac{0 + (-2)}{2} = -1 \] \[ |a| = \dfrac{0 - (-2)}{2} = 1 \] La linea centrale verticale è a \( y = -1 \).

Passo 2: Trova il periodo e \(b\)
I punti A e B segnano un intero ciclo d'onda lungo la linea centrale. Il punto A è a \( x = 0.6 \) e il punto B è a \( x = 2.6 \).
Periodo \( P = 2.6 - 0.6 = 2 \).
\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = 2 \implies |b| = \pi \]

Passo 3: Trova lo spostamento di fase (\(d\))
Stiamo usando la funzione seno: \( y = a \sin[ b(x - d) ] + c \).
La funzione seno non traslata parte dalla sua linea centrale e sale. Il nostro grafico fa esattamente questo nel punto A, dove \( x = 0.6 \) (o \( \dfrac{3}{5} \)). Pertanto, la traslazione a destra è \( d = 0.6 \). Poiché il grafico sale da qui, \( a \) rimane positivo \( 1 \).

Conclusione:
L'equazione del grafico è: \[ \mathbf{y = \sin\left[ \pi\left(x - \dfrac{3}{5}\right) \right] - 1} \]

Passo 1: Trova la traslazione verticale e l'ampiezza
Dall'asse y, \( y_{\text{max}} = -1 \) e \( y_{\text{min}} = -3 \).
\[ c = \dfrac{-1 + (-3)}{2} = -2 \] \[ |a| = \dfrac{-1 - (-3)}{2} = 1 \] Usando una funzione coseno positiva, \( a = 1 \).

Passo 2: Trova il periodo e \(b\)
I punti A e B sono massimi consecutivi situati in \( A\left(\dfrac{3\pi}{5}, -1\right) \) e \( B\left(\dfrac{8\pi}{5}, -1\right) \).
Periodo \( P = \dfrac{8\pi}{5} - \dfrac{3\pi}{5} = \dfrac{5\pi}{5} = \pi \).
\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = \pi \implies |b| = 2 \]

Passo 3: Trova lo spostamento di fase (\(d\))
Il massimo si verifica nel punto A, dove \( x = \dfrac{3\pi}{5} \). Questa è la nostra traslazione orizzontale a destra, quindi \( d = \dfrac{3\pi}{5} \).

Conclusione:
L'equazione del grafico è: \[ \mathbf{y = \cos\left[ 2\left(x - \dfrac{3\pi}{5} \right) \right] - 2} \]

Passo 1: Trova l'ampiezza e la traslazione verticale
Il massimo è \( 1 \) e il minimo è \( -5 \).
\[ c = \dfrac{1 + (-5)}{2} = -2 \]
L'ampiezza standard è \( \dfrac{1 - (-5)}{2} = 3 \). Poiché il problema richiede \( a < 0 \), dobbiamo usare una curva di coseno riflessa, quindi \( a = -3 \).

Passo 2: Trova il periodo e \( b \)
La distanza orizzontale tra un minimo e il *massimo immediatamente successivo* rappresenta esattamente la metà di un periodo.
Mezzo periodo = \( 4 - 0 = 4 \). Pertanto, il Periodo completo \( P = 8 \).
\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = 8 \implies b = \dfrac{2\pi}{8} = \dfrac{\pi}{4} \]

Passo 3: Trova lo spostamento di fase
Una curva di coseno negativa standard \( (- \cos) \) parte dal suo minimo sull'asse y (dove \( x=0 \)). Poiché anche il minimo del nostro grafico è in \( x = 0 \), non è richiesta alcuna traslazione di fase orizzontale. Pertanto, \( d = 0 \).

Conclusione:
\[ \mathbf{y = -3\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x\right) - 2} \]

Passo 1: Trova l'ampiezza e la traslazione verticale
Max \( = 24 \), Min \( = 18 \).
Traslazione verticale (temperatura media): \( c = \dfrac{24 + 18}{2} = 21 \)
Ampiezza: \( a = \dfrac{24 - 18}{2} = 3 \)

Passo 2: Trova il periodo e \( b \)
Il tempo tra il minimo (\( t=2 \)) e il massimo (\( t=14 \)) è di 12 ore. Questo rappresenta metà ciclo.
Periodo \( P = 24 \) ore.
\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = 24 \implies b = \dfrac{2\pi}{24} = \dfrac{\pi}{12} \]

Passo 3: Trova lo spostamento di fase per il seno
Una funzione seno positiva parte dalla sua linea centrale (\( y=21 \)) e va *verso l'alto*. Dobbiamo trovare l'ora \( t \) in cui ciò si verifica. Il punto centrale in salita si trova esattamente a metà strada tra il minimo e il massimo.
Punto medio nel tempo: \( t = \dfrac{2 + 14}{2} = 8 \) (che corrisponde alle 8:00).
Pertanto, l'onda sinusoidale inizia il suo ciclo a \( t = 8 \), il che significa che lo spostamento è \( d = 8 \).

Conclusione:
\[ \mathbf{T(t) = 3\sin\left(\dfrac{\pi}{12}(t - 8)\right) + 21} \]

Passo 1: Sostituisci il punto
Inserisci \( x = \dfrac{\pi}{9} \) e \( y = 6.5 \) nell'equazione:
\[ 6.5 = 5\sin\left(3\left(\dfrac{\pi}{9}\right) - C\right) + 4 \]

Passo 2: Isola il termine seno
Sottrai 4 da entrambi i lati:
\[ 2.5 = 5\sin\left(\dfrac{\pi}{3} - C\right) \]
Dividi per 5:
\[ 0.5 = \sin\left(\dfrac{\pi}{3} - C\right) \]

Passo 3: Risolvi l'equazione trigonometrica
Sappiamo che la funzione seno è uguale a \( 0.5 \) per angoli come \( \dfrac{\pi}{6} \) e \( \dfrac{5\pi}{6} \). Poniamo l'espressione interna uguale a questi valori principali.

Caso 1:
\[ \dfrac{\pi}{3} - C = \dfrac{\pi}{6} \implies C = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6} \implies \mathbf{C = \dfrac{\pi}{6}} \]

Caso 2:
\[ \dfrac{\pi}{3} - C = \dfrac{5\pi}{6} \implies C = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{5\pi}{6} \implies C = -\dfrac{3\pi}{6} = -\dfrac{\pi}{2} \]
Poiché il problema richiede il valore *più piccolo positivo*, selezioniamo il risultato del Caso 1.

Conclusione:
Il più piccolo valore positivo è \( C = \dfrac{\pi}{6} \).