Cosa sono i radicali in matematica?

Questa pagina definisce i radicali in matematica con esempi chiari e diagrammi. Imparerai come i radicali agiscono come operazioni inverse rispetto agli esponenti. In fondo alla pagina troverai domande di pratica con soluzioni dettagliate passo dopo passo per verificare la tua comprensione.

Comprendere la potenza di $n$

Per comprendere i radicali, dobbiamo prima esaminare le potenze (o esponenti). Lascia che l'operazione di potenza $2$ sia rappresentata dal diagramma sottostante:

Diagramma che mostra l'operazione di potenza 2

Altri esempi dell'operazione di potenza $2$:

Allo stesso modo, il diagramma sottostante rappresenta l'operazione di potenza $3$:

Diagramma che mostra l'operazione di potenza 3

Altri esempi dell'operazione di potenza $3$:

Potenza generale di $n$:

$$a^n = a \times a \times a \dots \times a \quad \text{(moltiplicato } n \text{ volte)}$$

Definizione dei radicali

1. Radicale con indice 2 (Radice quadrata)

La radice quadrata è l'operazione inversa della potenza $2$. Scambiamo l'input e l'output. Ad esempio, se l'input è $9$, l'output dell'operazione inversa è $3$.

Diagramma che mostra l'operazione del radicale con indice 2 (radice quadrata)

Scriviamo questo come:

$$\sqrt[2]{9} = 3 \quad \text{perché} \quad 9 = 3^2$$

Terminologia: Il simbolo $\sqrt{\phantom{x}}$ è il radicale. Il numero $2$ è l'indice. Il numero all'interno del radicale è il radicando.

Diagramma che indica il simbolo di radice, il radicando e l'indice

Nota: Per convenzione, un radicale con indice $2$ (radice quadrata) viene scritto senza il $2$. Scriviamo semplicemente $\sqrt{\phantom{x}}$.

2. Radicale con indice 3 (Radice cubica)

L'operazione inversa dell'operazione di potenza $3$ è chiamata radice cubica.

Diagramma che mostra l'operazione del radicale con indice 3 (radice cubica)

Scriviamo questo come:

$$\sqrt[3]{8} = 2 \quad \text{perché} \quad 8 = 2^3$$

3. Radicale generale con indice $n$ (Radice ennesima)

Possiamo generalizzare i radicali con qualsiasi indice $n$ (dove $n$ è un numero intero maggiore di 0):

$$\text{Se } y = a^n, \text{ allora } \sqrt[n]{y} = a$$

Altri esempi:

RESTRIZIONE IMPORTANTE: Queste relazioni NON sono valide nei numeri reali se $n$ è un numero intero PARI e $y$ è NEGATIVO.

I radicali e le potenze si annullano a vicenda

I radicali e le operazioni di potenza con lo stesso indice si annullano a vicenda. Poiché sono operazioni inverse, l'applicazione successiva di entrambe restituisce l'input originale.

Esempio: La radice quadrata annulla la potenza $2$

Diagramma che mostra che l'estrazione della radice quadrata di un numero elevato al quadrato restituisce il numero originale

Scritto matematicamente: $$\sqrt{3^2} = 3$$

Esempio: La potenza $2$ annulla la radice quadrata

Diagramma che mostra che l'elevamento al quadrato di una radice quadrata restituisce il numero originale

Scritto matematicamente: $$(\sqrt{9})^2 = 9$$

Altri esempi:

In generale, per $a \ge 0$, possiamo scrivere:

$$\sqrt[n]{a^n} = a \quad \text{e} \quad (\sqrt[n]{a})^n = a$$

Domande di pratica

Nota: NON usare una calcolatrice per rispondere alle seguenti domande.

  1. Date le seguenti potenze:
    $2^6 = 64$, $\; 3^5 = 243$, $\; 5^3 = 125$, $\; 0^7 = 0$, $\; 1^{20} = 1$, $\; 2^9 = 512$, $\; 5^5 = 3125$, $\; 10^5 = 100000$, $\; 0,1^3 = 0,001$

    Trova i valori esatti dei seguenti radicali:
    $\sqrt[9]{512}$, $\; \sqrt[5]{3125}$, $\; \sqrt[5]{243}$, $\; \sqrt[6]{64}$, $\; \sqrt[3]{0,001}$, $\; \sqrt[20]{1}$, $\; \sqrt[5]{100000}$, $\; \sqrt[7]{0}$, $\; \sqrt[3]{125}$
    Visualizza la soluzione
    • $\sqrt[9]{512} = \mathbf{2} \quad$ (perché ci viene dato $2^9 = 512$)
    • $\sqrt[5]{3125} = \mathbf{5} \quad$ (perché $5^5 = 3125$)
    • $\sqrt[5]{243} = \mathbf{3} \quad$ (perché $3^5 = 243$)
    • $\sqrt[6]{64} = \mathbf{2} \quad$ (perché $2^6 = 64$)
    • $\sqrt[3]{0,001} = \mathbf{0,1} \quad$ (perché $0,1^3 = 0,001$)
    • $\sqrt[20]{1} = \mathbf{1} \quad$ (perché $1^{20} = 1$. Nota: $\sqrt[n]{1} = 1$ per qualsiasi $n > 0$)
    • $\sqrt[5]{100000} = \mathbf{10} \quad$ (perché $10^5 = 100000$)
    • $\sqrt[7]{0} = \mathbf{0} \quad$ (perché $0^7 = 0$. Nota: $\sqrt[n]{0} = 0$ per qualsiasi $n > 0$)
    • $\sqrt[3]{125} = \mathbf{5} \quad$ (perché $5^3 = 125$)
  2. Dati i seguenti radicali:
    $\sqrt{64} = 8$, $\; \sqrt[5]{7776} = 6$, $\; \sqrt[3]{1000} = 10$, $\; \sqrt[7]{128} = 2$, $\; \sqrt[7]{0,0000001} = 0,1$, $\; \sqrt{10000} = 100$, $\; \sqrt[4]{20736} = 12$, $\; \sqrt[9]{512} = 2$

    Trova i valori delle seguenti potenze:
    $2^7$, $\; 0,1^7$, $\; 6^5$, $\; 8^2$, $\; 2^9$, $\; 12^4$, $\; 10^3$, $\; 100^2$
    Visualizza la soluzione
    • $2^7 = \mathbf{128} \quad$ (perché ci viene dato $\sqrt[7]{128} = 2$)
    • $0,1^7 = \mathbf{0,0000001} \quad$ (perché $\sqrt[7]{0,0000001} = 0,1$)
    • $6^5 = \mathbf{7776} \quad$ (perché $\sqrt[5]{7776} = 6$)
    • $8^2 = \mathbf{64} \quad$ (perché $\sqrt{64} = 8$)
    • $2^9 = \mathbf{512} \quad$ (perché $\sqrt[9]{512} = 2$)
    • $12^4 = \mathbf{20736} \quad$ (perché $\sqrt[4]{20736} = 12$)
    • $10^3 = \mathbf{1000} \quad$ (perché $\sqrt[3]{1000} = 10$)
    • $100^2 = \mathbf{10000} \quad$ (perché $\sqrt{10000} = 100$)
  3. Semplifica le seguenti espressioni:
    $\sqrt{5^2}$, $\; (\sqrt[5]{3})^5$, $\; \sqrt[3]{10^3}$, $\; (\sqrt[7]{128})^7$
    Visualizza la soluzione
    • $\sqrt{5^2} = \mathbf{5} \quad$ (Perché la radice quadrata e la potenza di $2$ si annullano a vicenda)
    • $(\sqrt[5]{3})^5 = \mathbf{3} \quad$ (Perché il radicale di indice $5$ e la potenza di $5$ si annullano a vicenda)
    • $\sqrt[3]{10^3} = \mathbf{10} \quad$ (Perché la radice cubica e la potenza di $3$ si annullano a vicenda)
    • $(\sqrt[7]{128})^7 = \mathbf{128} \quad$ (Perché il radicale di indice $7$ e la potenza di $7$ si annullano a vicenda)

Ulteriori link e riferimenti su radicali ed esponenti

Pagina iniziale