Come creare una tabella dei segni per i polinomi
Problemi con soluzioni
Padroneggia la matematica del 12º anno con questa guida passo dopo passo sulla creazione di tabelle dei segni per funzioni polinomiali. Questa risorsa include problemi di pratica stimolanti, soluzioni dettagliate e chiare interpretazioni grafiche per aiutarti a comprendere appieno il comportamento dei polinomi.
Problemi di pratica principali
Domanda 1 - Creazione di una tabella dei segni dalla forma scomposta
Il polinomio $p$ è dato da:
$$ p(x) = (x - 1)^2(x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) $$Crea una tabella dei segni di $p$ e abbozza un grafico possibile per $p(x)$.
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1. Trova gli zeri:
Troviamo prima gli zeri della funzione polinomiale $p(x)$ ponendola uguale a zero:
Per $p(x) = 0$, dobbiamo avere:
$$ (x - 1)^2 = 0 \quad \text{oppure} \quad (x - \sqrt{3}) = 0 \quad \text{oppure} \quad (x + \sqrt{3}) = 0 $$Risolvi ogni equazione per ottenere gli zeri di $p(x)$:
$$ x = 1 \text{ (con molteplicità 2)}, \quad x = \sqrt{3}, \quad \text{e} \quad x = -\sqrt{3} $$2. Analizza i fattori:
Con l'ausilio della forma scomposta e dei suoi zeri, studiamo il segno di ciascun fattore:
- $(x - 1)^2$ è sempre positivo per ogni $x$ tranne in $x = 1$.
- $x - \sqrt{3} > 0$ per $x > \sqrt{3}$.
- $x + \sqrt{3} > 0$ per $x > -\sqrt{3}$.
3. Costruisci la tabella dei segni:
Inseriamo ciascun fattore nella tabella e usiamo le regole della moltiplicazione dei segni per completare il segno di $p(x)$.
4. Abbozza il grafico:
Usiamo gli zeri di $p(x)$ (che agiscono come intercette sull'asse x), la tabella dei segni e l'intercetta y $(0, -3)$ per completare il grafico.
Domanda 2 - Costruzione di un polinomio e di una tabella dei segni dalle proprietà
$f(x)$ è un polinomio di sesto grado con un coefficiente guida negativo $k$. $f$ ha uno zero di molteplicità 1 in $x = -1$, uno zero di molteplicità 3 in $x = 1$ e uno zero di molteplicità 2 in $x = 3$. Crea una tabella dei segni per il polinomio $f(x)$.
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1. Scrivi i fattori:
Scriviamo prima i fattori del polinomio $f$ insieme alle rispettive molteplicità:
- Zero di molteplicità 1 in $x = -1 \implies \text{fattore: } (x + 1)$
- Zero di molteplicità 3 in $x = 1 \implies \text{fattore: } (x - 1)^3$
- Zero di molteplicità 2 in $x = 3 \implies \text{fattore: } (x - 3)^2$
2. Formula l'equazione:
Sia $k$ (negativo) il coefficiente guida di $f$. Usando tutti i fattori precedenti, scriviamo $f(x)$ come:
3. Studia i segni dei fattori:
- $x + 1 > 0$ per $x > -1$
- $(x - 1)^3 > 0$ per $x > 1$
- $(x - 3)^2 > 0$ per tutti gli $x$ tranne $x = 3$
- $k < 0$ significa che invertirà i segni finali del prodotto.
4. Costruisci la tabella dei segni:
Di seguito è riportata la tabella dei segni per ciascun fattore e il polinomio finale $f(x)$ nell'ultima riga.
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Sfida 1 - Scomposizione prima di creare una tabella dei segni
Trova gli intervalli in cui il polinomio $g(x) = -2x^5 + 8x^3$ è positivo costruendo una tabella dei segni.
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1. Scomponi il polinomio:
Innanzitutto, raccogli il massimo fattor comune, che è $-2x^3$:
Ora, scomponi la differenza di quadrati:
$$ g(x) = -2x^3(x - 2)(x + 2) $$2. Trova gli zeri:
Ponendo $g(x) = 0$ si ottengono zeri in $x = 0$ (molteplicità 3), $x = 2$ (molteplicità 1) e $x = -2$ (molteplicità 1). Questi dividono la retta numerica in quattro intervalli: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$ e $(2, \infty)$.
3. Costruisci la tabella dei segni:
Usa un array LaTeX per determinare il segno del polinomio complessivo negli intervalli critici.
Conclusione:
Osservando l'ultima riga della tabella dei segni, il polinomio $g(x)$ è positivo sugli intervalli $\mathbf{(-\infty, -2) \cup (0, 2)}$.
Sfida 2 - Scomposizione per raggruppamento
Sia $h(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$. Determina gli intervalli in cui $h(x) < 0$.
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1. Scomponi per raggruppamento:
Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini insieme:
Raccogli il binomio comune $(x - 3)$:
$$ h(x) = (x^2 - 4)(x - 3) $$Scomponi la differenza di quadrati:
$$ h(x) = (x - 2)(x + 2)(x - 3) $$2. Trova zeri e intervalli:
Le radici sono $x = -2, 2, \text{ e } 3$. Poiché hanno tutte una molteplicità dispari pari a 1, il segno alternerà a ogni radice.
3. Costruisci la tabella dei segni:
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 2) & 2 & (2, 3) & 3 & (3, \infty) \\ \hline x+2 & - & 0 & + & + & + & + & + \\ \hline x-2 & - & - & - & 0 & + & + & + \\ \hline x-3 & - & - & - & - & - & 0 & + \\ \hline h(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \end{array} $$Conclusione:
Sulla base della tabella, $h(x) < 0$ sugli intervalli $\mathbf{(-\infty, -2) \cup (2, 3)}$.
Sfida 3 - Equazioni di secondo grado irriducibili e potenze pari
Determina il segno del polinomio $P(x) = x^4(x^2 + 1)(x - 5)^3$ su tutti i numeri reali usando una tabella dei segni.
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1. Analizza ciascun fattore:
- $x^2 + 1$: Questa è un'equazione di secondo grado irriducibile. È strettamente positiva ($>0$) per tutti i numeri reali $x$.
- $x^4$: Questa è una potenza pari. È positiva per tutti gli $x$, tranne in $x = 0$ dove è uguale a 0.
- $(x - 5)^3$: Questa è una potenza dispari. È negativa quando $x < 5$, zero in $x = 5$ e positiva quando $x > 5$.
2. Costruisci la tabella dei segni:
Inseriamo i punti critici $x=0$ e $x=5$ nei nostri intervalli.
Conclusione:
- $P(x) < 0$ per $\mathbf{x \in (-\infty, 0) \cup (0, 5)}$
- $P(x) = 0$ in $\mathbf{x = 0}$ e $\mathbf{x = 5}$
- $P(x) > 0$ per $\mathbf{x \in (5, \infty)}$