Trova gli zeri dei polinomi

Poiché $p(x)$ ha uno zero in $x = 2$, significa che $(x - 2)$ è un fattore di $p(x)$. Dividiamo $p(x)$ per $(x - 2)$ usando la divisione lunga dei polinomi o la divisione sintetica:

$$ \dfrac{p(x)}{x - 2} = \dfrac {x^3 + 5x^2 - 2x - 24}{x - 2} = x^2 + 7x + 12 $$

Usando il risultato della divisione, $p(x)$ può ora essere scritto in una forma parzialmente scomposta:

$$ p(x) = (x - 2)(x^2 + 7x + 12) $$

Successivamente, scomponi l'espressione di secondo grado $x^2 + 7x + 12$. Abbiamo bisogno di due numeri che moltiplicati diano 12 e sommati diano 7. Questi numeri sono 3 e 4:

$$ x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) $$

Sostituisci nuovamente questo valore in $p(x)$ per ottenere la forma completamente scomposta:

$$ p(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 4) $$

Gli zeri si trovano ponendo l'equazione uguale a zero: $p(x) = 0$. Questo significa:

$$ x - 2 = 0 \quad \text{oppure} \quad x + 3 = 0 \quad \text{oppure} \quad x + 4 = 0 $$

Zeri finali:
$$ x = 2, \quad x = -3, \quad x = -4 $$

Gli zeri in $x = \pm \sqrt{5}$ corrispondono ai fattori lineari:

$$ (x - \sqrt{5}) \quad \text{e} \quad (x + \sqrt{5}) $$

Moltiplica questi fattori tra loro per creare un divisore di secondo grado. Nota che questa è una differenza di quadrati:

$$ (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) = x^2 - 5 $$

Pertanto, il polinomio $p(x)$ può essere scritto come:

$$ p(x) = (x^2 - 5)Q(x) $$

Trova $Q(x)$ usando la divisione lunga dei polinomi:

$$ Q(x) = \dfrac{3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 25x + 10}{x^2 - 5} = 3x^2 + 5x - 2 $$

Ora, scomponi il polinomio di secondo grado $Q(x) = 3x^2 + 5x - 2$:

$$ 3x^2 + 5x - 2 = (3x - 1)(x + 2) $$

Ora possiamo scrivere $p(x)$ completamente scomposto in fattori:

$$ p(x) = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(3x - 1)(x + 2) $$

Zeri finali: Poni ciascun fattore uguale a zero:
$$ x = \pm \sqrt{5}, \quad x = \dfrac{1}{3}, \quad x = -2 $$

a) Dimostra la molteplicità 2:
Se $x = 1$ è uno zero di molteplicità 2, allora $(x - 1)^2$ deve essere un fattore di $p(x)$. Sviluppando $(x-1)^2$ si ottiene $x^2 - 2x + 1$. Una divisione lunga di $p(x)$ per $x^2 - 2x + 1$ deve dare un resto pari a 0:

$$ \dfrac{x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 6x - 3}{x^2 - 2x + 1} = x^2 - 3 $$

Poiché il resto è $0$, $x = 1$ è effettivamente uno zero di molteplicità $2$.

b) Trova tutti gli zeri:
Usando la divisione precedente, $p(x)$ può ora essere scritto in forma scomposta:

$$ p(x) = (x - 1)^2(x^2 - 3) $$

Scomponi l'espressione di secondo grado $x^2 - 3$ come differenza di quadrati:

$$ p(x) = (x - 1)^2 (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) $$

Zeri finali:
$$ x = 1 \text{ (molteplicità 2)}, \quad x = \sqrt{3}, \quad x = -\sqrt{3} $$

c) Abbozzo del grafico:
Con la forma scomposta e gli zeri, creiamo una tabella dei segni. Nota che in $x=1$ (molteplicità pari), il grafico toccherà l'asse e invertirà la direzione, mentre in $x=\pm\sqrt{3}$ (molteplicità dispari), attraverserà l'asse.

Utilizziamo le intercette con l'asse x, la tabella dei segni, l'intercetta y $(0 , -3)$ e il comportamento agli estremi (entrambe le estremità vanno verso l'alto poiché è un grado pari con un coefficiente guida positivo) per completare il grafico:

Teorema degli zeri razionali: Se $p(x)$ è un polinomio a coefficienti interi, qualsiasi zero razionale nella forma $\dfrac{m}{n}$ (ai minimi termini) deve avere $m$ come fattore del termine noto e $n$ come fattore del coefficiente guida.

Termine noto = $2$. I fattori di 2 sono: $\pm 1, \pm 2$.
Coefficiente guida = $6$. I fattori di 6 sono: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Possibili zeri razionali ($\dfrac{\text{fattori di } 2}{\text{fattori di } 6}$):

$$ \pm 1, \pm \dfrac{1}{2}, \pm \dfrac{1}{3}, \pm \dfrac{1}{6}, \pm 2, \pm \dfrac{2}{3} $$

A causa della lunga lista di possibili zeri, rappresentiamo graficamente il polinomio e deduciamo gli zeri dalla posizione delle intercette x. Dal grafico sopra, gli zeri sembrano essere vicini a $-\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{2}$ e $2$.

Calcoliamo $p\left(-\dfrac{1}{3}\right)$, $p\left(\dfrac{1}{2}\right)$ e $p(2)$ per verificare:

$$ p\left(-\dfrac{1}{3}\right) = 6\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3 - 13\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2 + \left(-\dfrac{1}{3}\right) + 2 = 0 $$ $$ p\left(\dfrac{1}{2}\right) = 6\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 - 13\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right) + 2 = 0 $$ $$ p(2) = 6(2)^3 - 13(2)^2 + (2) + 2 = 0 $$

Zeri finali: Tutte e tre le ipotesi sono verificate. Gli zeri sono esattamente:
$$ x = -\dfrac{1}{3}, \quad x = \dfrac{1}{2}, \quad x = 2 $$

1. Sostituisci per semplificare:
Nota che questo è un polinomio in "forma quadratica". Sia $u = x^2$. L'equazione diventa:

$$ u^2 - 5u - 36 = 0 $$

2. Scomponi il polinomio di secondo grado:
Abbiamo bisogno di due numeri che moltiplicati diano $-36$ e sommati diano $-5$. Questi sono $-9$ e $4$.

$$ (u - 9)(u + 4) = 0 $$

3. Sostituisci nuovamente $x$:
Sostituisci $u$ con $x^2$ per trovare le radici per $x$:

$$ x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3 $$ $$ x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4 \implies x = \pm 2i $$

Zeri finali:
Il polinomio ha due zeri reali e due zeri complessi: $\mathbf{x = 3, -3, 2i, -2i}$.

1. Teorema delle radici coniugate:
Poiché il polinomio ha coefficienti reali, le radici complesse devono presentarsi in coppie coniugate. Pertanto, se $x = 1 - i$ è uno zero, anche $x = 1 + i$ deve essere uno zero.

2. Costruisci la forma scomposta:
I tre zeri sono $2, 1-i, 1+i$. I fattori sono $(x - 2)$, $(x - (1-i))$ e $(x - (1+i))$. L'equazione generale è:

$$ P(x) = a(x - 2)(x - (1-i))(x - (1+i)) $$

3. Sviluppa i fattori complessi:
Raggruppa le parti complesse per usare la differenza di quadrati:

$$ ((x - 1) + i)((x - 1) - i) = (x - 1)^2 - i^2 $$ $$ = (x^2 - 2x + 1) - (-1) = x^2 - 2x + 2 $$

Quindi il polinomio è $P(x) = a(x - 2)(x^2 - 2x + 2)$.

4. Trova 'a' usando l'intercetta y:
Ci viene dato $P(0) = -4$. Sostituisci $x=0$:

$$ -4 = a(0 - 2)(0^2 - 2(0) + 2) $$ $$ -4 = a(-2)(2) \implies -4 = -4a \implies a = 1 $$

5. Sviluppa in forma standard:
$$ P(x) = 1(x - 2)(x^2 - 2x + 2) $$ $$ = x(x^2 - 2x + 2) - 2(x^2 - 2x + 2) $$ $$ = x^3 - 2x^2 + 2x - 2x^2 + 4x - 4 $$ $$ \mathbf{P(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 4} $$

1. Identifica le possibili radici razionali:
Fattori del termine noto (6): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
Fattori del coefficiente guida (2): $\pm 1, \pm 2$.
Possibili radici: $\pm 1, \pm \dfrac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \dfrac{3}{2}, \pm 6$.

2. Testa le radici usando il Teorema del Fattore:
Sia $p(x) = 2x^3 - x^2 - 7x + 6$. Testa $x=1$:

$$ p(1) = 2(1)^3 - (1)^2 - 7(1) + 6 = 2 - 1 - 7 + 6 = 0 $$

Poiché $p(1) = 0$, $x = 1$ è una radice e $(x - 1)$ è un fattore.

3. Usa la divisione sintetica per dividere per $(x - 1)$:

  1 |   2   -1   -7    6
    |        2    1   -6
    ---------------------
        2    1   -6    0
                        

Il quoziente è il polinomio di secondo grado $2x^2 + x - 6$.

4. Scomponi il polinomio di secondo grado rimanente:
Dobbiamo scomporre $2x^2 + x - 6 = 0$. Cerchiamo due numeri che moltiplicati diano $(2)(-6) = -12$ e sommati diano $1$. Questi numeri sono $4$ e $-3$.

$$ 2x^2 + 4x - 3x - 6 = 0 $$ $$ 2x(x + 2) - 3(x + 2) = 0 $$ $$ (2x - 3)(x + 2) = 0 $$

Questo dà le radici $x = \dfrac{3}{2}$ e $x = -2$.

Zeri finali:
$$ \mathbf{x = 1, \quad x = \dfrac{3}{2}, \quad x = -2} $$