Moltiplicare i polinomi: Domande e soluzioni passo dopo passo

Questa pagina è progettata per aiutare gli studenti della classe 9 a padroneggiare la moltiplicazione dei polinomi. La moltiplicazione dei polinomi richiede una solida comprensione della proprietà distributiva (spesso ricordata come FOIL per i binomi) e delle regole degli esponenti.

Qui sotto troverai domande di pratica che vanno dalla semplice moltiplicazione di monomi allo sviluppo di binomi e trinomi complessi. Prova a risolvere ciascun problema per conto tuo, poi apri le soluzioni passo dopo passo per verificare il tuo lavoro e comprendere il ragionamento dietro ogni passaggio algebrico.

Domande di pratica

  1. 1. Moltiplica i seguenti polinomi

    1. \( (-2)(-2x) \)
    2. \( (x)(x + 1) \)
    3. \( -x^2(-x + 1) \)
    4. \( (-4x^3 - x)(2x - 1) \)
    5. \( (-4x^3 - y)(2x - y) \)
    6. \( (-7x^2 - 2x + 3)(2x^2 - x + 2) \)
    7. \( \left(-\dfrac{1}{3}x^2 + 4\right)\left(-\dfrac{1}{2}x + 9\right) \)
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    1. Moltiplica le costanti, poi unisci la variabile:

      \[ (-2)(-2x) = 4x \]

    2. Distribuisci \(x\) a entrambi i termini all'interno della parentesi:

      \[ \begin{aligned} (x)(x + 1) &= x(x) + x(1) \\ &= x^2 + x \end{aligned} \]

    3. Distribuisci \(-x^2\):

      \[ \begin{aligned} -x^2(-x + 1) &= -x^2(-x) - x^2(1) \\ &= x^3 - x^2 \end{aligned} \]

    4. Usa la proprietà distributiva (metodo FOIL) per i due binomi:

      \[ \begin{aligned} (-4x^3 - x)(2x - 1) &= -4x^3(2x - 1) - x(2x - 1) \\ &= -4x^3(2x) - 4x^3(-1) - x(2x) - x(-1) \\ &= -8x^4 + 4x^3 - 2x^2 + x \end{aligned} \]

    5. Distribuisci ciascun termine del primo binomio nel secondo:

      \[ \begin{aligned} (-4x^3 - y)(2x - y) &= -4x^3(2x - y) - y(2x - y) \\ &= -4x^3(2x) - 4x^3(-y) - y(2x) - y(-y) \\ &= -8x^4 + 4x^3y - 2xy + y^2 \end{aligned} \]

    6. Distribuisci ciascuno dei tre termini del primo trinomio nel secondo trinomio, poi combina i termini simili:

      \[ \begin{aligned} &(-7x^2 - 2x + 3)(2x^2 - x + 2) \\ &= -7x^2(2x^2 - x + 2) - 2x(2x^2 - x + 2) + 3(2x^2 - x + 2) \\ &= (-14x^4 + 7x^3 - 14x^2) + (-4x^3 + 2x^2 - 4x) + (6x^2 - 3x + 6) \\ &= -14x^4 + (7x^3 - 4x^3) + (-14x^2 + 2x^2 + 6x^2) + (-4x - 3x) + 6 \\ &= -14x^4 + 3x^3 - 6x^2 - 7x + 6 \end{aligned} \]

    7. Distribuisci le frazioni con attenzione:

      \[ \begin{aligned} &\left(-\dfrac{1}{3}x^2 + 4\right)\left(-\dfrac{1}{2}x + 9\right) \\ &= -\dfrac{1}{3}x^2\left(-\dfrac{1}{2}x\right) - \dfrac{1}{3}x^2(9) + 4\left(-\dfrac{1}{2}x\right) + 4(9) \\ &= \dfrac{1}{6}x^3 - 3x^2 - 2x + 36 \end{aligned} \]

  2. 2. Moltiplica e addiziona/sottrai per scrivere come un singolo polinomio

    Ricordati di seguire l'ordine delle operazioni: prima moltiplica i polinomi, poi addiziona o sottrai i termini simili.

    1. \( (2x - 1)(3x - 2) + 3x - 9 \)
    2. \( -(2x + 2) - (2x - 1)(x - 3) \)
    3. \( (-3x - 2)(y - 3) + (x - 5)(y - 6) \)
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    1. Innanzitutto, sviluppa i binomi, poi combina i termini rimanenti:

      \[ \begin{aligned} (2x - 1)(3x - 2) + 3x - 9 &= [2x(3x - 2) - 1(3x - 2)] + 3x - 9 \\ &= [6x^2 - 4x - 3x + 2] + 3x - 9 \\ &= 6x^2 - 7x + 2 + 3x - 9 \\ &= 6x^2 - 4x - 7 \end{aligned} \]

    2. Distribuisci i segni negativi e moltiplica i binomi. Usa le parentesi quadre per evitare errori di segno:

      \[ \begin{aligned} -(2x + 2) - (2x - 1)(x - 3) &= -2x - 2 - [2x(x - 3) - 1(x - 3)] \\ &= -2x - 2 - [2x^2 - 6x - x + 3] \\ &= -2x - 2 - [2x^2 - 7x + 3] \\ &= -2x - 2 - 2x^2 + 7x - 3 \\ &= -2x^2 + 5x - 5 \end{aligned} \]

    3. Sviluppa separatamente entrambi i gruppi di binomi, poi combina i termini simili:

      \[ \begin{aligned} &(-3x - 2)(y - 3) + (x - 5)(y - 6) \\ &= [-3x(y - 3) - 2(y - 3)] + [x(y - 6) - 5(y - 6)] \\ &= [-3xy + 9x - 2y + 6] + [xy - 6x - 5y + 30] \\ &= (-3xy + xy) + (9x - 6x) + (-2y - 5y) + (6 + 30) \\ &= -2xy + 3x - 7y + 36 \end{aligned} \]

  3. 3. Usa la moltiplicazione dei polinomi per sviluppare i seguenti

    1. \( (x + 3y)^2 \)
    2. \( (2x - y)^2 \)
    3. \( (x - y)(x + y) \)
    4. \( (x - 3)^3 \)
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    1. Scrivi il quadrato come moltiplicazione di due binomi identici (o usa la formula del quadrato perfetto):

      \[ \begin{aligned} (x + 3y)^2 &= (x + 3y)(x + 3y) \\ &= x(x + 3y) + 3y(x + 3y) \\ &= x^2 + 3xy + 3xy + 9y^2 \\ &= x^2 + 6xy + 9y^2 \end{aligned} \]

    2. Sviluppa il binomio quadrato perfetto:

      \[ \begin{aligned} (2x - y)^2 &= (2x - y)(2x - y) \\ &= 2x(2x - y) - y(2x - y) \\ &= 4x^2 - 2xy - 2yx + y^2 \\ &= 4x^2 - 4xy + y^2 \end{aligned} \]

    3. Questa è una differenza di quadrati:

      \[ \begin{aligned} (x - y)(x + y) &= x(x + y) - y(x + y) \\ &= x^2 + xy - yx - y^2 \\ &= x^2 - y^2 \end{aligned} \]

    4. Per un cubo, moltiplica tre volte. Raggruppa prima due di essi:

      \[ \begin{aligned} (x - 3)^3 &= (x - 3)(x - 3)(x - 3) \\ &= (x - 3)[x(x - 3) - 3(x - 3)] \\ &= (x - 3)[x^2 - 3x - 3x + 9] \\ &= (x - 3)(x^2 - 6x + 9) \end{aligned} \]

      Ora, moltiplica il binomio per il trinomio risultante:

      \[ \begin{aligned} (x - 3)(x^2 - 6x + 9) &= x(x^2 - 6x + 9) - 3(x^2 - 6x + 9) \\ &= (x^3 - 6x^2 + 9x) + (-3x^2 + 18x - 27) \\ &= x^3 - 9x^2 + 27x - 27 \end{aligned} \]

Ulteriori riferimenti e link

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